\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{mai 1999}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry mai 1999 \decofourright}}\end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les questions} 2 \emph{et} 3 \emph{sont indépendantes.} \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\C$ l'équation : $z^2 - 2z\sqrt{2} + 4 = 0.$ On désignera par $z_{1}$ la solution dont la partie imaginaire est positive et par $z_{2}$ l'autre solution. \item \begin{enumerate} \item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres $z_{1}$ et $z_{2}$. \item Déterminer le module et un argument du nombre complexe $\left(\dfrac{z_{1}}{z_{2}}\right)^2$. \end{enumerate} \item Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv{} (unité : $1$~cm), on considère le point $M_{1}$ d'affixe $\sqrt{2}(1 + \text{i})$, le point M$_{2}$ d'affixe $\sqrt{2}(1 - \text{i})$ et le point A d'affixe $z_{\text{A}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe du point M$_{3}$ image de M$_{2}$ par l'homothétie $h$ de centre A et de rapport $- 3$. \item Déterminer l'affixe du point M$_{4}$ image de M$_{2}$ par la rotation $r$ de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$. \item Placer dans le même repère les points A,~ M$_{1}$,~ M$_{2}$,~ M$_{3}$ et M$_{4}$. \item Calculer $\dfrac{z_{3} - z_{1}}{z_{4} - z_{1}}$. \item Soient I le milieu du segment [M$_{3}$M$_{4}$] et M$_{5}$ le symétrique de M$_{1}$ par rapport à I. Montrer que les points M$_{1}$,~M$_{3}$,~M$_{5}$ et M$_{4}$ forment un carré. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 4 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On admet que \np{1999} est un nombre premier. Déterminer l'ensemble des couples $(a~;~b)$ d'entiers naturels admettant pour somme \np{11994} et pour PGCD \np{1999}. \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère l'équation $(E)$ d'inconnue $n$ appartenant à $\N$ : \[(E) : n^2 - Sn + \np{11994} = 0~ \text{où}~ S~ \text{est un entier naturel.}\] On s'intéresse à des valeurs de $S$ telles que $(E)$ admette deux solutions dans $\N$. \medskip \begin{enumerate} \item Peut-on déterminer un entier $S$ tel que $3$ soit solution de $(E)$ ? Si oui, préciser la deuxième solution. \item Peut-on déterminer un entier $S$ tel que $5$ soit solution de $(E)$ ? \item Montrer que tout entier $n$ solution de $(E)$ est un diviseur de \np{11994}. En déduire toutes les valeurs possibles de $S$ telles que $(E)$ admette deux solutions entières. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Comment montrerait-on que \np{1999} est un nombre premier ? Préciser le raisonnement employé. La liste de tous les entiers premiers inférieurs à 100 est précisée ci-dessous : 2 \qquad 3 \qquad 5 \qquad 7 \qquad 11 \qquad 13 \qquad 17 \qquad 19 \qquad 23 \qquad 29 \qquad 31 \qquad 37 \qquad 41 \qquad 43 \qquad 47 \qquad 53 \qquad 59 \qquad 61 \qquad 67 \qquad 71 \qquad 73 \qquad 79 \qquad 83 \qquad 89 \qquad 97. \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 4 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On considère un triangle ABC du plan. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer et construire le point G, barycentre de \[[(\text{A}~;~1)~;~(\text{B}~;~-~ 1)~;~(\text{C}~;~ 1)].\] \item Déterminer et construire le point G$'$, barycentre de \[[(\text{A}~;~1)~;~(\text{B}~;~5)~;~(\text{C}~;~- 2)].\] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit J le milieu de [AB]. Exprimer $\vect{\text{GG}'}$ et $\vect{\text{JG}'}$ en fonction de $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ et en déduire l'intersection des droites (GG$'$) et (AB). \item Montrer que le barycentre I de [(B~;~2)~ ;~ (C~;~- 1)] appartient à (GG$'$). \item Soit D un point quelconque du plan. Soient O le milieu de [CD] et K le milieu de [GA]. \end{enumerate} \item Déterminer trois réels $a,~d$ et $c$ tels que K soit barycentre de \[[(\text{A}~;~a)~;~ (\text{D}~;~d)~;~(\text{C}~;~c)].\] \item Soit X le point d'intersection de (DK) et (AC). Déterminer les réels $a'$ et $c'$ tels que X soit barycentre de \[[(\text{A}~;~a')~;~(\text{C}~;~ c')].