%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès 
\usepackage{pst-plot,pst-text,pstcol}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat S},
pdftitle = {Polynésie - septembre 2003},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie spécialité~\decofourright\\[7pt]septembre 2003}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère \Oijk{} orthonormé. Soit $s$ un nombre réel.

On donne les points A(8~;~0~;~8), B(10~;~3~;~10) ainsi que la droite 
$\mathcal{D}$ d'équations paramétriques :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
x &=&- 5 + 3s\\
y &=&1+ 2s\\
z &=& - 2s\\
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner un système d'équations paramétriques de la droite $\Delta$ définie par A et B.
		\item Démontrer que $\mathcal{D}$ et $\Delta$ sont non coplanaires.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Le plan $\mathcal{P}$ est parallèle à $\mathcal{D}$ et contient $\Delta$. Montrer que le vecteur $\vect{n}(2~;~ - 2~;~ 1)$ est un vecteur normal à $\mathcal{P}$.

Déterminer une équation cartésienne de $\mathcal{P}$.
		\item Montrer que la distance d'un point quelconque $M$ de $\mathcal{D}$ à  $\mathcal{P}$ est indépendante de $M$.
		\item Donner un système d'équations paramétriques de la droite définie par l'intersection de $\mathcal{P}$ avec le plan ($x$O$y$).
	\end{enumerate}
\item La sphère $\mathcal{S}$ est tangente à $\mathcal{P}$ au point C(10~;~ 1~;~6). Le centre $\Omega$ de $\mathcal{S}$ se trouve à la distance $d = 6$ de $\mathcal{P}$, du même côté que O.

Donner l'équation cartésienne de $\mathcal{S}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On désigne par $p$ un nombre entier premier supérieur ou égal à 7.

Le but de l'exercice est de démontrer que l'entier naturel $n = p^4 - 1$ est divisible par 240, puis d'appliquer ce résultat.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $p$ est congru à $- 1$ ou à $1$ modulo 3. En déduire que $n$ est divisible par 3.
\item En remarquant que $p$ est impair, prouver qu'il existe un entier naturel $k$
 tel que $p^2 - 1 = 4k(k + 1)$, puis que $n$ est divisible par $16$.
\item En considérant tous les restes possibles de la division euclidienne de $p$ par 5,  démontrer que $5$ divise $n$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Soient $a,~ b$ et $c$ trois entiers naturels.

Démontrer que si $a$ divise $c$ et $b$ divise $c$, avec $a$ et $b$ premiers entre eux, alors $ab$ divise $c$.
		\item Déduire de ce qui précède que $240$ divise $n$.
	\end{enumerate}
\item Existe-t-il quinze nombres premiers $p_1,~p_2, \ldots,~ p_{15}$ supérieurs ou égaux à 7 tels que l'entier $A =  p_1^4 + p_2^4 + \ldots + p_{15}^4$ soit un nombre premier ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ 
par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
f(0)&=&1\\
f(x)&=& \dfrac{1}{2}x^2(3 - 2\ln x) + 1\quad  \text{si} \quad x > 0\\
\end{array}\right.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal 
\Oij.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0}  f(x)$. Que peut-on en déduire pour la fonction $f$ ?
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$.
		\item Montrer que $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ et calculer $f'(x)$ pour $x > 0,~ f'$ désignant la fonction dérivée de $f$.
	\end{enumerate}
\item Étudier le sens de variations de $f$ sur $[0 ~;~ + \infty[$, puis dresser son tableau de variations.
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ possède une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle $[0 ~;~+ \infty[$. Déterminer une valeur approchée décimale de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer une équation de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe 
$\mathcal{C}$ au point d'abscisse \mbox{$x = 1$}.
\item On considère la fonction $g~:~x \mapsto f(x) - 2x - \dfrac{1}{2}$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g'(x)$, puis $g''(x)$ où $g'$ et $g''$ désignent respectivement les fonctions dérivées première et seconde de $g$.

Étudier le sens de variations de $g'$. En déduire le signe de $g'(x)$ sur $]0~;~+ \infty[$
		\item Étudier le sens de variations de $g$.

En déduire la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport
 à la tangente $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\item Construire la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente $\mathcal{D}$ (unité graphique : 2~cm).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $n$ est un entier naturel non nul.

Exprimer en fonction de $n$ le réel $I_n = 
\displaystyle\int_{\frac{1}{n}}^1 x^2 \ln x\:\text{d}x$ (on pourra utiliser une intégration par parties).
\item En déduire en fonction de l'entier $n$, l'aire $\mathcal{A}_n$ exprimée en cm$^2$ du domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la tangente $\mathcal{D}$ et les deux droites d'équation $x = \dfrac{1}{n}$ et $x = 1$.
\item Calculer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \mathcal{A}_n$ et interpréter le résultat obtenu.
\end{enumerate}
\end{document}