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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small STT Comptabilité et gestion -- Informatique et gestion}  
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{avril 1998}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT   Pondichéry~\decofourright\\[6pt]Comptabilité et gestion -- Informatique et gestion avril 1998}}
\medskip

\textbf{Durée : 3 heures}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Deux services (A et B) d'une clinique se partagent l'usage de deux appareils
médicaux: un scanner et une radio.

Une étude a montré que les patients du service A passent en moyenne
30 minutes au scanner et 20 minutes à la radio. Quant aux patients du service
B, ils passent en moyenne 15 minutes au scanner et 20 minutes à la radio.

Le service du scanner fonctionne 9 heures par jour et celui de la radio
10 heures par jour.

Ces appareils étant coûteux, on cherche à déterminer le nombre $x$ de patients
du service A et le nombre $y$ de patients du service B pour les utiliser au mieux
chaque jour.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer un système d'inéquations portant sur $x$ et $y$ traduisant les contraintes.
\item  À tout couple $(x~;~y)$ on associe un point $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ dans un
repère orthonormal \Oij{} (unité : 0,5 cm).
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le système obtenu au 1. est équivalent à (C)\:$\left\{\begin{array}{l c l}
x &\geqslant&0\\
y &\geqslant&0\\		
2x+ y &\leqslant&36\\
x+y &\leqslant&30\\
\end{array}\right.$
		\item Déterminer graphiquement l'ensemble des points $M(x~;~y)$ dont les coordonnées
vérifient les contraintes. (On hachurera la zone ne convenant pas.)
	\end{enumerate}
\item  Pour la gestion des deux appareils, 30 F sont prélevés sur les frais médicaux
des patients du service A et 20~F pour les patients du service B.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer la somme $S$ ainsi obtenue quotidiennement en fonction de $x$ et de $y$.
		
On obtient ainsi l'équation d'une droite $\Delta_S$.

Tracer sur le même graphique la droite $\Delta_{600}$.
		\item Expliquer comment, grâce au graphique, on peut trouver le couple $\left(x_0~;~y_0\right)$ pour lequel la somme $S$ est maximale.
		
D'après cette étude graphique, trouver ce couple et calculer la somme maximale.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Suite à une visite médicale dans 10 entreprises de service informatique, on a
constaté qu'une certaine proportion du personnel travaillant devant un écran
d'ordinateur souffrait régulièrement de maux de tête ou de troubles de la vision.

Ces résultats sont reproduits, par entreprise, dans le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash \scriptsize}X|}}\hline 
Entreprise& \no 1&\no 2&\no 3 &\no 4 &\no 5 &\no 6 &\no 7 &\no 8 &\no 9 &\no 10\\ \hline
Horaire quotidien devant un
écran d'ordinateur $x_i$& 5 h 30& 5 h 30& 6h &6 h 30 &6 h 30 &6 h 30 &6 h 45 &7 h 15 &7 h 15 &7 h 15\\ \hline
Pourcentage du personnel
atteint $y_i$&30 &40 &45 &40 &45 &50 &55 &55 &60 &55\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Construire dans un repère orthogonal le nuage de points associé à ce
tableau statistique.

On prendra les unités suivantes :

en abscisse : 1 cm pour 1/2 heure. (Par exemple : 7 h 15 correspond à $7,25$)

en ordonnée : 1 cm pour 10\,\%.
\item Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage et le placer sur le graphique.
\item On considère les points A(8~;~70) et B(8~;~55). Construire les droites (GA)
et (GB) sur le graphique précédent.
	\begin{enumerate}
		\item On se propose de faire un ajustement du nuage par l'une de ces deux droites.
		
Quelle droite vous semble la plus appropriée ? Expliquer votre choix.
		\item Déterminer une équation de la droite choisie.
	\end{enumerate}
\item En utilisant l'ajustement trouvé, estimer le pourcentage de personnes atteintes
de maux de têtes pour une utilisation journalière de 7 h.
\end{enumerate}



\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[- 4, +\infty[$ par 

\[f(x) = \left(3 - x^2\right) \text{e}^x.\]

On note $C$ la courbe représentative de $f$ dans le repère orthonormal \Oij.

(On prendra le centimètre comme unité graphique).

Toute valeur approchée sera donnée à $0,1$ près.

\medskip

\textbf{Étude de } \boldmath $f$ \unboldmath

\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée de $f$ et montrer que $f'(x) = (1 - x)(x + 3)\text{e}^x$.
		
Étudier le signe de $f'(x)$.
		\item En déduire le tableau de variations de $f$
	\end{enumerate}

\medskip
	
\hspace{-0.8cm}\textbf{Étude de points particuliers}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(0)$ et $f'(0)$.
		
En déduire une équation de la tangente à $C$ au point d'abscisse $0$.
		\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\item En utilisant les résultats du 2. b. et du 3. tracer $C$.

\medskip

\hspace{-0.8cm}\textbf{Calcul intégral}

\item Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par $F(x) = \left(1 + 2x - x^2\right)\text{e}^x$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $F'$ de $F$.
		\item En déduire la valeur de $\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x$.
		
On donnera la valeur exacte et une valeur approchée à $0,1$ près.
		\item Interpréter graphiquement ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}