%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt}\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{ulem} \usepackage{graphics} \usepackage{lscape} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Polynésie septembre 2017}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{A. P{}. M. E. P{}.} \rhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small septembre 2007} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie septembre 2007~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On désigne par (E) l'ensemble des fonctions $f$ continues sur l'intervalle [0~;~1] et vérifiant les conditions (P$_{1}$), (P$_{2}$) et (P$_{3}$) suivantes : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] (P$_{1}$) : $f$ est strictement croissante sur l'intervalle [0~;~1]. \item[$\bullet~$] (P$_{2}$) : $f(0) = 0$ et $f(1) = 1$. \item[$\bullet~$] (P$_{3}$) : pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1],~$ f(x) \leqslant x$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Dans un repère orthonormal \Oij{} du plan, on note ($\mathcal{C}_{f}$) la courbe représentative d'une fonction $f$ de l'ensemble (E) et (D) la droite d'équation $y = x$. À toute fonction $f$ de (E), on associe le nombre réel $I_{f}= \displaystyle\int_{0}^1 [x - f(x)]\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Une seule des trois courbes ci-dessous représente une fonction de (E). La déterminer en justifiant l'élimination des deux autres. \end{enumerate} \medskip \psset{unit=1.6cm} \parbox[l]{0.333\textwidth}{ \begin{pspicture}(-0.4,-1)(1.6,1.6) \psline[linestyle=dotted](1,0)(1,1)(0,1) \psframe(-0.4,-0.6)(1.6,1.6) \psplot{0}{1}{x dup mul} \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.4,-0.6)(1.6,1.6) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.4,-0.6){Courbe \no 1} \uput[dr](0,0){\scriptsize O} \end{pspicture}} \parbox[c]{0.333\textwidth}{\begin{pspicture}(-0.4,-1)(1.6,1.6) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.4,-0.6)(1.6,1.6) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psline[linestyle=dotted](1,0)(1,1)(0,1) \psframe(-0.4,-0.6)(1.6,1.6) \psline(0,0)(0.5,0.75)(1,1) \uput[d](0.4,-0.6){Courbe \no 2} \uput[dr](0,0){\scriptsize O} \end{pspicture}} \parbox[r]{0.333\textwidth}{\begin{pspicture}(-0.4,-1)(1.6,1.6) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.4,-0.6)(1.6,1.6) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \pscurve(0,0)(0.2,0.04)(0.4,0.2)(0.5,0.5)(0.6,0.8)(0.8,0.96)(1,1) \psline[linestyle=dotted](1,0)(1,1)(0,1) \psframe(-0.4,-0.6)(1.6,1.6) \uput[d](0.4,-0.6){Courbe \no 3} \uput[dr](0,0){\scriptsize O} \end{pspicture}} \begin{enumerate}[resume] \item Montrer que, pour toute fonction $f$ de (E), $I_{f} \geqslant 0$. \end{enumerate} \item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par $h(x) = 2^x - 1$. (On rappelle que, pour tout $x$ réel, $2^x = \text{e}^{x\ln 2}$). \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $h$ vérifie les conditions (P$_{1}$) et (P$_{2}$). \item Soit $\varphi$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par $\varphi(x) = 2^x - x - 1$. Montrer que, pour tout $x$ de [0~;~1],~ $\varphi(x) \leqslant 0$. (On pourra étudier le sens de variation de la fonction $\varphi$ sur [0~;~1]). En déduire que la fonction $h$ appartient à l'ensemble (E). \item Montrer que le réel $I_{h}$ associé à la fonction $h$ est égal à $\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{\ln 2}$. \end{enumerate} \item Soit $P$ une fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par $P(x) = ax^2 + bx+ c$ où $a,~ b$ et $c$ sont trois nombres réels tels que $0 < a < 1$. On se propose de déterminer les valeurs des réels $a,~ b$ et $c$ pour que la fonction $P$ appartienne à l'ensemble (E) et que $I_{p} = I_{h}$. \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $P$ vérifie la propriété (P$_{2}$) si et seulement si, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1],~ $P(x) = ax^2 + (1 - a)x$. Montrer que toute fonction $P$ définie sur [0~;~1] par $P(x)=ax^2 +(1 - a)x$ avec $0 < a < 1$ appartient à (E). \item Exprimer en fonction de $a$ le réel $I_{P}$ associé à la fonction $P$. \item Montrer qu'il existe une valeur du réel $a$ pour laquelle $I_{P} = I_{h}$. Quelle est cette valeur ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 3. \begin{center} \psset{unit=1.5cm}\begin{pspicture}(4,4) \psline(0,0.3)(2.3,0)(3.2,1)(3.2,3.3)(0.9,3.7)(0,2.6)(0,0.3)%ABCGHEA \psline(2.3,0)(2.3,2.2)(0,2.6)%BFE \psline(2.3,2.2)(3.2,3.3)%FG \psline[linestyle=dotted](0,0.3)(0.9,1.4)(3.2,1)%ADC \psline[linestyle=dotted](0.9,1.4)(0.9,3.7)%DH \uput[dl](0,0.3){A} \uput[dr](2.3,0){B} \uput[dr](3.2,1){C} \uput[dr](0.9,1.4){D} \uput[ul](0,2.6){E} \uput[ul](2.3,2.2){F} \uput[ur](3.2,3.3){G} \uput[ul](0.9,3.7){H} \end{pspicture} \end{center} \medskip On choisit le repère orthonormal $\left(\text{D}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$ tel que $\vect{\imath} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{DA}},~\vect{\jmath} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{DC}}$ et $\vect{k} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{DH}}$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner les coordonnées des points A, C et E. \item Déterminer les coordonnées du point L barycentre du système $\{(\text{C}~;~2),~(\text{E}~;~1)\}$. \item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AE}}$ et $\vect{\text{DL}}$. \end{enumerate} \item Soit $(a,~ b)$ un couple de réels. On note $M$ le point de la droite (AE) tel que $\vect{\text{A}M} = a\vect{\text{AE}}$ et $N$ le point de la droite (DL) tel que $\vect{\text{D}N} = b\vect{\text{DL}}$. \begin{enumerate} \item Montrer que le vecteur $\vect{MN}$ est orthogonal aux vecteurs $\vect{\text{AE}}$ et $\vect{\text{DL}}$ si et seulement si le couple $(a,~ b)$ vérifie le système $\left\{\begin{array}{l c l} - a + 2b& =&1\\ 3a - \phantom{2}b& =& 0\\ \end{array}\right.$ \item En déduire qu'il existe un seul point M$_{0}$ de (AE) et un seul point N$_{0}$ de (DL) tels que la droite (M$_{0}$N$_{0}$) est orthogonale aux droites (AE) et (DL). \item Déterminer les coordonnées des points M$_{0}$ et N$_{0}$ puis calculer la distance M$_{0}$N$_{0}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip La végétation d'un pays imaginaire est composée initialement de trois types de plan\-tes : 40\,\% sont de type A, 41\,\% de type B et 19\,\% de type C. On admet qu'au début de chaque année : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet$] chaque plante de type A disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type A, B ou C. \item[$\bullet$] chaque plante de type B disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type A, B ou C. \item[$\bullet$] chaque plante de type C disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type C. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} La probabilité qu'une plante de type A soit remplacée par une plante de même type est $0,6$ et celle qu'elle le soit par une plante de type B est $0,3$. La probabilité qu'une plante de type B soit remplacée par une plante de même type est $0,6$ et celle qu'elle le soit par une plante de type A est $0,3$. Au début de chaque année, on choisit au hasard une plante dans la végétation et on relève son type. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet$] $A_{n}$ l'évènement \og la plante choisie la $n$-ième année est de type A \fg, \item[$\bullet$] $B_{n}$ l'évènement \og la plante choisie la $n$-ième année est de type B \fg, \item[$\bullet$] $C_{n}$ l'évènement \og la plante choisie la $n$-ième année est de type C \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On désigne par $p_{n},~ q_{n}$ et $r_{n}$ les probabilités respectives des évènements $A_{n}$,\: $B_{n}$ et $C_{n}$. Compte tenu de la composition initiale de la végétation (début de l'année $n^{\circ} 0$) on pose : $p_{0} = 0,40, ~q_{0} = 0,41$ et $r_{0} = 0,19$. \medskip \parbox{0.55\textwidth}{ \begin{enumerate} \item Recopier sur la copie et compléter l'arbre pondéré ci-contre, en remplaçant chaque point d'interrogation par la probabilité correspondante. Aucune justification n'est demandée pour cette question. \item \begin{enumerate} \item Montrer que $p_{1} = 0,363$ puis calculer $q_{1}$ et $r_{1}$. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[\left\{\begin{array}{l c l} p_{n+1}&=& 0,6p_{n} + 0,3 q_{n}\\ q_{n+1}& =& 0,3p_{n} + 0,6q_{n}\\ \end{array}\right.\] \end{enumerate} \item On définit les suites $\left(S_{n}\right)$ et $\left(D_{n}\right)$ sur $\N$ par $S_{n} = q_{n} + p_{n}$ et $D_{n} = q_{n} - p_{n}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(S_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison. On admet que $\left(D_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,3$. \item Déterminer les limites des suites $\left(S_{n}\right)$ et $\left(D_{n}\right)$. \item En déduire les limites des suites $\left(p_{n}\right),~ \left(q_{n}\right)$ et $\left(r_{n}\right)$. Interpréter le résultat. \end{enumerate} \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.4\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5,4) \rput(1.75,5.){début de} \rput(1.75,4.5){l'année \no 0} \rput(3.75,5.){début de} \rput(3.75,4.5){l'année \no 1} \psline[linestyle=dashed](2,4.3)(2,2.7) \psline[linestyle=dashed](4,4.3)(4,3.6) \pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{A}\taput{?