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% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\lfoot{\small{Polynésie}}
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\begin{center}
{\Large \textbf{ Baccalauréat S Polynésie 9 juin 2005}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 3 points}

\medskip

Une usine d'horlogerie fabrique une série de montres.

Au cours de la fabrication peuvent apparaître deux types de défauts, désignés par $a$ et $b$.

2\,\% des montres fabriquées présentent le défaut $a$ et 10\,\% le défaut $b$.

Une montre est tirée au hasard dans la production. On définit les évènements suivants :

$A$ : \og la montre tirée présente le défaut $a$ \fg{} ;

$B$ : \og la montre tirée présente le défaut $b$ \fg{} ;

$C$ : \og la montre tirée ne présente aucun des deux défauts \fg{} ;

$D$ : \og la montre tirée présente un et un seul des deux défauts \fg.

On suppose que les évènements $A$ et $B$ sont indépendants.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $C$ est égale  à $0,882$.
\item Calculer la probabilité de l'évènement $D$.
\item Au cours de la fabrication, on prélève au hasard successivement cinq montres.

On considère que le nombre de montres fabriquées est assez grand pour que l'on puisse supposer que les tirages se font avec remise et sont indépendants.

Soit $X$ la variable aléatoire qui,  à chaque prélèvement de cinq montres, associe le nombre de montres ne présentant aucun des deux défauts $a$ et $b$.

On définit l'évènement $E$ : \og quatre montres au moins n'ont aucun défaut \fg.

Calculer la probabilité de l'évènement $E$. On en donnera une valeur approchée  à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textsl{Pour chacune des cinq questions, une seule des trois propositions est exacte.}

\textbf{\textsl Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant  à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}

\textsl{Une réponse exacte rapporte} 1 \textsl{point ; une réponse inexacte enlève} 0,5 \textsl{point ; l'absence de réponse est comptée} 0 \textsl{point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk.

On considère les points A(3~;~1~;~3) et B$(- 6~;~2~;~1)$.

Le plan $\mathcal{P}$ admet pour équation cartésienne $x + 2y + 2z = 5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\left\|4\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}}\right\| = 2$ est :

\textbf{a.}~un plan de l'espace\quad	\textbf{b.}~ une sphère \quad \textbf{c.}~l'ensemble vide.
\item Les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le plan $\mathcal{P}$ sont :

\textbf{a.}~$\left(\dfrac{11}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}\right) \quad$ \textbf{b.}~$\left(\dfrac{8}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{7}{3}\right) \quad$		\textbf{c.}~$\left(\dfrac{7}{3}~;~- \dfrac{1}{3}~;~\dfrac{5}{3}\right).$
\item La sphère de centre B et de rayon 1 :
	\begin{enumerate}
		\item coupe le plan $\mathcal{P}$ suivant un cercle ;
		\item est tangente au plan $\mathcal{P}$ ;
		\item ne coupe pas le plan $\mathcal{P}$.
	\end{enumerate}

\item On considère la droite $\mathcal{D}$ de l'espace passant par A et de vecteur directeur $\vect{u}(1~;~2~;~-1)$  et la droite $\mathcal{D}'$ d'équations paramétriques $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&3 + 2t\\
y&=&3+t\\
z&=&t\\
\end{array}\right. (t~\in~\R)$.

Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont :

\textbf{a.}~ coplanaires et parallèles \quad \textbf{b.}~ coplanaires et sécantes \quad \textbf{c.}~ non coplanaires.
\item L'ensemble des points $M$ de l'espace équidistants des points A et B est :
	\begin{enumerate}
		\item la droite d'équations paramétriques $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&-\dfrac{3}{2} - t\\
y&=&\dfrac{3}{2}- 7t\\
z &= &2 + t\\
\end{array}\right. (t \in \R)$.
		\item le plan d'équation cartésienne $9x-y+ 2z+ 11 =0$.
		\item le plan d'équation cartésienne $x + 7y - z - 7 = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ d'entiers naturels définie par

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}& =& 14\\
u_{n+1}& =& 5 u_{n} - 6~~\text{pour tout entier naturel}~ n\\
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1},~u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$.

Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de $u_{n}$ ?
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n,~u_{n+2}\equiv  u_{n}\quad  (\text{modulo}~4)$.

