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% Merci à Marc Incamps du lycée de Raiatea
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{10 juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{{\decofourleft~Baccalauréat ES  Polynésie 10 juin 2011 \decofourright}}}
\end{center}

\subsection*{{Exercice 1 \hfill 4 points}}

\emph{Commun à tous les candidats.}

\medskip
 
Soit $f$ une fonction définie sur l'ensemble $]- \infty~;~1[\, \cup\, ]1~;~+ \infty[$.
 
On note $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal.
 
On suppose que $f$ est dérivable sur chacun des intervalles $]- \infty~;~1[$ et $]1~;~+ \infty[$ et on note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
 
Soit $F$ une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle ]1~;~6]. On suppose que $f$ admet le tableau de variation ci-dessous :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(11,2.5)
\psframe(11,2.5)\psline(0,2)(11,2)
\psline(2,0)(2,2.5) \psline[doubleline=true](5,0)(5,2)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.4,2){$- \infty$} \uput[u](5,2){$1$} 
\uput[u](8,2){$6$} \uput[u](10.6,2){$+ \infty$} 
\rput(1,1){$f$}
\uput[d](2.15,2){2}
\uput[u](4.6,0){$- \infty$} 
\uput[d](5.4,2){$+ \infty$}
\uput[u](8,0){3}
\uput[d](10.65,2){$+ \infty$}
\psline{->}(2.5,1.5)(4.5,0.5)\psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5)\psline{->}(8.5,0.5)(10.5,1.5)
\end{pspicture}
\end{center} 

Pour chacune des huit affirmations ci-dessous, une seule de ces trois propositions convient :
 
VRAIE ou FAUSSE ou LES INFORMATIONS DONNÉES NE PERMETTENT PAS DE CONCLURE.
 
Recopier sur la copie le numéro de la question et la proposition choisie. Aucune justification n'est demandée.
 
\emph{Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni ne retire aucun point.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item L'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $]- \infty~;~1[ \cup ]1~;~+ \infty[$. 
\item La droite d'équation $y = 1$ est asymptote à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$· 
\item Pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]1~;~+ \infty[,\, f'(x) \geqslant 0$. 
\item La fonction $F$ est décroissante sur l'intervalle ]1~;~6]. 
\item $\ln [f(x)]$ existe pour tout $x$ appartenant à $]- \infty~;~ 0[$. 
\item Soit $g$ la fonction définie sur $]- \infty~;~1[ \cup ]1~;~+ \infty[$ par $g(x) = \text{e}^{f(x)}$. 
	\begin{enumerate}
		\item $g(6) = \text{e}^3$.  
		\item $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1\\x < 1}} g(x) = +\infty$. 
		\item $g'(3) \geqslant  0$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\subsection*{{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\emph{Commun à tous les candidats.}

\medskip

L'objet de l'exercice consiste à étudier les évolutions du nombre de mariages et du nombre de pacs (pacte civil de solidarité) signés entre partenaires de sexe opposé en France à partir de l'année 2000.

\medskip
 
\textbf{Partie A : étude du nombre de mariages}

\medskip
 
Le tableau suivant donne le nombre de mariages en France, en milliers, de 2000 à 2008.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.2cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2000 	&2001 	&2002 	&2003 	&2004 	&2005 	&2006 	&2007 	&2008\\ \hline 
 Rang de l'année $x_{i}$	&0 		&1 		&2 		&3		&4 		&5 		&6 		&7 		&8\\ \hline 
 Nombre de mariages $y_{i}$ en milliers &305 &296 &286 &283 &278 &283 &274 &274 &265\\ \hline 
\multicolumn{10}{r}{\footnotesize \emph{Source : INSEE}}\\
\end{tabularx}
\medskip
 
Pour $i$ entier variant entre 0 et 8, on a représenté en \textbf{annexe 1} dans le plan muni d'un repère orthogonal le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à cette série.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire une équation de la droite d'ajustement affine D de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au centième). 
		\item Représenter D dans le repère de l'annexe 1. 
	\end{enumerate}
\item En utilisant cet ajustement affine, déterminer par la méthode de votre choix une estimation du nombre de mariages en France en 2012 (le résultat sera arrondi au millier).
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : étude du nombre de pacs}

