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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{avril 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Pondichéry avril 2004~\decofourright}}
    
\vspace{0,5cm}
    
L'utilisation d'une  calculatrice  est autorisée.

\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Chaque question comporte trois affirmations repérées par les 
lettres} a, b \emph{et} c.

\emph{ Le candidat doit indiquer pour chacune d'elles si elle et vraie ou 
fausse sans justification.}

\emph{À chaque question est affecté un certain nombre de points. Pour
 chaque question, une réponse exacte rapporte le nombre de points affecté,
 une réponse inexacte enlève la moitié du nombre de points affecté.}

\emph{Le candidat peut décider de ne pas répondre à certaines
 de ces questions ; elles ne rapportent aucun point et n'en 
enlèvent aucun.}

\emph{Si le total est négatif, la note est ramenée à} $0$.

\textbf{Les réponses seront transcrites dans le tableau fourni en annexe.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ~;~ +\infty[$ par $f(x) = 2 \ln 
x - 3x+ 5$.

Dans un repère, une équation de la tangente à la courbe 
représentative de $f$ au point d'abscisse 1 est :
	\begin{enumerate}
		\item $\quad y=-x+1\quad$ \item $\quad y = 2x - 3\quad$  
		\item $\quad y = -x+3\quad$
	\end{enumerate}
\item On considère une fonction $g$ dont le tableau de variations est
 donné ci-dessous. On pose 
 
 $h = \ln g$.

\[\begin{pspicture}(6,2.5)
\psline(0,0)(6,0) \psline(0,2)(6,2) \psline(0,2.5)(6,2.5)
\psline(0,0)(0,2.5) \psline(2,0)(2,2.5) \psline(6,0)(6,2.5)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.4,2){$5$} \uput[u](5.6,2){$7$}
\rput(2.4,0.3){$-3$} \rput(5.6,1.6){$1$}
\psline{->}(2.7,0.4)(5.4,1.5)  
\rput(1,1.3){Variation}
\rput(1,0.3){de $g$}
\end{pspicture}\]

	\begin{enumerate}
		\item $\quad h$ n'est pas définie sur [5 ; 7] 
		\item $\quad h$ est strictement décroissante sur [5 ; 7]
		\item $\quad h$ est strictement croissante sur [5 ; 7]
	\end{enumerate}
\item L'ensemble des solutions de l'inéquation $x\ln(0,3)-1 \leqslant 0$ est :
	\begin{enumerate}
		\item $\quad\left]- \infty~;~\dfrac{1}{\ln (0,3)}\right]\quad$  
		\item $\quad\left[\dfrac{1}{\ln 
(0,3)}~;~+ \infty\right[\quad$ \item $\quad\left]0~;~\dfrac{1}{\ln (0,3)}
\right[\quad$
	\end{enumerate}
\item $u$ est la fonction définie sur $\R$ par $u(x) = \dfrac{x+1}{x^2+2x+3}$.

Une primitive $U$ de $u$ sur $\R$ est définie par :
	\begin{enumerate}
		\item $\quad U(x) = \ln \left(x^2 +2x+3\right)$
		\item $\quad U(x) =2 \ln \left(x^2 +2x+3\right)$
		\item $\quad U(x)= \dfrac{1}{2} \ln \left(x^2 +2x+3\right) + 4$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de
spécialité}

\medskip

Dans une académie, les élèves candidats au baccalauréat série ES
 se répartissent en 2003 selon les trois enseignements de spécialité
 : mathématiques, sciences économiques et sociales et langue vivante.
 
Nous savons de plus que :

\setlength\parindent{9mm}
37\,\% des candidats ont choisi l'enseignement de spécialité mathématiques ;

25\,\% des candidats ont choisi l'enseignement de spécalité langue vivante ;

21\,\% des candidats ont choisi l'enseignement de spécialité 
mathématiques et ont obtenu le baccalauréat ;

32,5\,\% des candidats ont choisi l'enseignement de spécialité 
sciences économiques et sociales et ont obtenu le baccalauréat.
\setlength\parindent{0mm}

De plus, parmi les candidats ayant choisi l'enseignement de 
spécialité langue vivante, 72,5\,\% ont obtenu le baccalauréat.

On interroge un candidat pris au hasard.

On note :

$M$ l'évènement \og le candidat a choisi l'enseignement de 
spécialité mathématiques \fg{} ;

$S$ l'évènement \og le candidat a choisi l'enseignement de spécialité
 sciences économiques et sociales \fg{} ;
 
$L$ l'évènement \og le candidat a choisi l'enseignement de spécialité
 langue vivante \fg{} ;
 
$R$ l'évènement \og le candidat a obtenu le baccalauréat \fg.

\smallskip

On pourra faire un arbre pour faciliter la réponse aux questions. Les
 résultats demandés seront arrondis au millième près.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire en termes de probabilités et en utilisant les notations
 indiquées les informations numériques données ci-dessus.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité pour que ce candidat ait choisi 
l'enseignement de spécialité sciences économiques et sociales.

	\item Déterminer la probabilité pour que ce candidat ait choisi 
l'enseignement de spécialité langue vivante et ait réussi aux
épreuves du baccalauréat.
	\end{enumerate}
\item Quelle est la probabilité pour que ce candidat ait choisi 
l'enseignement de spécialité langue vivante et ait échoué au baccalauréat ?
\item Ce candidat a choisi l'enseignement de spécialité mathématiques.

Quelle est la probabilité qu'il n'ait pas obtenu le baccalauréat ?
\item Montrer que le pourcentage de réussite au baccalauréat pour les
 candidats de ES dans cette académie est $71,6$\:\%.
\item On interroge successivement au hasard et de façon indépendante
 trois candidats.
 