\] \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 11 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit la fonction numérique $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \dfrac{\text{e}^x - 1}{x^2}.\] \medskip \textbf{Partie A} \textbf{Recherche graphique d'un extremum} \medskip L'observation de la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'écran graphique d'une calculatrice donne à penser que $f$ admet un minimum sur l'intervalle $[0,5~;~2]$. On se propose d'en donner une valeur approchée. Observer ci-dessous la représentation graphique de la fonction $f'$, dérivée de $f$ sur l'intervalle $[0,5~;~2]$. \begin{center} \psset{xunit=4cm} \psset{yunit=1cm} \begin{pspicture}(0,-4)(2,1.1) \psgrid[subgriddiv=2,griddots=5,gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(0,-4)(2,1) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,-4)(2,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{2}{2.71828 x exp x mul 2.71828 x exp 2 mul sub 2 add x 2 exp div} \end{pspicture} \end{center} Quels sont les éléments graphiques concernant $f'$ qui vont dans le sens de l'existence d'un minimum de $f$ sur [0,5~;~2] ? À l'aide de ce graphique, donner un encadrement d'amplitude $0,2$ de l'abscisse de ce minimum. \bigskip \textbf{Partie B} \textbf{Étude de la fonction $F$} \medskip On considère la fonction $h$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $h(x) = x\text{e}^x - 2\text{e}^x + 2.$ \begin{enumerate} \item Déterminer les variations de $h$ (on précisera $h(0)$ mais la limite en $+ ~\infty$ n'est pas demandée). \item Déterminer le signe de $h\left(\dfrac{3}{2}\right)$. En déduire qu'il existe un unique réel $a$ appartenant à l'intervalle $\left[\dfrac{3}{2}~;~2\right]$ tel que $h(a) = 0$. En déduire le signe de $h$ sur $[0~;~+ \infty[$. \item Étude de la fonction $f$ \begin{enumerate} \item Calculer les limites de $f$ aux bornes de l'intervalle $[0~;~+~\infty[$. \item Montrer que, pour tout nombre $x$ strictement positif, \[f'(x) = \dfrac{x\text{e}^x - 2\text{e}^x + 2}{x^3}.\] En déduire le sens de variations de $f$ et dresser son tableau de variations. \item Montrer que $f(a) = \dfrac{- 1}{a(a - 2)}$ et en déduire le signe de $f(a)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \textbf{Recherche d'un encadrement du nombre $a$} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que, sur $[0~;~+\infty[$, l'équation $h(x) = 0$ équivaut à \[2\left(1 - \text{e}^{- x}\right) = x.\] \item Soit la fonction $g$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \[g(x) = 2\left(1 - \text{e}^{-~x}\right).\] On pose I = $\left[\dfrac{3}{2}~;~2 \right]$. Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle I,~ $|g'(x)| \leqslant\dfrac{1}{2}$. \item Soit la suite $(x_{n})_{n > 1}$ définie par \[\left \{ \begin{array}{l c l} x_{1} & = & \dfrac{3}{2}\\ x_{n+1} & = & g(x_{n})\\ \end{array}\right.~\text{pour tout entier}~n \geqslant 1.\] On admet que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1,~x_{n}$ appartient à $I$. \item Démontrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1 : \[|x_{n+1} - a| \leqslant \dfrac{1}{2}|x_{n} - a|\] \[\text{et} \quad |x_{n} - a| \leqslant \dfrac{1}{2^n}.\] En déduire que la suite $(x_{n})$ converge vers $a$. \item Déterminer un entier $p$ tel que $x_{p}$ soit une valeur approchée à $10^{-~3}$~près du nombre réel $a$. Donner une valeur approchée de $x_{p}$ avec trois décimales. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie D} \textbf{Quelques propriétés d'une primitive de $f$} \medskip On appelle $F$ la primitive de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$ qui s'annule en 1. Ainsi l'on a, pour tout réel $x$ de $]0~;~+\infty [,\:F(x) = \displaystyle\int_{1}^x f(t)\: \text{d}t$. \medskip \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de $F$ sur $[0~;~ +~ \infty[$. \item Démontrer que, pour tout $x$ supérieur ou égal à 2, \[\int_{2}^x f(2)\: \text{d}t \leqslant \displaystyle\int_{2}^x f(t)\: \text{d}t.\] Par comparaison de limites, et en utilisant la relation de Chasles, en déduire $\displaystyle\lim_{x \to +~\infty} F(x)$. \end{enumerate} \end{document}