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%Remerciements à Marc Incamps
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Kriegk
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 2}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{18 juin 2025}}
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\thispagestyle{empty}


\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Polynésie 18 juin 2025~\decofourright\\[7pt] Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}

\medskip

\textbf{Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée}
\end{center}

\medskip

\section*{Exercice 1\hfill 5 points}

\medskip

Dans tout l'exercice, les probabilités seront, si nécessaire, arrondies à $10^{-3}$ près.

Une donnée binaire est une donnée qui ne peut prendre que deux valeurs:  0 ou 1.

Une donnée de ce type est transmise successivement d'une machine à une autre.

Chaque machine transmet la donnée reçue soit de manière fidèle, c'est-à-dire en
transmettant l'information telle qu'elle l'a reçue (1 devient 1 et 0 devient 0), soit de façon
contraire (1 devient 0 et 0 et devient 1).

La transmission est fidèle dans 90\,\% des cas, et donc contraire dans 10\,\% des cas.

Dans tout l'exercice, la première machine reçoit toujours la valeur 1.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on note :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $V_n$ l'évènement : « la $n$-ième machine détient la valeur 1 »;
\item $\overline{V_n}$ l'évènement : « la $n$-ième machine détient la valeur 0 ».
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous.

\medskip

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{$V_1$~}}
{\pstree{\TR{$V_2~$}\taput{\ldots}}
	{\TR{$V_3$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{V_3}$} \tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{V_2}~$}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$V_3$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{V_3}$} \tbput{\ldots}
	}
}
\end{center}

		\item Démontrer que $P(V_3) = 0,82$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
		\item Sachant que la troisième machine a reçu la valeur 1, calculer la probabilité que la deuxième machine ait aussi reçu la valeur 1.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on note $p_n = P(V_n)$.

La première machine a reçu la valeur 1, on a donc $p_1 = 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :
		
\[p_{n+1} = 0,8p_n + 0,1.\]

		\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$,

\[p_n = 0,5 \times 0,8^{n-1} + 0,5.\]

		\item Calculer la limite de $p_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour modéliser en langage Python la transmission de la donnée binaire décrite en début d'exercice, on considère la fonction \texttt{simulation} qui prend en paramètre un entier naturel $n$ qui représente le nombre de transmissions réalisées d'une machine à une autre, et qui renvoie la liste des valeurs successives de la donnée binaire.

On donne ci-dessous le script incomplet de cette fonction.

On rappelle que l'instruction \texttt{rand()} renvoie un nombre aléatoire de l'intervalle [0~;~1[.

\begin{Verbatim}[frame=single]
1   def simulation(n): 
2      donnee = 1
3      liste = [donnee] 
4      for k in range(n):
5          if rand() <0.1
6             donnee = 1 - donnee
7          liste.append(donnee) 
9      return liste
\end{Verbatim}

\medskip

Par exemple, \texttt{simulation(3)} peut renvoyer [1,\: 0,\: 0,\: 1].Cette liste traduit :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item qu'une donnée binaire a été successivement transmise trois fois entre quatre machines;
\item la première machine qui détient la valeur 1 a transmis de façon contraire cette donnée à la deuxième machine ;
\item la deuxième machine a transmis la donnée qu'elle détient de façon fidèle à la troisième ;
\item la troisième machine a transmis de façon contraire la donnée qu'elle détient à la quatrième.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le rôle des instructions des lignes 5 et 6 de l'algorithme ci-dessus.
\item Calculer la probabilité que simulation(4) renvoie la liste [1,\:1,\:1,\:1,\:1] et la probabilité que \texttt{simulation(6)} renvoie la liste [1,\: 0,\:1,\:0,\:0,\:1,\:1].
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]2~;~ +\infty[$ par 

\[f(x) = x \ln (x - 2).\]

Une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous.

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-0.75,-17)(9,17)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,-17)(9,17)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2.0001}{9}{x 2 sub ln x mul}
\uput[ul](8,13){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Conjecturer, à l'aide du graphique, le sens de variation de $f$ ses limites aux bornes
de son ensemble de définition ainsi que les éventuelles asymptotes.
\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$ sur $]2~;~+\infty[$.
\item Calculer $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 2\\x > 2}} f(x)$.

