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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES juin 2002}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{avril 2002}}
\pagestyle{fancy}    
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Pondichéry avril 2002~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On donne les valeurs d'un indice boursier au premier de chaque mois entre 
janvier et septembre 2001.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Date &1/01 		&1/02 		&1/03 		&1/04 		&1/05 		&1/06 		&1/07 		&1/08 & 
1/09\\ \hline
Rang $x_i$&1 	&2			&3			&4			&5			&6			&7			&8&9\\ \hline
Indice 
$y_i$&\np{7100}	&\np{6900}	&\np{6800}	&\np{6600}	&\np{6500}	&\np{6350}	&\np{6400}	&\np{6250}&\np{6000}\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\emph{Les calculs seront effectués à l'aide de la 
calculatrice. Aucun détail de ces calculs n'est demandé.}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Représenter dans un repère orthogonal le nuage de 
points associé à la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$. On prendra 1 
cm pour deux unités en abscisse et 1~cm pour $200$ points d'indice en 
ordonnées, en commençant au point (0~;~\np{5000}).
\item Donner le coefficient de corrélation linéaire de la 
série $\left(x_i~;~y_i\right)$ arrondi à $0,01$.
\item On considère que ce coefficient justifie un ajustement 
affine par la méthode des moindres carrés. Donner une équation de la 
droite D d'ajustement affine de $y$ en $x$ (les coefficients étant arrondis 
à 0,01). Tracer D dans le repère.
\item On suppose que la tendance se poursuit.
	\begin{enumerate} 
		\item En utilisant cet ajustement, donner une estimation à 10 
points près de cet indice boursier au $1\up{er}$ janvier 2002.
		\item Calculer le mois à partir duquel on peut estimer que cet indice sera inférieur à \np{5000}. Comment peut-on vérifier ce résultat graphiquement ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un jardinier propose ses services pour la plantation de la pelouse dans un 
lotissement nouvellement construit. Il dispose de deux produits : soit un 
gazon sport, soit un gazon anglais.

Parmi les foyers du lotissement, $60\,\%$ se déclarent intéressés 
par cette offre ; cependant le jardinier sait par expérience que, parmi 
ceux qui se disent intéressés, $50\,\%$ se décident pour le gazon sport, 
$30\,\%$ pour le gazon anglais, les autres renonçant finalement à faire appel à lui.

On note :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[] $I$ l'évènement \og le foyer est intéressé \fg{} ;
\item[] $S$ l'évènement \og le foyer prend du gazon sport \fg{} ;
\item[] $A$ l'évènement \og le foyer prend le gazon anglais \fg{} ;
\item[] $R$ l'évènement \og le foyer renonce à faire appel au jardinier \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Un foyer du lotissement est pris au hasard.

\begin{enumerate} 
\item Calculer les probabilités des évènements suivants :

$\bullet~$ \og le foyer est intéressé et prend du gazon sport \fg{} soit $I \cap S$ ;

$\bullet~$ $I \cap A$ ;

$\bullet~$ $I \cap R$.

\item Calculer la probabilité que le jardinier ne plante pas la pelouse dans ce foyer.

\item La plantation du gazon sport est facturée \np{2000}~\euro{} 
et celle du gazon anglais $s$ \euro. On appelle $X$ la variable aléatoire 
égale au montant (qui peut être nul) versé au jardinier par un foyer pris 
au hasard dans le lotissement.
	\begin{enumerate} 
		\item Donner la loi de probabilité de $X$.
		\item Exprimer l'espérance mathématique de $X$ en fonction de $s$.
		\item Calculer $s$ pour que le jardinier espère gagner en moyenne \np{1200} \euro{} par foyer dans ce lotissement.	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Soit M la matrice carrée d'ordre 5 :

\[\text{M} = \begin{pmatrix}
0&1&1&1&1\\
1&0&1&1&0\\
1&1&0&1&1\\
1&1&1&0&0\\
1&0&1&0&0\\
\end{pmatrix}.\]

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Construire le graphe associé à M. On  appellera A, B, C, D, E les sommets.

Ce graphe est-il connexe ? Est-il complet ?

\item Existe-t-il une chaîne eulérienne ?

Existe-t-il un cycle eulérien ?

\item Donner un encadrement du nombre chromatique du graphe et 
déterminer sa valeur.

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer M$^2$.

		\item Combien y-a-t-il de chaînes de longueur 2 entre A et B ? Entre C 
et A ?

	\end{enumerate}

\item Combien y-a-t-il de chaînes de longueur 3 entre B et D ?

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une société d'achats en ligne veut analyser le déroulement d'une vente 
promotionnelle \og flash \fg{} qu'elle a organisée sur l'Internet.

Cette vente, d'une durée annoncée de trois minutes, a provoqué 
sur son site un flux financier que l'on peut supposer continu et dont la 
vitesse instantanée a été variable en fonction du temps.

On a pu modéliser cette vitesse pendant les trois minutes de 
l'ouverture du site par la fonction $f$ définie par 

\[f(t) = 20t \text{e}^{- \frac{t^2}{2}}\]

où $t$ est le temps exprimé en minutes $(t \in [0~;~3])$ et 
$f(t)$ est la vitesse instantanée de ce flux, exprimée en milliers 
d'euros par minute.

\emph{Sauf indication contraire, les résultats 
numériques seront arrondis au millième}.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\emph{Étude de la vitesse instantanée pendant les trois minutes de 
la vente.}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la fonction dérivée de $f$.

\item Démontrer que la vitesse admet un maximum. 
Donner un arrondi au millième de ce maximum.

\item Dessiner la courbe représentative 
$\mathcal{C}_{f}$ de $f$ dans un repère orthogonal (unités : 5 cm en 
abscisse, 1 cm en ordonnées) et préciser la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ 
au point d'abscisse 0 (on calculera son coefficient directeur).

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\emph{Détermination de la vitesse moyenne pendant les trois minutes de la vente.}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Vérifier que la fonction $F$ définie sur [0~;~3] par 

\[F(t) = - 20 \text{e}^{- \frac{t^2}{2}}\]

est une primitive de $f$ sur [0~;~3].

\item En déduire l'aire du domaine plan limité par 
l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites 
d'équations $t = 0$ et $t = 3$ exprimée en unités d'aire, puis en 
cm$^2$.
\item Quelle est la valeur moyenne de $f$ sur [0~;~3] ?
\item Quelle a été la somme totale transférée à la fin des trois minutes (à un euro près) ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Au cours des trois minutes, la somme d'argent transférée en fonction 
du temps écoulé (exprimée en milliers d'euros) est représentée par la 
fonction $g$  définie par :

\[g(t) = 20 - 20 \text{e}^{- \frac{t^2}{2}},\qquad \text{avec}~t \in 
[0~;~3]. \]

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Étudier les variations de $g$.
\item Tracer la courbe représentative de $g$ et la 
tangente au point d'abscisse $0$ dans le repère précédent.
\item On veut savoir à partir de quel instant $t_{0}$ 
il y a eu au moins \np{18000} euros transférés.
	\begin{enumerate} 
		\item Donner un encadrement d'amplitude 0,1 de $t_{0}$ en 
utilisant le graphique.
		\item Résoudre l'inéquation $g(t) \geqslant 18$. En déduire une 
expression de la valeur exacte de $t_{0}$ et sa valeur approchée à 
une seconde près par excès.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}  