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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\rhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small septembre 2007}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S  Polynésie septembre 2007~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On désigne par (E) l'ensemble des fonctions $f$ continues sur l'intervalle [0~;~1] et vérifiant les conditions (P$_{1}$), (P$_{2}$) et (P$_{3}$) suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] (P$_{1}$) : $f$ est strictement croissante sur l'intervalle [0~;~1].
\item[$\bullet~$] (P$_{2}$) : $f(0) = 0$ et $f(1) = 1$.
\item[$\bullet~$] (P$_{3}$) : pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1],~$ f(x) \leqslant  x$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Dans un repère orthonormal \Oij{} du plan, on note ($\mathcal{C}_{f}$) la courbe représentative d'une fonction $f$ de l'ensemble (E) et (D) la droite d'équation $y = x$.

À toute fonction $f$ de (E), on associe le nombre réel $I_{f}= \displaystyle\int_{0}^1  [x - f(x)]\:\text{d}x$.
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Une seule des trois courbes ci-dessous représente une fonction de (E). La déterminer en justifiant l'élimination des deux autres.
\end{enumerate}
\medskip

\psset{unit=1.6cm}
\parbox[l]{0.333\textwidth}{
\begin{pspicture}(-0.4,-1)(1.6,1.6)
\psline[linestyle=dotted](1,0)(1,1)(0,1)
\psframe(-0.4,-0.6)(1.6,1.6)
\psplot{0}{1}{x dup mul}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.4,-0.6)(1.6,1.6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) 
\uput[d](0.4,-0.6){Courbe \no 1}
\uput[dr](0,0){\scriptsize O}
\end{pspicture}} 
\parbox[c]{0.333\textwidth}{\begin{pspicture}(-0.4,-1)(1.6,1.6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.4,-0.6)(1.6,1.6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline[linestyle=dotted](1,0)(1,1)(0,1) 
\psframe(-0.4,-0.6)(1.6,1.6)
\psline(0,0)(0.5,0.75)(1,1)
\uput[d](0.4,-0.6){Courbe \no 2}
\uput[dr](0,0){\scriptsize O}
\end{pspicture}}
\parbox[r]{0.333\textwidth}{\begin{pspicture}(-0.4,-1)(1.6,1.6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.4,-0.6)(1.6,1.6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscurve(0,0)(0.2,0.04)(0.4,0.2)(0.5,0.5)(0.6,0.8)(0.8,0.96)(1,1)
\psline[linestyle=dotted](1,0)(1,1)(0,1) 
\psframe(-0.4,-0.6)(1.6,1.6)
\uput[d](0.4,-0.6){Courbe \no 3}
\uput[dr](0,0){\scriptsize O} 
\end{pspicture}}

\begin{enumerate}[resume]
		\item Montrer que, pour toute fonction $f$ de (E), $I_{f} \geqslant 0$.
	\end{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par $h(x) = 2^x - 1$.
(On rappelle que, pour tout $x$ réel, $2^x = \text{e}^{x\ln 2}$).
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la fonction $h$ vérifie les conditions (P$_{1}$) et (P$_{2}$).
		\item  Soit $\varphi$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par $\varphi(x) = 2^x - x - 1$.
		
Montrer que, pour tout $x$ de [0~;~1],~ $\varphi(x) \leqslant 0$. (On pourra étudier le sens de variation de la fonction $\varphi$ sur [0~;~1]).

En déduire que la fonction $h$ appartient à l'ensemble (E).
		\item  Montrer que le réel $I_{h}$ associé à la fonction $h$ est égal à $\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{\ln 2}$.
	\end{enumerate}
	
\item Soit $P$ une fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par $P(x) = ax^2 + bx+ c$ où $a,~ b$ et $c$
sont trois nombres réels tels que $0 < a < 1$. On se propose de déterminer les valeurs des réels $a,~ b$ et $c$ pour que la fonction $P$ appartienne à l'ensemble (E) et que $I_{p} = I_{h}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la fonction $P$ vérifie la propriété (P$_{2}$) si et seulement si, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1],~ $P(x) = ax^2 + (1 - a)x$.

Montrer que toute fonction $P$ définie sur [0~;~1] par $P(x)=ax^2 +(1 - a)x$ avec $0 < a < 1$  appartient à  (E).
		\item Exprimer en fonction de $a$ le réel $I_{P}$ associé à la fonction $P$.
		\item Montrer qu'il existe une valeur du réel $a$ pour laquelle $I_{P} = I_{h}$. Quelle est cette valeur ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 3.