}} {\TR{A}\taput{?} \TR{B}\taput{?} \TR{C}\taput{?} } \pstree[]{\TR{B}\taput{?}} {\TR{A}\taput{?} \TR{B}\taput{?} \TR{C}\taput{?} } \pstree[]{\TR{C}\taput{?}} {\TR{C}\taput{?} } } \end{pspicture}} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour cet exercice, les figures correspondant aux parties A et B sont fournies sur la feuille jointe en annexe. Cette feuille ne sera pas remise avec la copie. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On considère un triangle OAB et une similitude directe $\sigma$ de centre O, de rapport $\lambda$ et d'angle $\theta$. Soit : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet$] les points A$'$ et B$'$, images respectives des points A et B par la similitude $\sigma$ ; \item[$\bullet$] les points I, milieu du segment [A$'$ B] et J, milieu du segment [A B$'$] ; \item[$\bullet$] le point M milieu du segment [AA$'$] ; \item[$\bullet$] le point H, projeté orthogonal du point O sur la droite (AR) et le point H$'$ image du point H par la similitude $\sigma$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \bigskip \textbf{Partie A. Étude d'un exemple} \medskip Dans cette partie, le point A a pour affixe $-6 + 4\text{i}$, le point B a pour affixe $2+4\text{i}$, et le point H, projeté orthogonal du point O sur la droite (AB), a donc pour affixe $4$i. La similitude $\sigma$ est la similitude directe de centre O, de rapport $\dfrac{1}{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les affixes des points A$'$, B$'$ et H$'$. \item Montrer que la droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (HH$'$). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B. Étude du cas général} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que H$'$ est le projeté orthogonal du point O sur la droite (A$'$ B$'$). \item Montrer que $\vect{\text{MI}} = \dfrac{1}{2}\vect{\text{AB}}$. On admet que $\vect{\text{MJ}} = \dfrac{1}{2}\vect{\text{A}'\text{B}'}$. \item En déduire que $\dfrac{\text{MJ}}{\text{MI}} = \dfrac{\text{OH}'}{\text{OH}}$ et que $\left(\vect{\text{MI}},~\vect{\text{MJ}}\right) = \left(\vect{\text{OH}},~\vect{\text{OH}'}\right) + k\times 2\pi,~ k \in \Z$. \end{enumerate} \item On appelle $s$ la similitude directe qui transforme M en O et I en H. On note K l'image du point J par la similitude $s$. \begin{enumerate} \item Montrer que OK= OH$'$, puis que $\left(\vect{\text{MI}},~\vect{\text{MJ}}\right) =\left(\vect{\text{OK}},~\vect{\text{OH}'}\right) + k\times 2\pi,~ k \in \Z$. \item En déduire que le point H$'$ est l'image du point J par la similitude $s$. \end{enumerate} \item Montrer que $\left(\vect{\text{IJ}},~\vect{\text{HH}'}\right) = \left(\vect{\text{MI}},~\vect{\text{OH}}\right) + k\times 2\pi,~ k \in \Z$. Montrer que la droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (HH$'$). \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \begin{flushleft} Cette page ne sera pas remise avec la copie \textbf{Partie A} \end{flushleft} \psset{unit=8.5mm} \begin{pspicture}(12,10) %\psaxes(7.5,5)(0,-5)(14,5) \multido{\d=-0.20+1.1}{11}{\psline(\d,5)(\d,5.2)} \multido{\d=-0.20+1.05}{9}{\psline(7.5,\d)(7.7,\d)} \psline(-0.2,5)(12,5) \psline(7.5,-0.2)(7.5,10) \psline(1,9.2)(7.5,5)(9.5,9.2)(1,9.2) \uput[dl](7.5,5){O} \uput[d](8,5){$\vect{u}$} \uput[l](7.5,5.5){$\vect{v}$} \psline[linewidth=2pt]{<->}(8.5,5)(7.5,5)(7.5,6) \uput[ul](1,9.2){A} \uput[ul](7.5,9.2){H} \uput[ur](9.5,9.2){B} \end{pspicture} \bigskip \begin{flushleft} \textbf{Partie B} \end{flushleft} \psset{unit=6.5mm} \begin{pspicture}(17,10) %\psgrid \psline(0,9.7)(6.4,0)%B'A'H' \psline(0,4.6)(17,8.5)%HAB \psline(3.75,4)(8.95,3.3)(16.2,8.3)%B'OB \psline(0.3,9.3)(8.95,3.3)(11,7.1)%B'OA \uput[dl](0.3,9.3){B$'$} \uput[dl](3.75,4){A$'$} \uput[dr](8.95,3.3){O} \uput[u](16.2,8.3){B} \uput[dl](5.6,1.25){H$'$} \uput[dl](7.3,5.7){M} \uput[ur](5.5,8.3){J} \uput[dl](9.9,6.3){I} \uput[ul](11,7.3){A}\uput[u](8.2,6.5){H} \psdots(7.3,5.7)(9.9,6.3)(5.5,8.3)(5.6,1.25)(8.2,6.5) \end{pspicture} \end{center} \end{document}