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%Tapuscrit : Denis Vergès merci à Arié Yallouz 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L }
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small 7 avril 2014} 
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\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Pondichéry~  \decofourright\\7 avril 2014}} 
\end{center}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour chacune des propositions, déterminer si la proposition est vraie ou fausse et justifier la réponse.

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~

\parbox{0.45\linewidth}{La courbe $\mathcal{C}_{h}$ représentative d'une fonction $h$ définie et dérivable sur $\R$ est représentée  ci-contre.

On a tracé la tangente $T$ à $\mathcal{C}_{h}$ au point A$(- 1~;~3)$.

$T$ passe par le point B$(0~;~- 2)$.

\textbf{Proposition} : le nombre dérivé $h'(- 1)$ est égal à $- 2$.}\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture*}(-2.1,-2.75)(3,4.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2.75)(3,4.25)
\psgrid[griddots=5,subgriddiv=1]
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.25}{2}{x dup mul 1 add x 3 exp sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.25}{0.25}{x 5 neg  mul 2 sub}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](-1,3)(0,-2)
\uput[ur](1.2,0.5){$\mathcal{C}_{h}$}
\uput[l](-0.5,0.5){$T$}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](2.9,0){$x$}
\uput[r](0,4){$y$}
\uput[ur](-1,3){A}\uput[ur](0,-2){B}
\end{pspicture*}}

\item ~

\parbox{0.45\linewidth}{On désigne par $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur $[0~;~+ \infty[$.

La courbe représentative de la fonction $f''$, dérivée seconde de la fonction $f$, est donnée ci-contre.

Le point de coordonnées (1~;~0) est le seul point d'intersection de cette courbe et de l'axe des abscisses.

\textbf{Proposition} : la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle [1~;~4].}\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{xunit=1cm,yunit=2.5cm}\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(5,1.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(5,1.25)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{ 
 1 x sub 2.71828 x  exp  div}
 \uput[dl](0,0){O}
 \uput[u](4.9,0){$x$}
 \uput[r](0,1.2){$y$}
\end{pspicture*}}
\item \textbf{Proposition} : on a l'égalité 

\[\text{e}^{5\ln 2} \times \text{e}^{7\ln 4} = 2^{19}.\]

\item La courbe représentative d'une fonction $g$ définie et continue sur l'intervalle [0~;~2] est donnée en fig. 1.

La courbe représentative d'une de ses primitives, $G$, est donnée sur la fig. 2. La courbe représentative de $G$ passe par les points A(0~;~1), B(1~;~1) et C(2~;~5).

\begin{center}

\begin{tabular}{c c}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.4,-2.4)(2.2,8.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.4,-0.2)(2.2,8.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-0.4,-0.2)(2.2,8.2)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{x 3 x mul 2 sub mul}
\psgrid[gridlabels=0,griddots=10,subgriddiv=1](0,-1)(2,8)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](1,1)(1.21,2)(1.54,4)(1.79,6)(2,8)
\psline(2,0)(1,0)(1,1)}
\uput[dl](0,0){O}
\rput(1,-2){fig. 1}
\end{pspicture*}
&\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.3,-1.2)(2.2,5.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(2.2,5.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-0.2,-0.2)(2.2,5.2)
\psgrid[gridlabels=0,griddots=10,subgriddiv=1](0,0)(2,5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{x 3 exp  x dup mul sub  1 add}
\uput[ul](0,1){A}\uput[ul](1,1){B}\uput[r](2,5){C}
\rput(1,-1){fig. 2}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\textbf{Proposition} : la valeur exacte de l'aire de la partie grisée sous la courbe de $g$ en fig. 1 est 4 unités d'aires.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L}

\medskip

Une association décide d'ouvrir un centre de soin pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner puis relâcher ces oiseaux une fois guéris.
 
Le centre ouvre ses portes le 1\up{er} janvier 2013 avec 115 oiseaux.
 
Les spécialistes prévoient que 40\,\% des oiseaux présents dans le centre au 1\up{er} janvier d'une année restent présents le 1\up{er} janvier suivant et que 120 oiseaux nouveaux sont accueillis dans le centre chaque année.
 
On s'intéresse au nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1\up{er} janvier des années suivantes. 

