\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{fltpoint}
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add,pst-3dplot}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small Polynésie}
\rfoot{\small juin 1998}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie  juin 1998~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit une fonction $f$ dérivable et strictement croissante sur $[- 1~;~6]$.

La courbe ($\mathcal{C}$) représentant $f$ passe par B(2~;~0) et C(5 ; 
2).

Sa tangente ($\mathcal{D}$) au point A(3 ; 1) passe par E$(0~;~- 1)$.

Le graphique donné pourra être exploité dans tout l'exercice.

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(6,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt](0,0)(-1,-2)(6,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-2)(6,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(-1,-1.6667)(6,3)\uput[dr](0,0){O}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-1,-2)(0,-1.85)(1,-1.3)(2,0)(3,1)(4,1.51)(5,2)(6,2.5)
\rput(2.8,1.1){A} \rput(2.2,-0.2){B} \rput(0.2,-1.2){E} 
\uput[dr](5,2){C} 
\rput(5.6,2.1){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

On désigne par $\ln$ la fonction logarithme népérien. Soit $g$ la fonction
définie par $g(x) = \ln [f(x)]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour quelles valeurs de $x,\: g(x)$ est-il défini ? On
note I l'intervalle trouvé.

\item Quel est le sens de variation de $g$ sur I (justifier) ? 
\item Résoudre dans l'intervalle I l'équation $g(x) = 0$.
\item Donner une valeur décimale approchée de $g(5)$ à 
0,01 près.
\item Exprimer $g'(x)$ en fonction de $f(x)$ et de 
$f'(x)$. En déduire la valeur de $g'(3)$.
\item Quelle est la limite de la fonction $g$ en 2 ?
Interpréter graphiquement ce résultat.
\item En utilisant tous les résultats précédents, donner dans un repère orthonormal (l'unité graphique est le centimètre) l'allure de la courbe (F) représentant la fonction $g$ ainsi que sa tangente au point
d'abscisse 3.
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

On donnera les réponses sous forme de fractions.
On dispose de 10 boules blanches, de 10 boules noires et de deux urnes 
$U_{1}$ et $U_{2}$.

Un joueur peut répartir les 20 boules comme il le veut entre les deux urnes. Puis
on lui bande les yeux, et il choisit au hasard l'une des deux urnes, dans 
laquelle il tire une boule. Si cette boule est blanche, il gagne.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Luc dépose une boule noire dans l'urne $U_{1}$ et les 19 autres boules dans
l'urne $U_{2}$. Quelle est la probabilité qu'il gagne ?
 \item Yves dépose une boule blanche dans l'urne
$U_{1}$ et les 19 autres boules dans l'urne $U_{2}$. Quelle est la probabilité
qu'il gagne ?
\item Louise dépose 5 boules blanches dans chaque urne, $n$ boules noires dans
l'urne $U_{1}$ et $(10 - n)$ boules noires dans l'urne $U_{2}\:(0 \leqslant n \leqslant	
10)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité qu'elle gagne est égale à :
		
\[P_{n} = \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{5}{5 + n} + \dfrac{ 5}{15 - n}\right).\]
		
		\item On donne le tableau ci-dessous :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$n$							&0&1				&2				&3				&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline\hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$P_{n}$& &$\dfrac{50}{84}$	&$\dfrac{50}{91}$&$\dfrac{50}{96}$&$\dfrac{50}{99}$&
 &$\dfrac{50}{99}$&$\dfrac{50}{96}$&$\dfrac{50}{91}$&$\dfrac{50}{84}$& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		
Déterminer les valeurs manquantes.
		\item Ranger les probabilités de gagner de Luc, Yves et Louise dans l'ordre croissant.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
		
\vspace{0,5cm}
		
\textbf{Exercice 2} \hfill 5 points
 
\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip
 
Dans une entreprise, la direction et le personnel se sont mis d'accord , afin
d'éviter des licenciements, pour réduire la durée hebdomadaire du travail et la
faire passer de cinq jours à quatre jours.
 
