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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.} 
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2000}}  
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie septembre 2000~\decofourright}} 
\end{center} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On dispose d'un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On désigne par $p_k$ la probabilité d'obtenir, lors d'un lancer, la face numérotée $k$ ($k$ est un entier et $1 \leqslant k \leqslant 6$).
 
Ce dé a été pipé de telle sorte que :
 
$\bullet~$ les six faces ne sont pas équiprobables,

$\bullet~$ les nombres $p_1,\: p_2,\: p_3,\:p_4,\:p_5,\:p_6$, dans cet ordre, sont six termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison $r$,

$\bullet~$ les nombres $p_1,\:p_2,\:p_4$ dans cet ordre, sont trois termes 
consécutifs d'une suite géométrique. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Démontrer que : $p_k = \dfrac{k}{21}$ pour tout entier $k$ tel que 
$1 \leqslant k \leqslant 6$. 
\item On lance ce dé une fois et on considère les évènements 
suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item A : \og le nombre obtenu est pair \fg 
\item B : \og le nombre obtenu est supérieur ou égal à 3 \fg
\item C : \og le nombre obtenu est 3 ou 4 \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité de chacun de ces évènements. 
		\item Calculer la probabilité que le nombre obtenu soit supérieur ou égal à 3, sachant qu'il est pair. 
		\item Les évènements A et B sont-ils indépendants ? Les évènements A et C sont-ils indépendants ? 
	\end{enumerate} 
\item On utilise ce dé pour un jeu. On dispose : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] d'une urne U$_1$ contenant une boule blanche et trois boules noires, 
\item[$\bullet~$] d'une urne U$_2$ contenant deux boules blanches et une boule noire.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Le joueur lance le dé : 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] s'il obtient un nombre pair, il extrait au hasard une boule de l'urne U$_1$, 
\item[$\bullet~$] s'il obtient un nombre impair, il extrait au hasard une boule de l'urne U$_2$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On suppose que les tirages sont équiprobables et le joueur est déclaré gagnant 
lorsqu'il tire une boule blanche, on note G cet évènement.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement G $\cap$ A, puis la probabilité de l'évènement G. 
		\item Le joueur est gagnant. Déterminer la probabilité qu'il ait obtenu un nombre pair lors du lancer du dé. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

On considère un cube ABCDEFGH d'arête 1.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer plus simplement le vecteur $\vect{\text{AB}} + \vect{\text{AD}} + \vect{\text{AE}}$. 
		\item En déduire que le produit scalaire $\vect{\text{AG}} . 
\vect{\text{BD}}$ est nul.
		\item Démontrer de même que le produit scalaire 
$\vect{\text{AG}} \cdot \vect{\text{BE}}$ est nul. 
		\item Démontrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (BDE).
	\end{enumerate} 
\item Soit I le centre de gravité du triangle BDE. Déduire de \textbf{1. a.} que le point I est le point d'intersection de la droite (AG) et du plan (BDE), et préciser la position du point I sur le segment [AG]. 
\item Dans cette question, l'espace est orienté par le repère orthonormal 
direct 

(A ;~$\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}$). 
	\begin{enumerate} 
		\item Écrire une équation du plan (BDE). 
		\item Écrire une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ 
passant par le point H et orthogonale au plan (BDE).
		\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection J de la droite $\Delta$ avec le plan (BDE). 
		\item En déduire la distance du point H au plan (BDE).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\begin{center} 
\begin{pspicture}(7,6) 
\psframe(0,0)(4.3,4.3) 
\psline(4.3,0)(5.9,1.3)(5.9,5.6)(1.6,5.6)(0,4.3)(4.3,4.3)(5.9,5.6) 
\psline[linestyle=dotted](0,0)(5.9,1.3)(1.6,5.6)(0,0)(1.6,1.3)(5.9,1.3) 
(1.6,5.6)(1.6,1.3)(5.9,1.3) 
\psline[linestyle=dotted](1.6,1.3)(4.3,4.3) 
\uput[ul](1.6,1.3){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](4.3,0){C} 
\uput[dr](5.9,1.3){D} \uput[u](1.6,5.6){E} \uput[ul](0,4.3){F} 
\uput[dr](4.3,4.3){G} \uput[ur](5.9,5.6){H} 
\end{pspicture} 
\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip
 
Sur la figure ci-dessous, ABCD est un rectangle de sens direct, AEFB et ADGH sont des carrés de sens direct.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Le but de cette première question est de démontrer que les droites (AC), (EG) et (FH) sont concourantes. Pour cela on note I le point 
d'intersection des droites (EG) et (FH) et on introduit :
 
$\bullet~$l'homothétie $h_1$ de centre I qui transforme G en E.

$\bullet~$l'homothétie $h_2$ de centre I qui transforme F en H.
 