La situation peut être modélisée par une suite $\left(u_{n}\right)$ admettant pour premier terme $u_{0} = 115$, le terme $u_{n}$ donnant une estimation du nombre d'oiseaux l'année $2013 + n$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. Avec quelle précision convient-il de donner ces résultats ? 
\item Les spécialistes déterminent le nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1\up{er} janvier de chaque année à l'aide d'un algorithme. 
	\begin{enumerate}
		\item Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous, seul l'\textbf{algorithme 3} permet d'estimer le nombre d'oiseaux présents au 1\up{er} janvier de l'année $2013 + n$.
		 
Expliquer pourquoi les deux premiers algorithmes ne donnent pas le résultat attendu.

\medskip
\begin{footnotesize}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|p{0.1cm}|X|p{0.1cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} 
\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}\\ 
$U$ est un nombre réel&&$U$ est un nombre réel&&$U$ est un nombre réel\\ 
$i$ et $N$ sont des nombres entiers&&$i$ et $N$ sont des nombres entiers&&$i$ et $N$ sont des nombres entiers\\
\textbf{Début}&&\textbf{Début}&&\textbf{Début}\\ 
Saisir une valeur pour $N$&&Saisir une valeur pour $N$&&Saisir une valeur pour $N$\\
Affecter 115 à $U$&&Pour $i$ de 1 à $N$ faire&&Affecter 115 à $U$\\ 
Pour $i$ de 1 à $N$ faire&&\hspace{0.25cm}| Affecter 115 à $U$&&Pour i de 1 à N faire \\ 
\hspace{0.25cm}| Affecter $0,6 \times U + 120$ à $U$&&\hspace{0.25cm}| Affecter $0,4 \times U + 115$ à $U$&&\hspace{0.25cm}| Affecter $0,4 \times U + 120$ à $U$\\
Fin Pour&&Fin Pour&&Fin Pour\\ 
Afficher $U$&&Afficher $U$&&Afficher $U$\\ 
{\bf Fin}&&{\bf Fin}&&{\bf Fin}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} 
\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 1}}&\multicolumn{1}{p{0.15cm}}{~}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 2}}&\multicolumn{1}{p{0.15cm}}{~}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 3}}\\
\end{tabularx}
\end{footnotesize}
\medskip
 
		\item Donner, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. 
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 200$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,4$. Préciser $v_{0}$. 
		\item Exprimer, pour tout entier naturel $n, \:v_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n, u_{n} = 200 - 85 \times 0,4^n$. 
		\item La capacité d'accueil du centre est de $200$~oiseaux. Est-ce suffisant ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate} 
\item Chaque année, le centre touche une subvention de $20$~euros par oiseau présent au 1\up{er} janvier.
 
Calculer le montant total des subventions perçues par le centre entre le 1\up{er} janvier 2013 et le 31 décembre 2018 si l'on suppose que l'évolution du nombre d'oiseaux se poursuit selon les mêmes modalités durant cette période. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip
 
Deux sociétés, Ultra-eau (U) et Vital-eau (V), se partagent le marché des fontaines d'eau à bonbonnes dans les entreprises d'une grande ville.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
En 2013, l'entreprise U avait 45\,\% du marché et l'entreprise V le reste. 
Chaque année, l'entreprise U conserve 90\,\% de ses clients, les autres choisissent l'entreprise V. Quant à l'entreprise V, elle conserve 85\,\% de ses clients, les autres choisissent l'entreprise U.
 
On choisit un client au hasard tous les ans et on note pour tout entier naturel $n$ : 

\begin{description}
\item[ ] $u_{n}$ la probabilité qu'il soit un client de l'entreprise U l'année $2013 + n$, ainsi 

$u_{0} = 0,45$ ;
\item[ ] $v_{n}$ la probabilité qu'il soit un client de l'entreprise V l'année $2013 + n$.
\end{description}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets U et V. 
\item Donner $v_{0}$, calculer $u_{1}$ et $v_{1}$· 
\item On considère l'algorithme (incomplet) donné en annexe. Celui-ci doit donner en sortie les valeurs de $u_{n}$ et $v_{n}$ pour un entier naturel $n$ saisi en entrée. 

Compléter les lignes (L5) et (L8) de l'algorithme pour obtenir le résultat attendu. 
\item On admet que, pour tout nombre entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0, 75u_{n} + 0,15$.