\medskip
 
Le tableau suivant donne le nombre de pacs signés entre partenaires de sexe opposé en France, en milliers, de 2000 à 2008. 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année 					&2000	&2001	&2002	&2003 	&2004 	&2005 	&2006 	&2007 	&2008\\ \hline 
Rang de l'année $x_{i}$	&0 		&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 		&8\\ \hline  
Nombre de pacs $Y_{i}$	&16 	&15 	&21 	&26 	&33 	&53 	&64 	&96 	&138\\ \hline  
\multicolumn{10}{r}{\emph{Source : INSEE}}\\
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter dans le repère de l'\textbf{annexe 1} le nuage points $N_{i}\left(x_{i}~;~Y_{i}\right)$ associé à cette nouvelle série statistique.
 
L'allure du nuage permet d'envisager un ajustement exponentiel. Pour $i$ entier variant entre 0 et 8 on pose $Z_{i} = \ln Y_{i}$. 
\item  Recopier sur la copie et compléter le tableau suivant où $z_{i}$ est arrondi au centième :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
$x_{i}$	&0		&1	& 2 &3 	&4 	&5 	&6 	&7 	&8\\ \hline 
$Z_{i}$	&2,77	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\item Une équation de la droite d'ajustement affine de $Z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés est $Z = 0,29x + 2,51$ (les coefficients étant arrondis au centième). 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la relation $Z = \ln Y$, justifier la relation : $y = 12,30 \text{e}^{0,29 x}$. 
		\item En utilisant cet ajustement, donner une estimation du nombre de pacs signés en France entre personnes de sexe opposé en 2012 (arrondir au millier).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Comparaison}

\medskip
 
\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
Si les évolutions du nombre de mariages et du nombre de pacs signés entre personnes de sexe opposé en 
France se poursuivent selon les modèles décrits dans les parties A et B, estimer à partir de quelle année le 
nombre de pacs dépassera celui des mariages. 

\subsection*{{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\emph{Pour les élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Une session du baccalauréat se compose de deux parties :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] le premier groupe d'épreuves (encore appelé : \og écrit \fg{} par abus de langage ou \og premier tour \fg) ; 
\item[$\bullet~~$] le second groupe d'épreuves (encore appelé : \og oral de rattrapage \fg{} ou \og second tour\fg).
 
Ce second groupe d'épreuves concerne les candidats n'ayant pas obtenu le bac à l'issue du premier groupe, mais ayant obtenu une moyenne générale supérieure ou égale à 08/20.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Les résultats au baccalauréat ES, en France métropolitaine et DOM, pour la session de juin 2010 à l'issue du \emph{premier groupe d'épreuves} sont les suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 74,3\,\% des candidats ont été reçus à l'issue du premier tour (c'est-à-dire que leur moyenne 
générale $m$ est telle que $m \geqslant  10$) ; 
\item[$\bullet~~$] 17,8\,\% des candidats sont allés aux oraux de rattrapage (c'est-à-dire que leur moyenne générale $m$ est telle que $8 \leqslant m < 10$) ; 
\item[$\bullet~~$] les autres candidats ont été recalés (c'est-à-dire que leur moyenne générale $m$ est telle que $m < 8$).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Le taux final de réussite au baccalauréat ES, en France métropolitaine et DOM, pour la session 2010 à l'issue des deux groupes d'épreuves est 86,1\,\%.
 
On interroge au hasard un candidat ayant passé le baccalauréat ES en 2010.

On note : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $R_{1}$ l'évènement: \og le candidat interrogé a obtenu le baccalauréat à l'issue du premier tour\fg ; 
\item[$\bullet~~$] $O$ l'évènement : \og le candidat interrogé est allé à l'oral de rattrapage\fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $E_{1}$ l'évènement : \og le candidat interrogé a été recalé à l'issue du premier tour\fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $R_{2}$ l'évènement : \og le candidat interrogé a obtenu le baccalauréat à l'issue de l'oral de rattrapage \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $E_{2}$ l'évènement : \og le candidat interrogé a été recalé à l'issue de l'oral de rattrapage \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On peut modéliser la situation par l'arbre (partiellement pondéré) ci-dessous, qu'on ne demande pas de compléter pour l'instant :

\medskip
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\psset{linewidth=.75pt}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm,treesep=1.1,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\TR{$R_{1} \;$}	  
	\pstree{\TR{$O \;$}\taput{\footnotesize{0,178}}}
	  {
		  \TR{$\; R_{2}$}
		  \TR{$\;E_{2}$}
	  }
	\TR{$E_{1} \;$}	  	
}
\end{center}

\medskip

Si $X$ est un évènement, on note $p(X)$ sa probabilité. 

