\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Remerciements à Marc Incamps sur la belle île de Raiatea
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text}
\usepackage{pst-eucl,pst-3dplot,pstricks-add}
%\usepackage{tikz}
%\usepackage{tkz-tab}
\usepackage{esvect}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.3cm, right=3.3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\headheight5 mm
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\newcommand{\e}{\text{e}}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{fancyvrb}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat Spécialité},
pdftitle = {Polynésie Sujet 1 17 juin 2025},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\renewcommand\arraystretch{1.}
%\frenchsetup{StandardLists=true}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{17 juin 2025}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}


\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Polynésie 17 juin 2025~\decofourright\\[7pt] Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}

\medskip

\textbf{Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée}
\end{center}

\medskip

\textbf{\large Exercice 1\hfill 5 points}

\medskip

Une équipe américaine a cartographié pour la première fois les allergies alimentaires chez l'enfant aux États-Unis en 2020. L'étude, publiée dans la revue \emph{Clinical Pediatries}, révèle une différence nette entre les zones rurales et les zones urbaines.

\smallskip

On sait qu'en 2020, 17\,\% de la population des États-Unis habite en zone rurale et 83\,\% en zone urbaine.

\smallskip

L'étude menée montre que parmi les enfants des États-Unis vivant en zone rurale, il y en a 6,2\,\% qui sont atteints d'allergie alimentaire.

L'étude révèle aussi que 9\,\% des enfants des États-Unis sont atteints d'allergie alimentaire. 

\smallskip

Pour un évènement $E$ quelconque, on note $P(E)$ sa probabilité et $\overline{E}$ son évènement contraire.

\textbf{Sauf mention contraire, les probabilités seront données sous forme exacte.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On interroge au hasard un enfant dans la population des États-Unis et on note :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $R$ L'évènement: \og l'enfant interrogé habite en zone rurale \fg ;
\item $A$ L'évènement: \og l'enfant interrogé est atteint d'allergie alimentaire \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilité. Cet arbre pourra être complété par la suite.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que l'enfant interrogé habite en zone rurale et soit atteint d'allergie alimentaire,
		\item En déduire la probabilité que l'enfant interrogé habite en zone urbaine et soit atteint d'allergie alimentaire.
		\item L'enfant interrogé habite en zone urbaine. Quelle est la probabilité qu'il soit atteint d'allergie alimentaire ? Arrondir le résultat à $10^{-4}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On réalise une étude en interrogeant au hasard $100$ enfants des États-Unis.

On admet que ce choix se ramène à des tirages successifs indépendants avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'enfants atteints d'allergie alimentaire dans l'échantillon considéré.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Quelle est la probabilité qu'au moins 10 enfants parmi les $100$ interrogés soient atteints d'allergie alimentaire ? Arrondir le résultat à $10^{-4}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On s'intéresse à un échantillon de 20 enfants atteints d'allergie alimentaire choisis au
hasard.

\smallskip

L'âge d'apparition des premiers symptômes allergiques de ces 20 enfants est modélisé par les variables aléatoires $A_1,\: A_2,\ldots, ,A_{20}$. On admet que ces variables aléatoires sont indépendantes et suivent la même loi d'espérance $4$ et de variance $2,25$.


On considère la variable aléatoire:

\[M_{20} = \dfrac{A_1 + A_2 + \ldots + A_{20}}{20}.\]

\begin{enumerate}
\item Que représente la variable aléatoire $M_{20}$ dans le contexte de l'exercice ?
\item Déterminer l'espérance et la variance de $M_{20}$.
\item Justifier, à l'aide de l'inégalité de concentration, que

\[P\left (2 < M_{20} < 6\right ) > 0,97.\]

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Deux avions sont en approche d'un aéroport.

On munit l'espace d'un repère orthonormé \Oijk{} dont l'origine O est le pied de la
tour de contrôle, et le sol est le plan $P_0$ d'équation $z = 0$.

L'unité des axes correspond à 1 km.