L'un des trois jours de congé sera le dimanche, les deux autres étant répartis
au hasard dans la semaine.
 
Dans un sac, on a disposé six boules portant chacune le nom d'un des jours de la semaine, du lundi au samedi. Chaque employé \og choisit \fg{} ses deux jours de congé autres que le dimanche en tirant au hasard et simultanément deux des boules, supposées indiscernables au toucher. Il remet ensuite les deux boules tirées dans le sac. 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $A$ l'évènement : \og L'un des jours de congé est le
samedi \fg. Montrer que la probabilité de $A$ est égale à 
$\dfrac{1}{3}$.
		\item On définit les évènements $B$ et $C$ suivants :
		
$B$ :  \og Parmi les jours de congé figurent le lundi, ou le samedi, ou ces deux
jours \fg.
		
$C$ : \og Les jours de congé sont trois jours consécutifs \fg.
		
Calculer la probabilité de ces évènements.
		\item Nicolas aimerait bien avoir les mêmes jours de congé qu'Aurélie. Quelle est
la probabilité que son souhait se réalise ?
	\end{enumerate}
\item L'entreprise compte douze employés. On désigne pas $X$ la variable aléatoire
égale au nombre d'employés ayant tiré le samedi comme jour de congé. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que $X$ soit égal à 5.
		\item Le tableau suivant donne quelques valeurs de la fonction de répartition de
$X$ avec une précision de \np{0,0001} : 
$$\begin{array}{*{6}{| c}|}\hline
X&	0&	1&	2&	3& 	4\\ \hline
P(X \leqslant x) &	\np{0,0077} &	\np{0,0540} &  \np{0,1811}& \np{0,3931}&	\np{0,6315}\\ \hline
\end{array}$$
En déduire la probabilité que $X$ soit inférieure ou égale à $5$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip
 
Une entreprise fabrique un produit chimique liquide. Les coûts seront
exprimés en milliers de francs (francs français) et les quantités en 
tonnes.
 
\medskip 

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Coût marginal}

On a observé que le coût marginal pour une production de $x$ tonnes est donné
pour $x$ réel dans l'intervalle [0~;~40] par la fonction $h$ définie par :

\[h(x) = 1,5\text{e}^{0,05x}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de $h$.
		\item Calculer $h(0),\:h(20),\: h(30),\: h(40)$.
		\item Représenter la fonction $h$ sur l'intervalle [0~;~40]. On prendra comme unités 1~cm pour 4~tonnes en abscisse, 1~cm pour 1~millier de francs en ordonnée.
		\item Trouver la primitive de $h$ sur l'intervalle [0~;~40] qui vaut 30 en 
0. 
	\end{enumerate}
\item  \textbf{Coût total}
		
On note $f(x)$ le coût total pour une production de $x$ tonnes ($0 \leqslant x \leqslant 40$). Les coûts fixes s'élèvent à 30 milliers de francs (c'est-à-dire $f(0) = 30$). On rappelle que $P(x) = h(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f(x) = 30\text{e}^{0,05x}$.
		\item Calculer $\dfrac{f(x + 1)}{f(x)}$ et vérifier que ce nombre est constant. De
quel pourcentage le coût total augmente-t-il quand la production augmente d'une
tonne ?
	\end{enumerate}
\item \textbf{Coût moyen} 
		
Le coût moyen unitaire est défini sur l'intervalle ]0~;~40] par $g(x) = \dfrac{f(x)}{x}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le coût moyen unitaire d'une tonne, quand l'usine en produit $40$ ? (on donnera la réponse arrondie au franc). 
		\item Étudier la fonction $g$ sur l'intervalle ]0~;~40] (limite en 0, sens de variation).
		
Dresser le tableau de variation de $g$. Tracer la courbe représentative de $g$
sur le graphique précédent.
		\item Vérifier sur cet exemple que lorsque le coût moyen est minimal, il est égal au coût marginal. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}