\emph{Dans cet exercice les résultats demandés seront arrondis au millième.}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item Donner les valeurs des probabilités suivantes : $p\left(R_{1}\right) ; p(O)$ et $p\left(E_{1}\right)$. 
\item On appelle $A$ l'évènement: \og le candidat interrogé a obtenu son baccalauréat \fg{} : on a donc $p(A) = 0,861$.
 
Montrer que $p\left(O \cap  R_{2}\right) = 0,118$ et interpréter ce résultat. 
\item Calculer $p_{O}\left(R_{2}\right)$, probabilité de l'évènement $R_{2}$ sachant que l'évènement $O$ est réalisé. Interpréter ce résultat. 
\item Recopier et compléter l'arbre partiellement pondéré, donné ci-dessus. 
\item On interroge au hasard trois candidats ayant passé le baccalauréat ES en 2010 pour savoir s'ils l'ont obtenu. On suppose que le nombre de candidats à cette session est suffisamment grand pour 
considérer ces trois réponses comme indépendantes. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que les trois candidats aient été admis. 
		\item Calculer la probabilité qu'au moins deux des candidats aient été admis.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\subsection*{{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\emph{Pour les élèves ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre}

\medskip
 
On considère le graphe $\Gamma$ ci-dessous : 

\medskip
\psset{unit=0.8cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(9,8.5)
\psdots(0.7,4.5)(4.3,8.2)(7,5.6)(4.3,3)(2.3,1.8)(8.4,1)(5.3,0.3)%OWHLPTE
\psline(0.7,4.5)(4.3,8.2)(7,5.6)(8.4,1)(5.3,0.3)(2.3,1.8)(8.4,1)(4.3,3)(2.3,1.8)%OWHTEPTLP
\psline(7,5.6)(4.3,3)(4.3,8.2)%HLW
\psline(0.7,4.5)(2.3,1.8)%PO
\uput[l](0.7,4.5){O} \uput[u](4.3,8.2){W} \uput[ur](7,5.6){H} \uput[ul](4.3,3){L} 
\uput[dl](2.3,1.8){P} \uput[r](8.4,1){T} \uput[d](5.3,0.3){E} 
\end{pspicture}
\end{center}
 
\textbf{Partie A : Étude d'un graphe}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne ? (La réponse devra être justifiée). Si oui donner une telle chaîne. 
\item Ce graphe admet-il un cycle eulérien ? (La réponse devra être justifiée). Si oui donner un tel cycle. 
\item Donner la matrice $M$ associée au graphe $\Gamma$ (les sommets seront pris dans l'ordre alphabétique: E ; H ; L ; O ; P ; T ; W).
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Voyage scolaire}

\medskip
 
La classe de Terminale d'Arthur est en voyage scolaire en Angleterre.
 
Les professeurs organisateurs de ce voyage décident de visiter plusieurs sites de Londres.
 
Les sites retenus dans Londres sont les suivants : Warren Street, Oxford Circus, Piccadilly Circus, Leicester Square, Holborn, Embankment et Temple. Ces lieux sont désignés respectivement par les lettres W, O, P, L, H, E et T et sont représentés dans le graphe $\Gamma$ donné ci-dessus (chaque sommet représente un site à visiter et chaque arête une route reliant deux sites).
 
Les élèves sont laissés en autonomie deux heures pour faire du shopping et ramener des souvenirs~à leurs familles. Le point de rendez-vous avec les organisateurs est fixé à Temple. Les temps de parcours en minutes entre chaque sommet ont été ajoutés sur le graphe. 
 
