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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2005}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie septembre 2005~\decofourright}}
 \end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

On étudie le mouvement aléatoire d'une puce. Cette puce se déplace sur trois cases notées A, B et C.

À l'instant 0, la puce est en A.

Pour tout entier naturel $n$ :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] si à l'instant $n$ la puce est en A, alors à l'instant $(n+1)$, elle est :

soit en B avec une probabilité égale à $\dfrac{1}{3}$ ;

soit en C avec une probabilité égale à $\dfrac{2}{3}$.
\item[$\bullet~$] si à l'instant $n$ la puce est en B, alors à l'instant $(n+1)$, elle est :

soit en C, soit en A de façon équiprobable
\item[$\bullet~$] si à l'instant $n$ la puce est en C, alors elle y reste.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $A_{n}$ (respectivement $B_{n},~C_{n}$) l'évènement \og à l'instant $n$ la puce est en A \fg{} (respectivement en B, en C).

 On note $a_{n}$ (respectivement $b_{n},~c_{n}$) la probabilité de l'évènement $A_{n}$, (respectivement $B_{n},~C_{n}$).
 
On a donc : $a_{0} = 1,~b_{0} = c_{0} = 0$.

\emph{Pour traiter l'exercice, on pourra s'aider d'arbres pondérés.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $a_{k},~  b_{k}$ et $c_{k}$ pour $k$ entier naturel tel que $1 \leqslant k \leqslant 3$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n,~$

$a_{n} + b_{n} +c_{n} = 1$ et \renewcommand\arraystretch{1.8}$\left\{\begin{array}{l l l}
a_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}b_{n}\\
b_{n+1}	&=&\dfrac{1}{3}a_{n}\\
\end{array}\right.$\renewcommand\arraystretch{1}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n,~ a_{n+2} = \dfrac{1}{6}a_{n}$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $p,\\
 ~\left\{\begin{array}{l c l}
 a_{2p}=\left(\dfrac{1}{6}\right)^p&\text{et}&~a_{2p+1} = 0\\
b_{2p} = 0& \text{et}&b_{2p+1} = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{6}\right)^p\\
\end{array}\right.$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}  a_{n} =0$.

On admet que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}  b_{n} = 0$. Quelle est la limite de $c_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 7 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv~ (unité graphique : 1~cm).

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans le repère \Ouv, on considère la courbe $\mathcal{H}$ d'équation $y^2  - x^2 = 16$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\mathcal{H}$ est la réunion de deux courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ où $\mathcal{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \sqrt{x^2 + 16}$ et où $\mathcal{C}'$ est l'image de $\mathcal{C}$ par une transformation simple que l'on précisera.
\item Étudier la fonction $f$ (limites aux bornes de l'ensemble de définition et sens de variation).
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite d'équation $y = x$ est une asymptote de $\mathcal{C}$.
		\item Tracer $\mathcal{H}$ dans le repère \Ouv.

On nomme A et B les points de la courbe d'abscisses respectives $-3$ et $3$.

On considère le domaine $\mathcal{D}$ du plan constitué des points $M(x~;~ y)$ vérifiant :

\[-3 \leqslant x \leqslant 3~\text{ et}~ \sqrt{x^2 + 16} \leqslant y  \leqslant 5.\]

Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ et exprimer l'aire de $\mathcal{D}$ à l'aide d'une intégrale que l'on ne cherchera pas à calculer.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On appelle $r$ la rotation de centre O et d'angle $ - \dfrac{\pi}{4}$.

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'écriture complexe de $r$.
		\item On désigne par $x'$ et $y'$ les coordonnées du point $M'$, image du point $M(x~;~ y)$ du plan.

Vérifier que $\left\{\begin{array}{l c l}
x' &=& \dfrac{1}{\sqrt{2}} (x + y)\\
y'&=&  \dfrac{1}{\sqrt{2}}(- x + y)\\
\end{array}\right.$

Déterminer les coordonnées des points A$'$ et B$'$, images respectives de A et B par la
rotation $r$. Placer les points A$'$ et B$'$ dans le repère \Ouv.
	\end{enumerate}
\item Soit $\mathcal{H}'$ l'hyperbole d'équation $xy = 8$.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer $\mathcal{H}'$ dans le repère \Ouv.
		\item Montrer que $\mathcal{H}'$ est l'image de $\mathcal{H}$ par la rotation $r$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\mathcal{D}'$ l'image de $\mathcal{D}$ par la rotation $r$. On admet que $\mathcal{D}'$ est l'ensemble des points $M(x~;~y)$ du plan vérifiant $\sqrt{2} \leqslant x \leqslant 4\sqrt{2}$ et $ \dfrac{8}{x} \leqslant y \leqslant5\sqrt{2} - x$.
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer $\mathcal{D}'$.
		\item Calculer l'aire de $\mathcal{D}'$,exprimée en cm$^2$.
		
