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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lhead{\small Baccalauréat ES (A1)}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small  avril 1994}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES (A1) Pondichéry avril 1994~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Soit les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle [0~;~1] par :

\[f(x) = \dfrac{x^2}{4 - x^2}\quad \text{et} \quad g(x) = \ln \left(4 - x^2
\right).\]

\begin{enumerate}
\item Soit I $ = \displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le signe de I ?
		\item Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~1]
		
		\[f(x) = - 1 + \dfrac{1}{2 - x}+ \dfrac{1}{2 + x}\]
		\item Calculer la valeur exacte de I.
	\end{enumerate}
\item En utilisant une intégration par parties, montrer que $\displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x = \ln 3 + 21$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Le jeune Éric, trois ans, s'amuse à taper sur les touches du minitel.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Il frappe au hasard sur une touche du clavier, chaque touche ayant la même probabilité d'être frappée. Ce clavier comporte 57 touches dont 26 représentent les 26 lettres de l'alphabet français.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité pour qu'il frappe une lettre ?
		\item Quelle est la probabilité pour qu'il frappe une lettre de son prénom ?
	\end{enumerate}
\item Éric frappe successivement 4 touches, distinctes ou non. 

Quelle est la probabilité de chacun des évènements suivants : 
	\begin{enumerate}
		\item Éric frappe son prénom. 
		\item Éric frappe les 4 lettres de son prénom. 
		\item Éric frappe 4 touches différentes. 
		\item Éric frappe son prénom sachant qu'il a frappé 4 touches différentes. 

On donnera les résultats approchés sous la forme $a \times 10^{- n}$ où $n$ est un entier naturel et $a$ un nombre entier tel que $0 < a < 10$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]- \infty~;~1]$ par : 

\[f(x) = \dfrac{3}{2}\text{e}^{2x} - \text{e}^x - 2x - 4.\]
 
On appelle $(C)$ sa représentation graphique dans un repère \Oij. 

Unités graphiques : 4 cm sur l'axe des abscisses, et 2~cm sur l'axe des ordonnées.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. 
\item Soit $g(x) = \text{e}^x\left(\dfrac{3}{2}\text{e}^x - 1\right)$.
 
Montrer que $g(x)$ s'annule pour $x = \ln 3$.
 
Étudier le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]- \infty~;~1]$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f(x) - (- 2x - 4) = g(x)$. 
		\item En déduire que la droite (D) d'équation $y = - 2x - 4$ est asymptote à $(C)$. 
		
Étudier la position de $(C)$ par rapport à (D).
	\end{enumerate} 
\item Calculer $f'(x)$. Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $]- \infty~;~1]$, 

\[f'(x) = \left(3\text{e}^x + 2\right)\left(\text{e}^x - 1\right).\] 

En déduire le signe de $f'(x)$.
 
Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution $x_0$ dans l'intervalle $[-3~;~0]$. 

En utilisant la calculatrice donner un encadrement d'amplitude $10^{-1}$ de $x_0$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $3\text{e}^{2x} - \text{e}^x - 2= 2$ en posant $X = \text{e}^x$. 
		\item En déduire qu'il existe un point A unique de $(C)$ où la tangente a pour coefficient directeur $2$ et que l'abscisse de A est égale à $\ln \dfrac{4}{3}$.
	\end{enumerate} 
\item Tracer la droite (D), la courbe $(C)$ et la tangente à $(C)$ en A. 
\end{enumerate}
\end{document}