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}\begin{pspicture}(4,4)
\psline(0,0.3)(2.3,0)(3.2,1)(3.2,3.3)(0.9,3.7)(0,2.6)(0,0.3)%ABCGHEA
\psline(2.3,0)(2.3,2.2)(0,2.6)%BFE
\psline(2.3,2.2)(3.2,3.3)%FG
\psline[linestyle=dotted](0,0.3)(0.9,1.4)(3.2,1)%ADC
\psline[linestyle=dotted](0.9,1.4)(0.9,3.7)%DH
\uput[dl](0,0.3){A} \uput[dr](2.3,0){B} \uput[dr](3.2,1){C}
\uput[dr](0.9,1.4){D} \uput[ul](0,2.6){E} \uput[ul](2.3,2.2){F}
\uput[ur](3.2,3.3){G} \uput[ul](0.9,3.7){H} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On choisit le repère orthonormal $\left(\text{D}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$ tel que $\vect{\imath} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{DA}},~\vect{\jmath} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{DC}}$ et
$\vect{k} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{DH}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner les coordonnées des points A, C et E.
		\item  Déterminer les coordonnées du point L barycentre du système $\{(\text{C}~;~2),~(\text{E}~;~1)\}$.
		\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AE}}$ et $\vect{\text{DL}}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $(a,~ b)$ un couple de réels. On note $M$ le point de la droite (AE) tel que
$\vect{\text{A}M} = a\vect{\text{AE}}$ et $N$ le point de la droite (DL) tel que $\vect{\text{D}N} = b\vect{\text{DL}}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que le vecteur $\vect{MN}$	est orthogonal aux vecteurs $\vect{\text{AE}}$	et $\vect{\text{DL}}$ si et seulement
si le couple $(a,~ b)$ vérifie le système $\left\{\begin{array}{l c l}
- a + 2b& =&1\\
3a - \phantom{2}b& =& 0\\
\end{array}\right.$
		\item En déduire qu'il existe un seul point M$_{0}$ de (AE) et un seul point N$_{0}$ de (DL) tels que la droite (M$_{0}$N$_{0}$) est orthogonale aux droites (AE) et (DL).
		\item Déterminer les coordonnées des points M$_{0}$ et N$_{0}$ puis calculer la distance M$_{0}$N$_{0}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

La végétation d'un pays imaginaire est composée initialement de trois types de plan\-tes :

40\,\% sont de type A, 41\,\% de type B et 19\,\% de type C.

On admet qu'au début de chaque année :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] chaque plante de type A disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type A, B ou C.
\item[$\bullet$] chaque plante de type B disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante
de type A, B ou C.
\item[$\bullet$] chaque plante de type C disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type C.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

La probabilité qu'une plante de type A soit remplacée par une plante de même type est $0,6$ et celle qu'elle le soit par une plante de type B est $0,3$.

La probabilité qu'une plante de type B soit remplacée par une plante de même type est $0,6$ et celle qu'elle le soit par une plante de type A est $0,3$.
 
Au début de chaque année, on choisit au hasard une plante dans la végétation et on relève son type.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $A_{n}$ l'évènement \og la plante choisie la $n$-ième année est de type A \fg,
\item[$\bullet$] $B_{n}$ l'évènement \og la plante choisie la $n$-ième année est de type B \fg,
\item[$\bullet$] $C_{n}$ l'évènement \og la plante choisie la $n$-ième année est de type C \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On désigne par $p_{n},~ q_{n}$ et $r_{n}$ les probabilités respectives des évènements $A_{n}$,\:  $B_{n}$ et $C_{n}$.

Compte tenu de la composition initiale de la végétation (début de l'année $n^{\circ} 0$) on pose : $p_{0} = 0,40, ~q_{0} =  0,41$ et $r_{0} = 0,19$.

\medskip

\parbox{0.55\textwidth}{
\begin{enumerate}
\item  Recopier sur la copie et compléter l'arbre pondéré ci-contre, en remplaçant chaque point d'interrogation par la probabilité correspondante. Aucune justification n'est demandée pour cette question.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $p_{1} = 0,363$ puis calculer $q_{1}$ et $r_{1}$.
		\item  Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul,
\[\left\{\begin{array}{l c l}
p_{n+1}&=& 0,6p_{n} + 0,3 q_{n}\\
q_{n+1}& =& 0,3p_{n} + 0,6q_{n}\\
\end{array}\right.\]
	\end{enumerate}
\item  On définit les suites $\left(S_{n}\right)$ et $\left(D_{n}\right)$ sur $\N$ par
$S_{n} = q_{n} + p_{n}$ et $D_{n} = q_{n} - p_{n}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(S_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison. On admet que $\left(D_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,3$.
		\item Déterminer les limites des suites $\left(S_{n}\right)$ et $\left(D_{n}\right)$.
		\item En déduire les limites des suites $\left(p_{n}\right),~ \left(q_{n}\right)$ et $\left(r_{n}\right)$.

