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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2000}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie juin 2000~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique 4 cm. Dans l'ensemble des nombres complexes $\C$, ~i désigne le nombre de module 1, et d'argument 
$\dfrac{\pi}{2}$.

On appelle $f$ l'application, qui, à tout nombre complexe $z$ différent de 
$- 2$, associe

\[Z = f(z) = \dfrac{z - 2 + \text{i}}{z + 2\text{i}}.\]
\begin{enumerate}
\item Si $z = x + \text{i}y,~ x$ et $y$ étant deux réels, 
exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de $Z$ en fonction de $x$ et de $y$.

On vérifiera que $\Re(Z) = \dfrac{x^2 + y^2 - 2x + 3y + 2}{x^2 + (y + 2)^2}$.

En déduire la nature de :
	\begin{enumerate}
		\item l'ensemble $E$ des points $M$ d'affixe $z$, tels que $Z$ soit un réel ;
		\item l'ensemble $F$ des points $M$ d'affixe $z$ du plan, tels que $Z$ soit un imaginaire pur éventuellement nul.
		\item Représenter ces deux ensembles.
	\end{enumerate}
\item On appelle $A$ et $B$ les points d'affixes respectives 
$z_{A} = 2 - \text{i}$ et $z_{B} = - 2\text{i}$.

En remarquant que $Z = \dfrac{z - z_{A}}{z - z_{B}}$, retrouver les ensembles $E$ et $F$ par une méthode géométrique.
\item Calculer $|f(z) - 1| \times |z + 2\text{i}|$, et en déduire que les points $M'$ d'affixe $Z$, lorsque le point $M$ d'affixe $z$ parcourt le cercle de centre $B$ et de rayon $\sqrt{5}$, sont tous sur un même cercle dont on précisera le rayon et l'affixe du centre.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher :

4 jetons blancs marqués 0 ;

3 jetons rouges marqués 7 ;

2 jetons blancs marqués 2 ;

1 jeton rouge marqué 5.
\begin{enumerate}
\item On tire simultanément 4 jetons du sac.

Quel est le nombre de tirages possibles ?
\item On suppose que tous les tirages sont équiprobables, 
et on considère les évènements suivants :

$A$ : \og Les quatre numéros sont identiques \fg.

$B$ : \og Avec les jetons tirés, on peut former le nombre 2000 \fg.

$C$ : \og Tous les jetons sont blancs \fg.

$D$ : \og Tous les jetons sont de la même couleur \fg.

$E$ : \og Au moins un jeton porte un numéro différent des autres \fg.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement $B$, est $\dfrac{4}{105}$.
		\item Calculer la probabilité des évènements $A,~ C,~ D,~ E$.
		\item On suppose que l'évènement $C$ est réalisé, calculer alors la probabilité de l'évènement $B$.

On établit la règle de jeu suivante :
\begin{itemize}
\item Si le joueur peut former \np{5000}, il gagne 75~F.
 
\item Si le joueur peut former le nombre \np{7000}, il gagne 50~F.
 
\item Si le joueur peut former le nombre \np{2000}, il gagne 20~F.

\item Si le joueur peut former le nombre \np{0000}, il perd 25~F.
\end{itemize}
Pour tous les autres tirages, il perd 5~F.

$G$ est la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.

Établir la loi de probabilité de $G$ et calculer l'espérance mathématique 
de $G$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On cherche deux entiers relatifs $x$ et $y$ solutions de 
l'équation

$(1)~ ax + by = 60 ~(a$ et $b$ entiers naturels donnés tels 
que $ab \neq 0$). On notera $d$ le plus grand commun diviseur de $a$ et $b$.
	\begin{enumerate}
		\item On suppose que l'équation (1) a au moins une solution $(x_{0}~;~y_{0})$. Montrer que $d$ divise 60.
		\item On suppose que $d$ divise 60. Prouver qu'il existe alors au moins une solution $(x_{0}~;~y_{0})$ à l'équation (1).
	\end{enumerate}
\item On considère l'équation : 
$(2) \quad 24x + 36y = 60.\quad (x$ et $y$ entiers relatifs).

	\begin{enumerate}
		\item Donner le PGCD de 24 et 36 en justifiant brièvement. Simplifier l'équation (2).
		\item Trouver une solution évidente pour l'équation (2) et résoudre cette équation. On appellera $S$ l'ensemble des couples $(x~;~ y)$ solutions.
		\item Énumérer tous les couples $(x~;~ y)$ solutions de (2) et tels que : 

\[- 10 \leqslant x \leqslant 10.\]

Donner parmi eux, ceux pour lesquels $x$ et $y$ sont multiples de 5.
		\item Dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm), représenter l'ensemble $E$ des points $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ telles que :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 1 + 3t\\
y &= &1 - 2t
\end{array}\right. t \in \R.\]
		\item Montrer que les points ayant pour coordonnées les solutions $(x~;~y)$ de l'équation (2) appartiennent à $E$.

