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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES (B)}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small  avril 1994}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES (B) Pondichéry avril 1994~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $P$ le polynôme défini sur $\R$ par
\[P(x) = x^3- x^2 - 14x + 24.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(2)$. En déduire une factorisation de $P(x)$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $P(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\item En déduire les solutions dans ~ des équations suivantes:
	\begin{enumerate}
		\item $2\ln x + \ln (x -1) = \ln (14x-24)$
		\item $\text{e}^{2x} - \text{e}^{x} + 24\text{e}^{-x} - 14 = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice tous les résultats seront donnés sous forme de
fractions.}

\medskip

Une urne contient trente boules numérotées de 1 à 30 indiscernables
au toucher.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On tire au hasard une boule de l'urne. Calculer:
	\begin{enumerate}
		\item la probabilité que le numéro de la boule tirée soit multiple de 3
et de 5 ;
		\item la probabilité que le numéro de la boule tirée soit multiple de 3
ou de 5.
	\end{enumerate}
\item  On tire au hasard 3 boules successivement et avec remise.
	
Calculer la probabilité d'obtenir au moins une fois un numéro multiple
de 3 et de 5.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

Soit la fonction numérique f définie sur $]0~+ \infty[$ par

\[f(x) = (\ln x)^3 - 3 \ln x.\]

On note (C) la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un
repère orthonormal \Oij (unité graphique : 2 cm).

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Après avoir factorisé $f(x)$, déterminer les limites de $f$ aux
bornes de son ensemble de définition.
\item Prouver que pour tout $x$ réel strictement positif on a

\[f'(x) = 3 (\ln x - 1) (\ln x + 1)\]

où $f'$ désigne la dérivée de la fonction $f$. 

Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0~+ \infty[$.
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$ sur $]0~+ \infty[$. Que représentent
pour (C) les solutions de cette équation ?
\item Construire (C).
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Soient $I, \:J$, et $K$ les intégrales définies par :

\[I = \displaystyle\int_{1/\ln \text{e}}^1 \ln x\:\text{d}x, \quad  J = \displaystyle\int_{1/\ln \text{e}}^1 (\ln x )^2 \:\text{d}x, \quad K = \displaystyle\int_{1/\ln \text{e}}^1 (\ln x )^3\:\text{d}x.\]


\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $G$ définie sur $]0~+ \infty[$ par :
\[G(x) = x \ln x - x.\]

Montrer que $G$ est une primitive de la fonction $g$ définie sur $]0~+ \infty[$
par $g(x) = \ln x$. 

En déduire la valeur de $I$.
\item  Soit la fonction $H$ définie sur $]0~+ \infty[$ par :

\[H(x) = x(\ln x)^2 - 2(x\ln x - x).\]

Montrer que $H$ est une primitive de la fonction $h$ définie sur $]0~+ \infty[$
par $h(x) = (\ln x)^2$. En déduire la valeur de $J$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que 
$K = \dfrac{1}{\text{e}} - 3J$ et en déduire que $K = \dfrac{6}{\text{e}} - 6$.
		\item En utilisant $I$ et $K$ calculer $\displaystyle\int_{1/\ln \text{e}}^1 f(x)\:\text{d}x$.
	\end{enumerate}
\item  En déduire l'aire, en cm$^2$, de l'ensemble des points $M(x~;~y)$ du
plan tels que :
		
		\[\dfrac{1}{\text{e}} \leqslant x \leqslant 1 \quad \text{et}\quad  0 \leqslant  y \leqslant f(x).\]
		
On donnera la valeur exacte du résultat puis la valeur approchée à
$10^{-2}$ près par défaut.
\end{enumerate}
\end{document}