En déduire une valeur approchée à $10^{-3}$ près de l'aire de $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 3 points}

\medskip

\emph{Pour chacune des $3$ questions, une seule des trois propositions est exacte.}

\emph{Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à  la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}

\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse inexacte enlève $0,5$ point ; l'absence de réponse est comptée $0$ point.}

\emph{Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.}

\medskip

Dans tout l'exercice, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

\medskip

\begin{enumerate}
 \item Le point $M$ est situé sur le cercle de centre A$(-2~;~ 5)$ et de rayon $\sqrt{3}$. Son affixe $z$ vérifie :
	\begin{enumerate}
		\item $|z - 2 + 5\text{i}|^2 = 3$ ;
		\item  $|z + 2 - 5\text{i}|^2 = 3$ ;
		\item $|z - 2 + 5\text{i}| = 3$.
	\end{enumerate}
\item On considère trois points A, B et C d'affixes respectives $a,~ b$ et $c$, deux à deux
distincts et tels que le triangle ABC n'est pas équilatéral. Le point $M$ est un point dont l'affixe $z$ est telle que les nombres complexes	$\dfrac{z - b}{c - a}$ et $\dfrac{z - c}{b - a}$	sont imaginaires purs.
	\begin{enumerate}
		 \item $M$ est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ;
		\item $M$ appartient aux cercles de diamètres respectifs [AC] et [AB] ;
		\item $M$ est l'orthocentre du triangle ABC.
	\end{enumerate}
\item Soit A et B les points d'affixes respectives $1$ + i et 5 + 4i, et C un point du cercle de diamètre [AB]. On appelle $G$ l'isobarycentre des points A, B et C et on note $z_{G}$ son affixe. 
	\begin{enumerate}
		\item $\left|z_{G} - 3 - 2,5\text{i}\right|=  \dfrac{5}{6}$ ;
		\item $z_{G}- (1 + \text{i}) = \dfrac{1}{3}(4 + 3\text{i})$ ;
		\item $z_{G} - (3 + 2,5\text{i}) = \dfrac{1}{3}(4 + 3\text{i})$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\medskip

L'annexe se rapporte à cet exercice.

Elle sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.
Le plan est rapporté à un repère orthogonal \Oij.

Soit la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$  par
 
\[f(x) = \text{e}^{-x}  \cos (4x)\]

et $\Gamma$ sa courbe représentative tracée dans le repère \Oij~ de l'annexe. On considère également la fonction $g$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = \text{e}^{-x}$ et on nomme $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[,$
\[ - \text{e}^{-x} \leqslant  f(x) \leqslant \text{e}^{-x}.\]
		\item En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées des points communs aux courbes $\Gamma$ et $\mathcal{C}$.
\item On définit la suite $\left(u_{n}\right)$ sur $\N$ par $u_{n} = f\left(n\dfrac{\pi}{2}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique. En préciser la raison.
		\item En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ et étudier sa convergence.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$,
\[f'(x) = -\text{e}^{-x} \left[\cos (4x) + 4 \sin (4x)\right].\]
		\item En déduire que les courbes $\Gamma$ et $\mathcal{C}$ ont même tangente en chacun de leurs points communs.
	\end{enumerate}
\item Donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près par excès du coefficient directeur de la
droite $\mathcal{T}$ tangente à la courbe $\Gamma$ au point d'abscisse $\dfrac{\pi}{2}$.

Compléter le graphique donné en annexe,  en y traçant $\mathcal{T}$ et $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{landscape}

\psset{unit=5cm}\begin{pspicture}(0,-1.2)(4,1.2)
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\rput(2.5,1){\textbf{Annexe : exercice 4}}
\end{pspicture}
\end{landscape}
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