On note, pour tout nombre entier naturel $n$, $w_{n} = u_{n} - 0,6$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(w_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,75$. 
		\item Quelle est la limite de la suite $\left(w_{n}\right)$ ? En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Interpréter le résultat dans le contexte de cet exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip 

L'entreprise U fournit ses clients en recharges pour les fontaines à eau et dispose des résultats antérieurs suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Nombre de recharges en milliers& 1 &3 &5\\ \hline 
Coût total annuel de production en centaines d'euros& 11 &27,4 &83\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
Le coût total de production est modélisé par une fonction $C$ définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~10] par :

\[C(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 10\qquad  	a, b\: \text{et}\: c\: \text{sont des nombres réels}.\]
	 
Lorsque le nombre $x$ désigne le nombre de milliers de recharges produites, $C(x)$ est le coût total de production en centaines d'euros.
 
On admet que le triplet $(a, b, c)$ est solution du système $(S)$. 

\[(S)\quad \left\{\begin{array}{l c l} 
a+b+c&=&1\\ 
27a + 9b + 3c &=& 17,4\\ 
125a + 25b + 5c &=& 73
\end{array}\right. 
 \text{et on pose}\: X = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}.\] 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire ce système sous la forme $MX = Y$ où $M$ et $Y$ sont des matrices que l'on précisera. 
		\item On admet que la matrice $M$ est inversible. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, le triplet $(a, b, c)$ solution du système $(S)$.
	\end{enumerate} 
\item En utilisant cette modélisation, quel serait le coût total annuel de production pour \np{8000} recharges d'eau produites ? 
\end{enumerate}

\textbf{Annexe à l'exercice 2}

Recopier sur la copie la  partie \og traitement \fg{ } (lignes L3 à L9) en complétant les lignes L5 et L8.

\begin{center}
\begin{tabularx}{.85\linewidth}{|l X |c|}\hline
\textbf{Variables :}&$N$ est un nombre entier naturel non nul	&L1\\
&$U$ et $V$ sont des nombres réels								&L2\\
\textbf{Traitement :}&Saisir une valeur pour $N$				&L3\\
&Affecter à $U$ la valeur 0,45									&L4\\
&Affecter à $V$ la valeur \ldots\ldots							&L5\\
&Pour $i$ allant de 1 jusqu'à $N$&L6\\
&\hspace{0,2cm}| affecter à $U$ la valeur $0,9 \times U + 0,15 \times V$&L7\\
&\hspace{0,2cm}| affecter à $V$ la valeur \ldots\ldots			&L8\\
&Fin Pour														&L9\\
\textbf{Sortie :}&Afficher $U$ et Afficher $V$					&L10\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties A, B et C sont indépendantes}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Une société s'est intéressée à la probabilité qu'un de ses salariés, choisi au hasard, soit absent durant une semaine donnée de l'hiver 2014. 

On a évalué à $0,07$ la probabilité qu'un salarié ait la grippe une semaine donnée. Si le salarié a la grippe, il est alors absent.
 
Si le salarié n'est pas grippé cette semaine là, la probabilité qu'il soit absent est estimée à $0,04$.
 
On choisit un salarié de la société au hasard et on considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $G$ : le salarié a la grippe une semaine donnée ; 
\item $A$ : le salarié est absent une semaine donnée.
\end{itemize}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter l'arbre en indiquant les probabilités de chacune des branches. 

\begin{center}
\psset{treesep=.75cm,levelsep=2cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$G$}\taput{\ldots}}
	  { 
		  \TR{$A$}\taput{\ldots}
	   
	  }
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{G}$}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{$A$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{A}$}\tbput{\ldots}	  
	  }
}
\end{center}
 
\item Montrer que la probabilité $p(A)$ de l'évènement $A$ est égale à \np{0,1072}. 
\item Pour une semaine donnée, calculer la probabilité qu'un salarié ait la grippe sachant qu'il  est absent. Donner un résultat arrondi au millième.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On admet que le nombre de journées d'absence annuel d'un salarié peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 14$ et d'écart type $\sigma = 3,5$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier, en utilisant un résultat du cours, que $p(7 \leqslant X \leqslant 21) \approx 0,95$. 
\item Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu'un salarié comptabilise au moins $10$ journées d'absence dans l'année.
\end{enumerate} 
\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

Une mutuelle déclare que 22\,\% de ses adhérents ont dépassé 20 journées d'absence au travail en 2013.
 
