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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{avril  2001}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Pondichéry avril 2001 \decofourright}}\normalsize{}	
\end{center}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le tableau suivant indique, en millions, la population de la France
 métropolitaine d'après les recensements depuis 1946.

\medskip
 
\[\begin{array}{|c | c | c |} \hline
\text{Année} & 	\text{Rang} ~ x_i~ \text{de l'année} & 	\text{Population}~ 
y_i\\ \hline
1946&	0&	40,439\\ \hline
1954&	8&	42,706\\ \hline
1962&	16&	46,425\\ \hline
1968&	22&	49,712\\ \hline
1975&	29&	52,592\\ \hline
1982&	36&	54,335\\ \hline
1990&	44&	56,615\\ \hline
1999&	53&	58,416\\ \hline
\end{array}\]

Le détail des calculs statistiques effectués avec une calculatrice
n'est pas demandé. Les nombres à déterminer seront arrondis à trois décimales.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Quel est le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$ ?
 
Un ajustement affine est-il envisageable ?

\item Le plan est rapporté à un repère orthogonal, les unités graphiques étant :
 
\setlength\parindent{0mm}
$\bullet~$ 0,25 cm sur l'axe des abscisses ;

$\bullet~$ 1 cm sur l'axe des ordonnées, la graduation des ordonnées débutant à 40.
\setlength\parindent{9mm}

	\begin{enumerate} 
		\item Construire le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$.
		\item Indiquer les coordonnées du point moyen G associé à la série $(x~;~y)$ et placer ce point sur le graphique précédent.
 
	\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Tracer cette droite (D) sur le graphique précédent.
\item En supposant que cette évolution de la population se poursuive, donner une estimation de la population en  2005.
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Claude range ses crayons de couleur et il en trouve un orange, trois jaunes et quatre bleus. Il prend au hasard successivement trois crayons dont il note les couleurs : $o$ pour orange, $j$ pour jaune et $b$ pour  bleu.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Tracer un arbre pondéré illustrant cette expérience aléatoire.
 
\emph{Les réponses aux questions suivantes seront exprimées sous forme d'une fraction irréductible}.
\item Quelle est la probabilité de l'évènement :
 \og Les trois crayons ont la même couleur \fg{} ?
\item Quelle est la probabilité de l'évènement :
 \og Les trois crayons sont pris parmi les crayons de couleur orange ou jaune \fg{} ?
\item Quelle est la probabilité de l'évènement :
 \og Parmi les trois crayons, un au moins est bleu \fg{} ?
 \item Claude veut dessiner un drapeau bleu et
 jaune. Quelle est la probabilité qu'il puisse le faire, sachant que le
 premier crayon est bleu ?
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.
Les six points suivants sont définis par leurs coordonnées :

A$(1~;~- 1~;~3)$ ; B(1~;~ 1~;~3) ; C$(1~;~1~;~- 3)$ ; A$'(19~;~ - 1~;~ 3)$ ;  B$'$(19~;~1~;~3) ; C$'(19~;~1~;~- 3)$.

\emph{Aucune figure n'est exigible}.

\medskip

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
		\item Montrer que les trois points A, B et C
 ne sont pas alignés. 
		\item Établir que le vecteur $\vect{\text{AA}'}$ est normal au plan (ABC). 
		\item Écrire une équation cartésienne du plan (ABC).
		\item Les quatre points A, B, B$'$ et C sont-ils coplanaires ?
	\end{enumerate}
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que le triangle ABC est rectangle.
		\item Calculer les coordonnées du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un rectangle.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item Démontrer que les trois points A$'$, B$'$ et
 C$'$ ne sont pas alignés. 
		\item Les plans (ABC) et (A$'$B$'$C$'$) sont-ils sécants ou parallèles ? Justifier votre réponse. 
	\end{enumerate}  
\item
	 \begin{enumerate}
		\item Calculer les longueurs des segments
 [AB], [BC] et [AA$'$] notées respectivement $l_0,~l_1$ et $l_2$. 
		\item Les nombres $l_0,~l_1$ et $l_2$ sont-ils les trois premiers termes d'une suite arithmétique ? Si oui, donner la raison. 
		\item Les nombres $l_0,~l_1$ et $l_2$ sont-ils les trois premiers termes d'une suite géométrique ? Si oui, donner la raison. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\vspace{0,3cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $\varphi$ la fonction définie par :

\[\varphi :   [2~;~20] \longrightarrow \R \qquad	x \mapsto  x - 2 - 
2 \ln (x).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $\varphi$
 puis dresser son tableau de variation.
\item Montrer que la fonction $\varphi$ s'annule
 exactement une fois sur l'intervalle [2~;~20].
 
Indiquer la valeur arrondie à une décimale de ce nombre.
\item En déduire le signe de la fonction $\varphi$
 sur l'intervalle [2~;~20] et récapituler ces résultats dans un tableau.
\end{enumerate} 

\bigskip
  
\textbf{Partie B}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthogonal, les unités graphiques étant
 1~cm sur l'axe des abscisses et 5~cm sur l'axe des ordonnées.
 
Soit $f$ la fonction définie par :

\[f : [2~;~20] \longrightarrow \R \qquad	x \mapsto \dfrac{x \ln (x)}{x - 2}.\]

($\mathcal{C}$) désigne la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni de ce repère.

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
		\item Montrer que la dérivée $f'$ de $f$ a le
 même signe que $\varphi$ sur ]2 ; 20]. 
		\item étudier les variations de la fonction $f$, déterminer la limite de $f$ en 2 puis dresser le tableau de variation de cette fonction. 
	\end{enumerate}  
\item Prouver qu'il existe un unique point de
 la courbe ($\mathcal{C}$) où la tangente à la courbe en ce point est parallèle à l'axe des abscisses.
\item Tracer la courbe ($\mathcal{C}$).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie par :
 
\[\begin{array}{r c l}
g ~:~[2~;~20]& \longrightarrow &\R\\
 x&  \longmapsto &\dfrac{1}{2}x^2 - 2x \ln (x).\\
\end{array}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $g$ est une primitive
de $\varphi$ sur [2~;~20].

\item Soit I le nombre défini par : 
\[\text{I} = \displaystyle\int_{16}^{20} \varphi(x)\: \text{d}x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Exprimer le nombre I uniquement à l'aide de nombres entiers et des deux nombres $\ln 2$ et $\ln 5$. 
		\item Donner la valeur de I arrondie à deux décimales.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}