Ce résultat confirme-t-il l'une des conjectures faites à la question 1. ?
\item Démontrer que pour tout $x$ appartenant à $]2~;~+\infty[$ :

\[f'(x) = \ln (x - 2) + \dfrac{x}{x - 2}.\]
\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]2~;~+\infty[$ par $g(x) = f'(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout $x$ appartenant à $]2~;~+\infty[$, on a:

\[g'(x) = \dfrac{x - 4}{(x - 2)^2}.\]

		\item On admet que $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 2\\x>2}} g(x) = + \infty$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = +\infty$.

En déduire le tableau des variations de la fonction $g$ sur $]2~;~+\infty[$. On fera apparaître la valeur exacte de l'extremum de la fonction $g$.
		\item En déduire que, pour tout $x$ appartenant à $]2~;~+\infty[$,\: $g(x) > 0$.
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $]2~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]2~;~+\infty[$ et préciser les coordonnées d'un éventuel point d'inflexion de la courbe représentative de la fonction $f$.
\item Combien de valeurs de $x$ existe-t-il pour lesquelles la courbe représentative de $f$
admet une tangente de coefficient directeur égal à $3$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk.

On considère les points suivants:

\begin{center}A(1~;~3~;~0), \quad B$(-1~;~4~;~5)$, \quad C(0~;~1~;~0) \quad et \quad D$(- 2~;~2~;~1)$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item Montrer que les points A, B et C déterminent un plan.
\item Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.
\item Soit $\Delta$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur $\vect{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan (ABC).
		\item Justifier que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne:

\[2x - y + z + 1 = 0.\]

		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\item On appelle H le point de coordonnées $\left(-\frac 23~ ~\frac 43~;~\frac 53\right)$.

Vérifier que H est le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).
\item On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par$ V = \dfrac 13 B \times h$, où $B$ est l'aire
 d'une base du tétraèdre et $h$ est sa hauteur relative à cette base.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que DH $=\dfrac{2\sqrt 6}{3}$.
		\item En déduire le volume du tétraèdre ABCD.
	\end{enumerate}
\item On considère la droite $d$ de représentation paramétrique :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&1 - 2k\\
y&=& - 3k\\
z&=&1 + \phantom{3}k\end{array}\right. \: \text{où}\:\: k \:\ \text{décrit}\:\: \R.\]

La droite $d$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ?
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient $E$ et $F$ les ensembles $E = \{1~;~2~;~3~;~4~;~5~;~6~;~7\}$ et 

$F = \{0~;~1~;~2~;~3~;~ 4~;~5~;~6~;~7~;~8~;~9\}$.

\smallskip

\textbf{Affirmation \no 1 :} Il y a davantage de 3-uplets d'éléments distincts de $E$ que de combinaisons à 4 éléments de $F$.
\end{enumerate}

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
\item Dans le repère orthonormé ci-contre, on a représenté la fonction carré, notée $f$, ainsi que le carré ABCD de côté 3.

\textbf{Affirmation \no 2 :} La zone hachurée et le carré ABCD ont la même aire.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\psset{unit=0.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-4.5,-1)(4.5,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4.5,0)(4.5,10)
\psframe[linecolor=blue,linewidth=1.35pt](3,3)
\pscustom[fillstyle=vlines]{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{3.}{x dup mul}\psline(3,9)(3,0)(0,0)}
\uput[dl](0,0){\blue \small A}\uput[dr](3,0){\blue \small B}\uput[ur](3,3){\blue \small C}\uput[ul](0,3){\blue \small D}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3.1}{3.1}{x dup mul}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[start=3]
\item On considère l'intégrale $J$ ci-dessous : 

\[J = \displaystyle\int_1^2 x \ln (x)\,\text{d}x.\]

\textbf{Affirmation \no 3 :} Une intégration par parties permet d'obtenir: $J = \dfrac{7}{11}$.

\item Sur $\R$, on considère l'équation différentielle 

\[(E) :\quad  y' = 2y - \e^x.\]

\textbf{Affirmation \no 4 :} La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \e^x + \e^{2x}$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.
\item  Soit $x$ donné dans [0~;~1[. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:

\[u_n = (x - 1)\e^n + \cos (n).\]

\textbf{Affirmation \no 5 :} La suite $(u_n)$ diverge vers $-\infty.$
\end{enumerate}
\end{document}