\parbox[c]{0.55\textwidth}{\begin{enumerate}\item Déterminer l'image de la droite (CG) par l'homothétie $h_1$ puis par la composée 

$h_2 \circ h_1$. 
\item Déterminer l'image de la droite 
(CF) par la composée $h_1 \circ h_2$. 
\item Justifier l'égalité :\\ 
\[h_2 \circ h_1 = h_1 \circ h_2.\] 
En déduire que la droite (AC) passe aussi par le point I. 
\end{enumerate}} \hfill 
\parbox[c]{0.32\textwidth}{ 
\begin{pspicture}(4.5,4) 
\psline(2.4,2.4)(2.4,0)(0,0)(0,2.4)
\psline(0,2.4)(2.4,2.4)
\psline(0,2.4)(0,3.6)(3.6,3.6)(3.6,2.4)(2.4,2.4)(2.4,3.6) 
\uput[225](0,0){G} \uput[180](0,2.4){D} \uput[135](0,3.6){C} 
\uput[315](2.4,0){H} \uput[315](2.4,2.4){A} \uput[90](2.4,3.6){B} 
\uput[dr](3.6,2.4){E} \uput[ur](3.6,3.6){F} 
\end{pspicture}} 

\item On se propose ici de démontrer que la médiane issue du sommet A du 
triangle AEH est une hauteur du triangle ABD. On note O le milieu du segment 
[EH]. 
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer le vecteur $\vect{\text{AO}}$ en fonction des vecteurs $\vect{\text{AE}}$ et $\vect{\text{AH}}$. 
		\item Exprimer le vecteur $\vect{\text{BD}}$ en fonction des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AD}}$.
		\item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{AO}} \cdot \vect{\text{BD}}$ et conclure. 
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, on étudie la similitude directe S qui transforme 
A en B et D en A.
 
On pose AB = 1 et AD = $k \quad (k > 0)$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer l'angle et le rapport de la similitude S. 
		\item Déterminer l'image de la droite (BD), puis l'image de la droite (AO), par cette similitude S.
		\item En déduire que le point d'intersection $\Omega$ des droites (BD) 
et (AO) est le centre de la similitude S.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\textbf{Enseignement obligatoire et de spécialité}

\medskip

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\R$ par :
 
\[f(x) = 2x + 1 - x \text{e}^{ x-1}.\]
 
On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij.
 
\bigskip
 
\textbf{A. Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath 

\textbf{et construction de la courbe} \boldmath $(\mathcal{C})$ \unboldmath 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étudier la limite de la fonction $f$ en $- \infty$ puis en $+ 
\infty$ (on pourra écrire 

$x \text{e}^{ x-1} = \dfrac{1}{\text{e}}x\text{e}^x$).
 
\item Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x + 1$ est 
asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ en $- \infty$ et préciser la position de la courbe $(\mathcal{C})$ par rapport à la droite $\Delta$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $f'$ et la dérivée seconde $f''$ de la fonction $f$. 
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f'$ en précisant la limite de la fonction $f'$ en - ~$\infty$. 
		\item Calculer $f'(1)$ et en déduire le signe de $f'$ pour tout réel $x$.
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$. 
	\end{enumerate} 
\item Soit I l'intervalle [1,9 ; 2]. Démontrer que, sur I, l'équation 
$f(x) = 0$ a une solution unique, $\alpha$.
\item Tracer la droite $\Delta$ et la courbe $(\mathcal{C})$ (unité 
graphique : 2~cm). 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{B. Recherche d'une approximation de} \boldmath $\alpha$ \unboldmath

\medskip
 
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle I par : 

\[g(x) = 1 + \ln \left( 2 + \dfrac{1}{x}\right).\] 

\begin{enumerate} 
\item Démontrer que, sur I, l'équation $f(x) = 0$ équivaut à l'équation 
$g(x) = x.$ 
\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur I et démontrer 
que, pour tout $x$ appartenant à I, $g(x)$ appartient à I. 
\item Démontrer que, pour tout $x$ de l'intervalle I, 
$|g'(x)| \leqslant \dfrac{1}{9}$. 
\item Soit $(u_{n})$ la suite de nombres réels définie par : 

\[u_{0} = 2 \quad \text{et, pour tout}~ n ~\text{de}~ \N,~ u_{n + 1} = 
g(u_{n}).\]
 
On déduit de la question \textbf{B 2} que tous les termes de cette suite 
appartiennent à l'intervalle I. On ne demande pas de le démontrer. 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que, pour tout $n$ de $\N,~ |u_{n + 1} - 
\alpha| \leqslant \dfrac{1}{9}|u_{n} - \alpha|.$
		\item En déduire, en raisonnant par récurrence, que : 
\[\text{pour tout}~ n~ \text{de}~ \N, \quad |u_{n} - \alpha| \leqslant 
\left(\dfrac{1}{9}\right)^n \times \dfrac{1}{10}.\] 
		\item En déduire que la suite $(u_{n})$ converge et préciser sa limite. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{C. Calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item En intégrant par parties, calculer l'intégrale I = $\displaystyle\int_{1}^{\alpha} x \text{e}^{x- 1}\: \text{d}x$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer, en unités d'aire, l'aire $\mathcal{A}$ de la portion de plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses, la droite d'équation $x = 1$ et la droite d'équation $x = \alpha$. 
		\item Démontrer qu'on peut écrire $\mathcal{A} = (\alpha - 1) 
\left(\alpha - \dfrac{1}{\alpha}\right)$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}