En déduire que pour tout entier naturel $k,~ u_{2k}\equiv  2 \quad  (\text{modulo}~4)$ et

$u_{2k+1}\equiv 0 \quad (\text{modulo}~4)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,~ 2u_{n} = 5^{n+2} + 3$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n,~ 2 u_{n} \equiv  28\quad  (\text{modulo}~100)$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de $u_{n}$ suivant les valeurs de $n$.
\item Montrer que le PGCD de deux termes consécutifs de la suite $\left(u_{n}\right)$ est constant. Préciser sa valeur.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 7 points}

\medskip

\textsl{La page annexe sera à compléter et à remettre avec la copie  à la fin de l'épreuve.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[\blue f(x) = x+ \ln x.\]

On nomme $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij{} du plan.

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son intervalle de définition.
		\item Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle 

$]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, l'équation $f(x) = n$ admet une unique solution dans $]0~;~+ \infty[$.

On note $\alpha_{n}$ cette solution. On a donc : pour tout entier naturel 

$n,~\alpha_{n} + \ln \alpha_{n} = n$.
		\item Sur la page annexe, on a tracé $\Gamma$ dans le repère \Oij.

Placer les nombres $\alpha_{0},~ \alpha_{1},~ \alpha_{2},~ \alpha_{3},~ \alpha_{4}$ et $\alpha_{5}$ sur l'axe des abscisses en laissant apparents les traits de construction. 
		\item Préciser la valeur de $\alpha_{1}$.
		\item Démontrer que la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ est strictement croissante.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la tangente $\Delta$ à la courbe $\Gamma$ au point A d'abscisse 1.
		\item Étudier les variations de la fonction $h$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[h(x) = \ln x - x + 1.\]

En déduire la position de la courbe $\Gamma$ par rapport  à $\Delta$.
		\item Tracer $\Delta$ sur le graphique de la page annexe. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul,~$\dfrac{n + 1}{2}  \leqslant \alpha_{n}$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la limite de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère une fonction $g$ continue, strictement croissante sur $]0~;~+ \infty[$ et telle que $\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x) = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$.

On admet que l'on peut, comme on l'a fait dans la \textbf{partie A}, définir sur $\N$ une suite $\left(\beta_{n}\right)$ de réels tels que $g\left(\beta_{n}\right) = n$, et que cette suite est strictement croissante.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démonstration de cours :

\textsl{Prérequis : définition d'une suite tendant vers} $+ \infty$.

\og \textsl{Une suite tend vers} $+ \infty$ \textsl{si, pour tout réel $A$, tous les termes de la suite sont,  à partir d'un certain rang, supérieurs  à $A$} \fg.

Démontrer le théorème suivant : \textsl{ une suite croissante non majorée tend vers}  $+\infty$.
\item Montrer que la suite $\left(\beta_{n}\right)$ tend vers $+ \infty$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal \Ouv. Unité graphique : 2~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On rappelle que, pour tous nombres complexes $a$ et $b$,

$a^3 - b^3 = (a - b)\left(a^2 + ab + b^2\right)$.

Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation $z^3 = 8$.

\item On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives $a,~ b$ et $c$ définies par :
\[a =2,\quad b = - 1+ \text{i}\sqrt{3}\quad  \text{et}\quad  c = - 1 - \text{i}\sqrt{3}.\]

On appelle $r$ la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ et $r'$ la rotation de centre A et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$.

On pose B$'$ = $r'$(B) et C$'$= $r$(C) et on note $b'$ et $c'$ les affixes respectives de B$'$ et C$'$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv.

\textsl{Dans la suite de l'exercice, on complètera cette figure.}
		\item Montrer que $b '= 2 + \sqrt{3} + 3\text{i}$.
		\item Montrer que $b'$ et $c'$ sont des nombres conjugués.
	\end{enumerate}
\item On appelle M, N, P et Q les milieux respectifs des segments [CB], [BB$'$], [B$'$C$'$] et [C$'$C]. On note $m,~ n,~ p$ et $q$ leurs affixes.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'affixe $n$ du point N est égale  à $\dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}\left(1 + \text{i}\sqrt{3}\right)$.

En déduire que les points O, N et C sont alignés.
		\item Montrer que $n + 1 = \text{i} (q + 1)$. Que peut-on en déduire pour le triangle MNQ ?
		\item Montrer que le quadrilatère MNPQ est un carré.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage

\begin{center}\textbf{Page annexe}

\vspace{1cm}

\textsl{Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 3}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-3)(11,14)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt,gridcolor=orange]
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\end{pspicture}
\end{center}
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