Afin d'observer la validité de cette affirmation, un organisme enquête sur un échantillon de 200 personnes, choisies au hasard et de façon indépendante, parmi les adhérents de la mutuelle. 

Parmi celle-ci, $28$ ont comptabilisé plus de 20 journées d'absence en 2013. 

Le résultat de l'enquête remet-il en question l'affirmation de la mutuelle ? Justifier la réponse. On pourra s'aider du calcul d'un intervalle de fluctuation. 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment}

\medskip
 
Un artisan glacier commercialise des \og sorbets bio \fg. Il peut en produire entre 0 et 300 litres par semaine. Cette production est vendue dans sa totalité.
 
Le coût total de fabrication est modélisé par la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle I = ]0~;~3] par 

\[f(x) = 10x^2 - 20x \ln x.\]
 
Lorsque $x$ représente le nombre de centaines de litres de sorbet, $f(x)$ est le coût total de fabrication en centaines d'euros.
 
La recette, en centaines d'euros, est donnée par une fonction $r$ définie sur le même intervalle I.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
La courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ et la droite $D$ représentative de la fonction linéaire $r$ sont données en \textbf{annexe}.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Répondre aux questions suivantes par lecture graphique et sans justification. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner le prix de vente en euros de $100$~litres de sorbet. 
		\item Donner l'expression de $r(x)$ en fonction de $x$. 
		\item Combien l'artisan doit-il produire au minimum de litres de sorbet pour que l'entreprise dégage un bénéfice?
	\end{enumerate} 
\item On admet que $\displaystyle\int_{1}^3 20x \ln x\:\text{d}x = 90 \ln 3 - 40$. 
	\begin{enumerate}
		\item En déduire la valeur de $\displaystyle\int_{1}^3 f(x)\:\text{d}x$. 
		\item En déduire, pour une production comprise entre $100$ et $300$~litres, la valeur moyenne (arrondie à l'euro) du coût total de production.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On note $B(x)$ le bénéfice réalisé par l'artisan pour la vente de $x$ centaines de litres de sorbet produits. D'après les données précédentes, pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~3], on a : 

\[B(x) = - 10x^2 + 10x + 20x \ln x\]
 
où $B(x)$ est exprimé en centaines d'euros. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$. 
Montrer que, pour tout nombre $x$ de l'intervalle [1~;~3], on a : $B'(x) = - 20x +20 \ln x + 30$. 
\item On donne le tableau de variation de la fonction dérivée $B'$ sur l'intervalle [1~;~3].

\begin{center}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,2.5)
\psframe(6,2.5)
\psline(0,2)(6,2) \psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,1.95){$x$}
\uput[u](1.5,1.95){$1$}
\uput[u](5.5,1.95){$3$}
\rput(0.5,1){$B'(x)$}
\uput[d](1.6,2){\Rnode{max}{$B'(1)$}}
\uput[u](5.4,0){\Rnode{min}{$B'(3)$}}
%\psline{->}(1.5,1.5)(5.5,0.5)
\ncline{->}{max}{min}
\end{pspicture} 
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $B'(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle [1~;~3], Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$. 
		\item En déduire le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle [1~;~3] puis dresser le tableau de variation de la fonction $B$ sur ce même intervalle.
	\end{enumerate} 
\item L'artisan a décidé de maintenir sa production dans les mêmes conditions s'il peut atteindre un bénéfice d'au moins $850$~euros. Est-ce envisageable?
\end{enumerate} 

\newpage
\begin{center}
{\Large ANNEXE }

\vspace{1cm}

Annexe à l'exercice 4 

\vspace{1cm}

\psset{xunit=3cm,yunit=0.4cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.2,-2)(3.2,32)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=2](0,0)(-0.19,-1.9)(3.2,32)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0.01}{3}{x dup mul 10 mul x ln x mul 20 mul sub}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{3}{x 10 mul}
\uput[u](2.8,0){centaines de litres}
\uput[r](0,31.5){centaine d'euros}
\uput[ul](2,20){$D$}
\uput[ul](2,12){$\mathcal{C}$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document} 