\medskip
\psset{unit=0.8cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(9,8.5)
\psdots(0.7,4.5)(4.3,8.2)(7,5.6)(4.3,3)(2.3,1.8)(8.4,1)(5.3,0.3)%OWHLPTE
\psline(0.7,4.5)(4.3,8.2)(7,5.6)(8.4,1)(5.3,0.3)(2.3,1.8)(8.4,1)(4.3,3)(2.3,1.8)%OWHTEPTLP
\psline(7,5.6)(4.3,3)(4.3,8.2)%HLW
\psline(0.7,4.5)(2.3,1.8)%PO
\uput[l](0.7,4.5){O} \uput[u](4.3,8.2){W} \uput[ur](7,5.6){H} \uput[ul](4.3,3){L} 
\uput[dl](2.3,1.8){P} \uput[r](8.4,1){T} \uput[d](5.3,0.3){E}
\uput[ul](2.6,6.4){15} \uput[ur](5.6,6.8){14}   \uput[l](4.3,5.6){26}  \uput[ul](5.6,4.4){8} 
 \uput[dl](1.4,3.2){13}  \uput[ul](3.4,2.4){5}  \uput[ur](6.2,2.1){30}  \uput[ur](7.6,3.4){20} 
  \uput[ur](5.4,1.4){34}  \uput[dl](3.8,1){15}  \uput[dr](6.9,0.6){19} 
\end{pspicture}
\end{center} 

Arthur, qui est à Oxford Circus, n'a pas vu le temps passer. Lorsqu'il s'en rend compte, il ne lui reste plus que 40~minutes pour arriver à Temple.
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le plus court chemin en minutes reliant Oxford Circus à Temple. Justifier la réponse à l'aide d'un algorithme. 
\item Quelle est la longueur en minutes de ce chemin ? Arthur sera-t-il en retard ?
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\subsection*{{Exercice 4 \hfill 6 points}}

\emph{Commun \`a tous les candidats}

\medskip
 
Certains scientifiques estiment que les futures découvertes de pétrole dans le monde peuvent être modélisées, à partir de l'année 2011, grâce à la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[11 ; +\infty[$ par
 
\[f(x) = \np{17280}\text{e}^{- 0,024x}\] 

de sorte que $f(x)$ représente, en billions de barils (millions de millions de barils), l'estimation de la quantité de pétrole qui sera découverte au cours de l'année $2000~+ ~x$.
 
On admet que la fonction $f$ est continue et dérivable sur l'intervalle $[11~;~ +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction  dérivée sur cet intervalle.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer l'estimation du nombre de barils de pétrole à découvrir en 2011 d'après ce modèle (on arrondira le résultat au billion près). 
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[11~;~ +\infty[$  puis dresser son tableau de variations. 
\item Selon ce modèle, peut-on envisager qu'au cours d'une même année, \np{15000}~billions de barils de pétrole soient découverts ?
 
Si oui, déterminer, en justifiant, cette (ces) année(s). Si non, justifier la réponse. 
\item Selon ce modèle, peut-on envisager qu'au cours de chaque année à partir de 2011, au moins \np{6000}~billions de barils de pétrole soient découverts ?
 
Si oui, justifier la réponse.
 
Si non, déterminer, en justifiant, l'année pour laquelle les découvertes de pétrole deviendront 
strictement inférieures à \np{6000}~billions de barils. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[11~;~ +\infty[$. 
		\item Calculer la valeur exacte, puis donner la valeur arrondie à l'unité près, de l'intégrale $I$ suivante : 

\[I  = \int_{11}^{21} f(x)\:\text{d}x.\]
 
		\item En déduire le nombre moyen de barils, en billions, que l'on peut espérer découvrir par an d'après ce modèle, entre les années 2011 et 2021.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1\\
 À RENDRE AVEC LA COPIE\\
  Exercice 2 - commun à tous les candidats}
  
  \vspace{1cm}
  
\psset{xunit=0.85cm,yunit=0.0425cm}
\begin{pspicture}(-1,-50)(13,320)
\multido{\n=0+1}{14}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,320)}
\multido{\n=0+10}{33}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(13,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=50]{->}(0,0)(13,320)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=50](0,0)(13,320)
\uput[u](11.5,0){Rang de l'année}\uput[r](0,325){effectifs, en milliers}
\uput[l](-0.2,10){10}
\psdots[dotscale=1.4,linecolor=blue](0,305)(1,296)(2,286)(3,283)(4,278)(5,286)(6,274)(7,274)(8,265)(0,-40)
\rput(0,-20){\emph{Légende} :} 
\rput(0,-40){{\Large $\bullet$}}
\uput[r](1,-40){série du nombre de mariages en fonction du rang de l'année}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}