Quelle est la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux soit reçu ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur 
$[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = (ax + b)\text{e}^{-\frac{x}{3}} + 3\]

où $a$ et $b$ sont deux réels que l'on se propose de déterminer.

On sait que $f$ admet un maximum au point d'abscisse 4 
et que le point A($0~;~2$) appartient à la
courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère
orthogonal  \Oij{} d'unités graphiques 2~cm en abscisses et 5~cm en ordonnées.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Déterminer $f'(x)$ pour $x$ 
appartenant à $[0~;~+ \infty[$.
		\item Montrer que $a = 1$ et $b = - 1$.
	\end{enumerate}
\item Étude de la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$
par 

\[f(x) = (x-1)\text{e}^{-\frac{x}{3}} + 3.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en  $+\infty$. En déduire l'existence d'une asymptote $\Delta$ à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$. Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\Delta$.
		\item Étudier le sens de variation de $f$ puis dresser son tableau de variations.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X| }}\hline
$x$		&0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

On arrondira les valeurs au centième.
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\item \emph{Étude économique}

Les dépenses de téléphone, en milliers d'euros, de la société TOUPACHER sont consignées dans le tableau suivant : $x_{i}$ désigne
 le rang de l'année et $y_{i}$ désigne la dépense.
 
\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année	& 1995  &1996  	&1997	&1998	&1999  	&2000	&2001  	&2002  	&2003\\ \hline
$x_{i}$	&0		&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7		&8\\ \hline
$y_{i}$	&1,97 	&3,02 	&3,49	&3,71 	&3,80 	&3,76 	&3,65 	&3,55	&3,50\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

On recherche une fonction qui rende compte relativement correctement du phénomène.

On dira qu'une fonction $f$ est acceptable si pour chaque valeur $x$, on a : 

\[\left|f(x_{i}) - y_{i}\right| \leqslant  10^{-1}.\]

\smallskip
 
	\begin{enumerate} 
		\item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i},~y_{i}\right)$
 dans le repère précédent.
		\item Montrer que la fonction $f$ est acceptable.
		\item Le responsable financier affirme que \og si l'évolution des
 dépenses se poursuit selon ce modèle, on pourrait espérer
 retrouver une facture de téléphone inférieure à \np{3000} euros \fg.
 
Êtes-vous d'accord avec cette affirmation ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{ Exercice 4} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Un éditeur spécialisé en ouvrages d'art diffuse sur une année $22\:000$
livres dont les prix varient de 15 à $75$~euros.

On désigne par $x$ le prix d'un livre, par $p$ le nombre de livres
\textbf{disponibles} et par $q$ le nombre de livres \textbf{demandés}. Les
résultats figurent dans le tableau ci-dessous :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ &15 		&25 		&30 		&45 		&60 		&75\\ \hline
$p$	&\np{2400} 	&\np{2600} 	&\np{2900} 	&\np{3900} 	&\np{4500} 	&\np{5700}\\ \hline
$q$	&\np{5400} 	&\np{4100} 	&\np{3800} 	&\np{2800} 	&\np{2700} 	&\np{2000}\\ \hline
\end{tabularx}\]

On a tracé ci-dessous les nuages de points $\left(x_{i}~;~p_{i}\right)$ et 
$\left(x_{i}~;~q_{i}\right)$ dans un repère orthogonal du plan :

\begin{center}
\psset{xunit=1mm,yunit=0.007mm}
\begin{pspicture}(0,-400)(80,6000)
\psframe(0,0)(80,6000)
\multido{\n=0+1000}{6}{\psline(0,\n)(80,\n)}
\multido{\n=0+1000}{7}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=7000](0,0)(80,6000)
\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45,linecolor=red](15,2400)(25,2600)(30,2900)(45,3900)(60,4500)(75,5700)
\psdots[dotstyle=square*](15,5400)(25,4100)(30,3800)(45,2800)(60,2700)(75,2000)
\psframe(90,2000)(100,4000)
\psdots[dotstyle=square*](92,2500) \rput(95,2500){$q$}
\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45,linecolor=red](92,3500) \rput(95,3500){$p$}
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On pose $y = \ln p$.
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau : les résultats seront arrondis au millième.

\[ \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 		& 15 		& 25 		&30 		&45 		&60 		&75\\ \hline
$p$			&\np{2400} 	&\np{2600}	&\np{2900} 	&\np{3900} 	&\np{4500} 	&\np{5700}\\ \hline
$y = \ln p$	&			&			&			&			&			& \\ \hline
\end{tabularx}\]
	
		\item \emph{Dans cette question, le détail des calculs statistiques n'est
pas demandé.}

À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite 
$\mathcal{D}$ d'ajustement affine de $y$ en~$x$.

Les coefficients seront arrondis au centième.
		\item En utilisant cet ajustement, donner une estimation du nombre de 
livres disponibles pour un prix unitaire de 40 euros (\emph{résultat arrondi
à la centaine}).
	\end{enumerate}
\item On pose $z = \ln q$ et on admet l'égalité suivante $z = - 0,02x+8,73$.

En utilisant cette relation, donner une estimation du prix correspondant
à une demande de \np{2800} livres (\emph{résultat arrondi à l'unité}).
\item Le prix pour lequel l'offre est égale à la demande s'appelle le prix
d'équilibre ; il est noté $x_{0}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer par le calcul le prix d'équilibre, arrondi à l'unité.
		\item Les calculs précédents permettaient-ils de prévoir le résultat ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}