On modélise les avions par des points.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-6,-1.8)(4.7,5.5)
%\psgrid
\psline{->}(-6,0.3)(4.7,-0.1)
\psline{->}(0,-1.8)(0,5.5)
\psline{->}(-3,-1)(3,1)
\multido{\n=-1.3+1.3,\nb=-2+2}{5}{\rput(0,\n){\small $\bullet$}\uput[l](0,\n){\small \nb}}
\multido{\n=-4.8+1.2,\na=0.25 +-0.05,\nb=-8+2}{8}{\rput(\n,\na){\small $\bullet$}\uput[d](\n,\na){\small \nb}}
\multido{\n=-2.4+0.6,\na=-0.8 +0.2,\nb=-8+2}{9}{\rput(\n,\na){\small $\bullet$}\uput[ul](\n,\na){\small \nb}}
\psline[linewidth=1.5pt](-4.1,5.5)(-1.7,-0.3)\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](-1.7,-0.3)(-1.4,-1)
\psline[linewidth=1.5pt](-6,5.5)(1,-0.4)\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1,-0.4)(1.8,-1)
\uput[d](4.6,-0.15){$x$}\uput[r](0,5.3){$z$}\uput[ul](3,1){$y$}
\uput[ur](-3.5,4){$d_{\text{A}}$}\uput[dl](-4.2,4){$d_{\text{B}}$}
\rput(-3.9,5){$\bullet$}\rput(-4.8,4.5){$\bullet$}
\uput[ur](-3.9,4.95){A}\uput[dl](-4.8,4.5){B}
\end{pspicture}
\end{center}

L'avion Alpha transmet à la tour sa position en A$(-7~;~ 1~;~7)$ et sa trajectoire est dirigée par le vecteur $\vect{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}$.

L'avion Bêta transmet une trajectoire définie par la droite $d_{\text{B}}$ passant par le point B dont une représentation paramétrique est :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&-11 + 5t\\
y &=&-5 + \phantom{5}t\\
z &=&11 - 4t \end{array}\right.\:\text{où}\: t\:\text{décrit}\:\: \R\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item S'il ne dévie pas de sa trajectoire, déterminer les coordonnées du point S en lequel l'avion Bêta touchera le sol.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d_{\text{A}}$ caractérisant la trajectoire de l'avion Alpha.
		\item Les deux avions peuvent-ils entrer en collision ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'avion Alpha passe par la position E$(-3~;~-1~;~1)$.
		\item Justifier qu'une équation cartésienne du plan $P_{\text{E}}$ passant par E et perpendiculaire à la droite $d_{\text{A}}$ est:

\[2x - y - 3z + 8 = 0.\]
		\item Vérifier que le point F$(-1~;~-3~;~3)$ est le point d'intersection du plan $P_{\text{E}}$ et de la droite $d_{\text{B}}$.
		\item Calculer la valeur exacte de la distance EF, puis vérifier que cela correspond à une distance de \np{3464} m, à 1 m près.
	\end{enumerate}
\item La réglementation aérienne stipule que deux avions en approche doivent être à tout instant à au moins 3 milles nautiques l'un de l'autre (1 mille nautique vaut \np{1852}~m).

Si les avions Alpha et Bêta sont respectivement en E et F au même instant, leur distance de sécurité est-elle respectée ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

On munit le plan d'un repère orthonormé.

Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par :

\[f_0(x) = \e^{- x}\quad \text{et, pour }\: n \geqslant 1, \: \: f_n(x) = x^n\e^{-x}.\]

Pour tout entier naturel $n$, on note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$.

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A : Étude des fonctions \boldmath $f_n$ pour $n \geqslant 1$\unboldmath}

\medskip

On considère un entier naturel $n \geqslant 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que la fonction $f_n$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$.
		
Montrer que pour tout $x \geqslant 0$,

\[f'_n(x) = (n - x)x^{n-1}\e^{-x}.\]

		\item Justifier tous les éléments du tableau ci-dessous:

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7,3.25)
\psframe(7,3.25)\psline(0,2.25)(7,2.25)\psline(0,2.75)(7,2.75)
\psline(1,0)(1,3.25)
\uput[u](0.5,2.65){$x$}\uput[u](1.2,2.65){$0$}\uput[u](4,2.65){$n$}\uput[u](6.6,2.65){$+ \infty$}
\rput(0.5,2.5){$f'_n(x)$}\rput[u](2.5,2.5){+}\rput(4,2.5){0}\rput(5.5,2.5){$-$}
\uput[u](1.2,0){0}\uput[u](6.8,0){0}\uput[d](4,2.25){$\left(\frac{n}{\text{e}}\right)^n$}
\psline{->}(1.5,0.4)(3.4,1.8)\psline{->}(4.4,1.8)(6.4,0.4)
\rput(0.5,1.125){$f_n$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item Justifier par le calcul que le point A$\left(1~;~\e^{-1}\right)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_n$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude des intégrales \boldmath $\displaystyle\int_0^1 f_n(x)\,\text{d}x$\unboldmath{} pour \boldmath $n \geqslant 0$\unboldmath}