Comment peut-on caractériser $S$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction numérique $f$, de la variable réelle $x$, définie 
sur $\R$ par :

\[f(x) = \text{e}^{-x} \sin x.\]

On appelle ($\mathcal{C}_{f}$) la courbe d'équation $y = f(x)$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal \Oij.

On prendra 2~cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées, et 6 cm pour $\pi$ unités sur l'axe des abscisses.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x,~ -~ \text{e}^{- x} \leqslant f(x) \leqslant \text{e}^{- x}$.

En déduire $\displaystyle\lim_{x \to +~\infty} f(x)$ et l'existence d'une asymptote pour la courbe ($\mathcal{C}_{f}$).
\item Montrer que la fonction dérivée de $f$ 
vérifie :

$f'(x) = \sqrt{2} \text{e}^{- x} \cos \left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$, pour $x$ élément de $\R$. 
\item On étudie la fonction $f$ sur l'intervalle 
$\left[-\dfrac{\pi}{2}~;~\pi\right]$.

Recopier et compléter le tableau suivant :

\[\begin{array}{| c | l c r|}\hline 
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}x & - ~\dfrac{\pi}{2} & & \pi\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}x + \dfrac{\pi}{4} & & \dfrac{\pi}{2}& \\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{8mm} \text{Signe de }~\cos \left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) & & & \\ \hline
\end{array}\]

En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle 
$\left[-\dfrac{\pi}{2}~;~\pi\right]$.
\item Représenter la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[-~ 
\dfrac{\pi}{2}~;~\pi\right]$ ainsi que les courbes $(\mathcal{C}_{1})$ 
et $(\mathcal{C}_{2})$ d'équations $y = - \text{e}^{- x}$ et $y = 
\text{e}^{- x}$.
\item Déterminer algébriquement sur $\R$, puis sur $\left[- \dfrac{\pi}{2}~; 
~\pi\right]$, les coordonnées des points communs à :
	\begin{enumerate}
		\item $(\mathcal{C}_{f})$ et l'axe des abscisses.
		\item $(\mathcal{C}_{f})$ et $(\mathcal{C}_{1})$.
		\item $(\mathcal{C}_{f})$ et $(\mathcal{C}_{2})$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer un réel $\alpha$ tel que, pour $x \geqslant \alpha$, on 
ait $|f(x)| \leqslant 10^{- 2}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le but de cette partie est de déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$.
\begin{enumerate}
\item En calculant les dérivées successives de la fonction 
$f$ jusqu'à l'ordre 4 (on rappelle que $f(x) = \text{e}^{-~x} \sin x)$, trouver une relation entre la fonction $f$ et sa dérivée d'ordre 4 notée 
$f^{(4)}$.
\item En déduire qu'on peut choisir $F(x) = - \dfrac{1}{4}f^{(3)}(x).$
\item On pose $I = \displaystyle\int_{0}^{\pi} 
\text{e}^{- x} \sin x\, \text{d}x$. Montrer que $I = \dfrac{\text{e}^{-\pi} + 1}{2}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on pose : $I_n = \displaystyle\int_{2n\pi}^{(2n + 1)\pi} f(x)\: \text{d}x$. 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $I_0 = I$ et interpréter $I_0$ comme 
l'aire d'un domaine plan. Hachurer ce domaine.
\item Montrer que, pour tout naturel $n,~ I_n = 
\dfrac{\text{e}^{- 2n\pi}}{2}\left(\text{e}^{-\pi} + 1\right).$

\item Prouver que la suite $(I_n)_{n \in \N}$ est une suite 
géométrique.

Calculer sa raison.
\item Prouver que la suite $(I_n)_{n \in \N}$ converge 
et préciser sa limite.
\end{enumerate}
\end{document}