Interpréter le résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.4\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5,4)
\rput(1.75,5.){début de} \rput(1.75,4.5){l'année \no 0}
\rput(3.75,5.){début de} \rput(3.75,4.5){l'année \no 1}
\psline[linestyle=dashed](2,4.3)(2,2.7)
\psline[linestyle=dashed](4,4.3)(4,3.6)
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{A}\taput{?}}
		{\TR{A}\taput{?}
		\TR{B}\taput{?}
		\TR{C}\taput{?}
		}
\pstree[]{\TR{B}\taput{?}}
		{\TR{A}\taput{?}
		\TR{B}\taput{?}
		\TR{C}\taput{?}
		}
\pstree[]{\TR{C}\taput{?}}
		{\TR{C}\taput{?}
		
		}
}
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour cet exercice, les figures correspondant aux parties A et B sont fournies sur la feuille jointe en annexe. Cette feuille ne sera pas remise avec la copie.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

On considère un triangle OAB et une similitude directe $\sigma$ de centre O, de rapport $\lambda$ et d'angle $\theta$. Soit :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] les points A$'$ et B$'$, images respectives des points A et B par la similitude $\sigma$ ;
\item[$\bullet$] les points I, milieu du segment [A$'$ B] et J, milieu du segment [A B$'$] ;
\item[$\bullet$] le point M milieu du segment [AA$'$] ;
\item[$\bullet$] le point H, projeté orthogonal du point O sur la droite (AR) et le point H$'$ image du point H par la similitude $\sigma$.
\end{itemize}

\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Partie A. Étude d'un exemple}

\medskip

Dans cette partie, le point A a pour affixe  $-6 + 4\text{i}$, le point B a pour affixe $2+4\text{i}$, et le point H, projeté orthogonal du point O sur la droite (AB), a donc pour affixe $4$i.

La similitude $\sigma$ est la similitude directe de centre O, de rapport $\dfrac{1}{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les affixes des points A$'$, B$'$ et H$'$.
\item Montrer que la droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (HH$'$).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B. Étude du cas général}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que H$'$ est le projeté orthogonal du point O sur la droite (A$'$ B$'$).
		\item Montrer que $\vect{\text{MI}} = \dfrac{1}{2}\vect{\text{AB}}$. On admet que	$\vect{\text{MJ}} = \dfrac{1}{2}\vect{\text{A}'\text{B}'}$.
		\item En déduire que $\dfrac{\text{MJ}}{\text{MI}} = \dfrac{\text{OH}'}{\text{OH}}$ et que $\left(\vect{\text{MI}},~\vect{\text{MJ}}\right)  = \left(\vect{\text{OH}},~\vect{\text{OH}'}\right) + k\times 2\pi,~ k \in \Z$.
	\end{enumerate}
\item On appelle $s$ la similitude directe qui transforme M en O et I en H.

On note K l'image du point J par la similitude $s$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que OK= OH$'$, puis que $\left(\vect{\text{MI}},~\vect{\text{MJ}}\right)  =\left(\vect{\text{OK}},~\vect{\text{OH}'}\right)  + k\times 2\pi,~ k \in \Z$.
		\item En déduire que le point H$'$ est l'image du point J par la similitude $s$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que $\left(\vect{\text{IJ}},~\vect{\text{HH}'}\right) = \left(\vect{\text{MI}},~\vect{\text{OH}}\right) + k\times 2\pi,~ k \in \Z$.

Montrer que la droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (HH$'$).
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE}

\begin{flushleft} Cette page ne sera pas remise avec la copie

\textbf{Partie A}
\end{flushleft}
\psset{unit=8.5mm}
\begin{pspicture}(12,10)
%\psaxes(7.5,5)(0,-5)(14,5)
\multido{\d=-0.20+1.1}{11}{\psline(\d,5)(\d,5.2)}
\multido{\d=-0.20+1.05}{9}{\psline(7.5,\d)(7.7,\d)}
\psline(-0.2,5)(12,5)
\psline(7.5,-0.2)(7.5,10)
\psline(1,9.2)(7.5,5)(9.5,9.2)(1,9.2) 
\uput[dl](7.5,5){O} \uput[d](8,5){$\vect{u}$}
\uput[l](7.5,5.5){$\vect{v}$}
\psline[linewidth=2pt]{<->}(8.5,5)(7.5,5)(7.5,6)
\uput[ul](1,9.2){A} \uput[ul](7.5,9.2){H}
\uput[ur](9.5,9.2){B}
\end{pspicture}

\bigskip
\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}
\psset{unit=6.5mm}
\begin{pspicture}(17,10)
%\psgrid
\psline(0,9.7)(6.4,0)%B'A'H'
\psline(0,4.6)(17,8.5)%HAB
\psline(3.75,4)(8.95,3.3)(16.2,8.3)%B'OB
\psline(0.3,9.3)(8.95,3.3)(11,7.1)%B'OA
\uput[dl](0.3,9.3){B$'$} \uput[dl](3.75,4){A$'$}
\uput[dr](8.95,3.3){O} \uput[u](16.2,8.3){B}
\uput[dl](5.6,1.25){H$'$} \uput[dl](7.3,5.7){M}
\uput[ur](5.5,8.3){J} \uput[dl](9.9,6.3){I}
\uput[ul](11,7.3){A}\uput[u](8.2,6.5){H}
\psdots(7.3,5.7)(9.9,6.3)(5.5,8.3)(5.6,1.25)(8.2,6.5)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}