\medskip

Dans cette partie, on étudie les fonctions $f_n$ sur [0~;1] et on considère la suite $(I_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:

\[I_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\,\text{d} x = \displaystyle\int_0^1 x^n \e^{-x}\,\text{d}x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur le graphique en ANNEXE, on a représenté les courbes $\mathcal{C}_0, \mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2, \mathcal{C}_{10}$\: et \: $\mathcal{C}_{100}$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner une interprétation graphique de $I_n$.
		\item Par lecture de ce graphique, quelle conjecture peut-on émettre sur la limite
de la suite $(I_n)$ ?
	\end{enumerate}
\item Calculer $I_0$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n$ un entier naturel.
		
Démontrer que pour tout $x \in [0~;~1]$,\:

\[0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^n.\]

		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a :

\[0 \leqslant I_{n+1} \leqslant I_n.\]
	\end{enumerate}
\item Démontrer que la suite $(I_n)$ est convergente, vers une limite positive ou nulle que l'on notera $\ell$.
\item En utilisant une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ on~a :

\[I_{n+1} = (n + 1)I_n - \dfrac{1}{\e}.\]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que si $\ell > 0$, l'égalité de la question 5 conduit à une contradiction.
		\item Démontrer que $\ell = 0$. On pourra utiliser la question 6. a.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

\medskip

On donne ci-dessous le script de la fonction \texttt{mystere}, écrite en langage Python.

On a importé la constante e.

\begin{center}
\begin{Verbatim}[frame=single]
     def mystere(n):
       I = 1 - 1/e
       L = [I]
       for i in range(n):
           I = (i + 1)*I - 1/e
           L.append(I) 
      return L
\end{Verbatim}
\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
\item Que renvoie \texttt{mystere(100)} dans le contexte de l'exercice ?

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.\\ Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'équation différentielle :

\[(E )\quad y' = \dfrac 12y + 4.\]

\smallskip

\textbf{Affirmation 1 :} Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $f$ définies sur $\R$ par :

\[f(x) = k\e^{\frac 12 x} - 8, \quad \text{avec}\: \: k \in \R.\]

\item Dans une classe de terminale, il y a 18 filles et 14 garçons.

On constitue une équipe de volley-ball en choisissant au hasard 3 filles et 3 garçons.

\smallskip

\textbf{Affirmation 2 :} Il y a \np{297024} possibilités pour former une telle équipe.
\item Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par :

\[v_n = \dfrac{n}{2 + \cos (n)}.\]

\textbf{Affirmation 3 :} La suite $(v_n)$ diverge vers $+\infty$.
\item Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on considère les points A(1~;~1~;~2),\: B$(5~;~- 1~;~8)$ et C(2~;~1~;~3).

\textbf{Affirmation 4 :} $\vect{\text{AB}} \cdot\vect{\text{AC}} = 10$ et une mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ est $30\degres$.
\item On considère une fonction $h$ définie sur $]0~;~+ \infty]$ dont la dérivée seconde est
définie sur $]0~;~+ \infty]$ par :

\[h''(x) = x \ln x - 3x.\]

\textbf{Affirmation 5 :}  La fonction $h$ est convexe sur $\left[\e^3~;~+\infty\right[$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{\large ANNEXE : exercice 3}


\vspace{2cm}

\psset{unit=10cm,arrowsize=2pt 3,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.09)(1.05,1.1)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=1,gridlabels=0, gridcolor=lightgray](-1,-1)(11,11)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(1.05,1.1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{1}{2.71828 x neg exp}\uput[u](0.75,0.47){\red $\mathcal{C}_0$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.71828 x neg exp x mul}\uput[u](0.75,0.35){\blue $\mathcal{C}_1$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=gray]{0}{1}{2.71828 x neg exp x  dup mul mul}\uput[u](0.75,0.27){\gray $\mathcal{C}_2$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=magenta]{0}{1}{2.71828 x neg exp x 10 exp mul}\uput[u](0.75,0.06){\magenta $\mathcal{C}_{10}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{0}{1}{2.71828 x neg exp x 100 exp mul}\uput[u](0.92,0.02){\green $\mathcal{C}_{100}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{document}