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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small septembre 2004}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\medskip

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie septembre 2004~\decofourright}}
 \end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

La  courbe $\mathcal{C}$ donnée ci-dessous est la représentation graphique de  la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}} + 1 - x.\]

\begin{center}\psset{xunit=3cm} \begin{pspicture}(0,-4)(3,1)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabelcolor=white,gridwidth=0.4pt,gridcolor=orange](0,0)(0,-4)(3,1)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(3,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-4)(0,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[dl](0,1){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](1,0){$\vect{\imath}$}
\uput[d](2.8,-1.1){$\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1515}{3}{x ln x 0.5 exp div 1 add x sub}
\uput[u](.2,0){$\alpha$}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=cyan]{
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1515}{1}{x ln x 0.5 exp div 1 add x sub}
\psline(1,0)(.1515,0)}
\psline[linewidth=1pt](0.155,-4)(0.1515,0)
\end{pspicture} \end{center}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f$ est dérivable et que, pour tout $x$ strictement  positif, $f'(x)$ est du signe de
		
\[N(x) = -\left[2\left(x\sqrt{x} -1 \right) + \ln x.\right]\]

		\item Calculer $N(1)$ et déterminer le signe de $N(x)$ en distinguant les cas 

$0 < x < 1$ et $x > 1$.
		\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ et les coordonnées du point de $\mathcal{C}$ d'ordonnée maximale.
	\end{enumerate}
\item On note  $\mathcal{A}(\alpha)$ l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan grisée sur la figure, où $\alpha$
désigne un réel de $]0~;~1[$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $\mathcal{A}(\alpha)$ en fonction de $\alpha$ (on pourra utiliser une  intégration par parties).
		\item Calculer la limite de $\mathcal{A}(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers 0. Donner une interprétation graphique de cette limite.
	\end{enumerate}
\item On définit une suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ par son premier terme $u_0$ élément de [1~;~2] et :

\[ \text{pour tout entier naturel} \quad  n,~ u_{n+1} = \dfrac{\ln 
u_n}{\sqrt{u_n}} + 1.\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer, pour tout réel $x$ élément de [1~;~2], la double inégalité 

$0 \leqslant \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}} \leqslant 1$.
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,~ u_n$ appartient  à [1~;~2].
	\end{enumerate}
\item En remarquant que, pour tout  entier naturel $n,~u_{n+1} = f\left(u_n\right) + u_n$, déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
		\item Déterminer la valeur exacte de $\ell$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 2 cm pour unité graphique.

Pour tout point $M$ du plan d'affixe $z$ on considère les points 
$M'$ et $M''$ d'affixes respectives

\[z' = z - 2 \qquad \text{et} \qquad z'' = z^2.\]

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les points $M$ pour lesquels $M''= M$.
		\item Déterminer les points $M$ pour lesquels $M'' = M'$.
	\end{enumerate}
\item Montrer qu'il existe exactement deux points M$_1$ et M$_2$ dont les images M$_1',~\text{M}_1'',~\text{M}_2'$ et  M$_2''$  appartiennent  à l'axe des ordonnées. Montrer que leurs affixes sont conjuguées.
\item On pose $z = x + \text{i}y$ où $x$	et $y$ sont des nombres réels.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer sous forme algébrique le nombre complexe $\dfrac{z'' - z}{z' - z}$.
		\item En déduire l'ensemble E des points $M$ du plan pour lesquels les points $M,~ M'$ et $M''$ sont alignés. Représenter E graphiquement et en couleur.
	\end{enumerate}
\item On pose $z = \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\theta \in \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble $\Gamma$	des points $M$ d'affixe $z$ ainsi définis  et chacun des ensembles $\Gamma'$ et $\Gamma''$ des points $M'$ et $M''$	associés  à $M$.
		\item Représenter $\Gamma,~ \Gamma'$  et $\Gamma''$	sur la figure précédente
		\item Dans cette question $\theta = \dfrac{\pi}{6}$. Placer le point M$_3$ obtenu pour cette valeur de $\theta$,  et les points M$_3'$ et M$_3''$ qui lui sont  associés.
 Montrer que le triangle M$_3$M$_3'$M$_3''$  est rectangle. Est-il isocèle ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On 
prendra, sur la figure 1 cm pour unité graphique.

On désigne par A, B  et C les points d'affixes respectives $- 1$  + 
i,~$3 + 2\text{i}$ et i$\sqrt{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la transformation $f$ du plan dans lui-même qui  à 
tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M' = f(M)$ d'affixe $z'$ définie par :

\[z' = \dfrac{1 + \text{i}}{\sqrt{2}}\overline{z} - 1 + \text{i}\left(1 + 
\sqrt{2}\right).\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer les affixes des points A$' = f(\text{A})$ et 
C$' = f(\text{C})$.
		\item En déduire la nature de $f$ et caractériser cette transformation.
		\item Placer les points A, B et C puis construire le point B$' = f(\text{B})$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'écriture complexe de l'homothétie 
$h$ de centre A et de rapport $\sqrt{2}$.
		\item Montrer que la composée $g = f \circ h$ a pour écriture complexe 

\mbox{$z'' = (1 + \text{i})\overline{z} - 1 + 3\text{i}$}.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit M$_0$ le point d'affixe $2 - 4\text{i}$.

Déterminer l'affixe du point M$_0'' = g\left(\text{M}_0\right)$ puis vérifier que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AM}_0''}$ sont orthogonaux.
		\item On considère un point $M$ d'affixe $z$. On suppose que la partie réelle $x$ et la partie imaginaire $y$ de $z$ sont des entiers.

Démontrer que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{A}M''}$ sont orthogonaux si, et seulement si $5x + 3y  = -2$.
		\item Résoudre dans $\Z^2$ l'équation $5x + 3y = -2$.
		\item En déduire les points $M$ dont les coordonnées sont des entiers appartenant  à l'intervalle $[-6~;~ 6]$ tels que $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{A}M''}$ sont orthogonaux. Placer les points obtenus sur la figure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

On donne dans le plan trois points A, B et C distincts non alignés.

Une urne U contient six cartons indiscernables au toucher portant les 
nombres $-2,~- 1,~0,~1,~2$ et $3$.

Une urne V contient cinq cartons indiscernables au toucher ; quatre 
cartons portent le nombre 1 et un carton le nombre $- 1$.

On tire au hasard un carton dans chacune des urnes. Les tirages sont 
équiprobables. On note $a$ le nombre lu sur le canon de U et $b$ celui lu sur le carton de V.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que les points pondérés (A, $a$), (B, 
$b$) et (C, 4) admettent un barycentre. On le note $G$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :

E$_1$ \og $G$ appartient à la  droite (BC) \fg{} ;

E$_2$ \og $G$ appartient au segment [BC] \fg.
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement E$_3$ : \og $G$ est situé  à l'intérieur du triangle ABC et n'appartient à aucun des côtés \fg{}  est égale  à  $\dfrac{2}{5}$. On pourra faire appel des considérations de signe.
	\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul. On répète $n$ fois dans les mêmes conditions l'épreuve qui consiste  à tirer un carton dans chacune des urnes U et V puis  à considérer le barycentre $G$ de la question \textbf{1}.

On désigne par $X$ la variable aléatoire  prenant pour valeurs le nombre 
de réalisations de l'évènement E$_3$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'entier $n$ pour que l'espérance de la variable
 aléatoire  $X$ soit égale à 4.
		\item Déterminer le plus petit entier $n$ pour que la probabilité d'avoir au moins un des barycentres situé  à l'intérieur du triangle ABC soit supérieure ou égale  à $0,999$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}