\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{ Pondichéry}}
\rfoot{\small{mars 2003}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{Baccalauréat ES Pondichéry mars 2003}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Un pisciculteur possède un bassin qui contient trois variétés de truites : 
communes, saumonées et arc-en-ciel. Il voudrait savoir s'il peut considérer que son bassin contient autant de truites de chaque variété. Pour cela il effectue, au hasard, $400$~prélèvements d'une truite avec remise et obtient les résultats suivants :
 
\[\begin{array}{|l *{3}{| c}|}\hline
\text{Variété} 	&\text{Commune} &\text{Saumonée} 	&\text{Arc-en-ciel}\\ \hline
\text{Effectifs}&146			&118				&136\\ \hline
\end{array}\] 

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item  
	\begin{enumerate} 
		\item  Calculer les fréquences de
 prélèvement $f_c$ d'une truite commune, $f_s$ d'une truite saumonée et $f_a$
 d'une truite arc-en-ciel. On donnera les valeurs décimales exactes.
		\item On pose $d^2 = \left(f_c - \dfrac{1}{3}\right)^2 + \left(f_s - \dfrac{1}{3}\right)^2 + \left(f_a - \dfrac{1}{3}\right)^2.$

Calculer $400d^2$ arrondi à $10^{-2}$ ; on note $400d^2_{\text{obs}}$ cette
valeur.

À l'aide d'un ordinateur, le pisciculteur simule le prélèvement au hasard de 400 truites suivant la loi équirépartie. Il répète \np{1000} fois cette opération et calcule à chaque fois la valeur de $400d^2$.

Le diagramme à bandes ci-dessous représente la série des \np{1000} valeurs de $400d^2$, obtenues par
 simulation.

\psset{xunit=1.8cm,yunit=0.018cm,comma=true}
\begin{center}
\begin{pspicture}(5,600)
%\psgrid
%\psline(0,0)(5,0) \psline(0,0)(0,5)
%\psline(0,1)(5,1) \psline(0,2)(5,2) \psline(0,3)(5,3) 
%\psline(0,4)(5,4) \psline(0,5)(5,5) 
%\rput[d](0,-0.5){$0$} \rput[d](0.5,-0.5){$0,5$} \rput[d](1,-0.5){$1$} 
%\rput[d](1.5,-0.5){$1,5$} 
%\rput[d](2,-0.5){$2$} \rput[d](2.5,-0.5){$2,5$} \rput[d](3,-0.5){$3$} 
%\rput[d](3.5,-0.5){$3,5$} 
%\rput[d](4,-0.5){$4$} \rput[d](4.5,-0.5){$4,5$}
%\rput[l](-0.5,0){$0$} \rput[l](-0.5,1){$100$} \rput[l](-0.5,2){$200$} 
%\rput[l](-0.5,3){$300$} \rput[l](-0.5,4){$400$} \rput[l](-0.5,5){$500$}
\rput[u](0.25,559){539} \rput[u](0.75,255){235} 
\rput[u](1.25,142){122} \rput[u](1.75,71){51} 
\rput[u](2.25,61){41} \rput[u](2.75,32){12} 
\rput[d](5,25){$400d^2$} \rput[l](-1,570){Effectifs}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=100](0,0)(0,0)(5,599)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(0.5,539)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,0)(1,235)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,0)(1.5,122) 
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.5,0)(2,051)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,0)(2.5,041)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.5,0)(3,012)  
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}

\bigskip

\item Déterminer une valeur approchée à 0,5 près par défaut, du neuvième décile D9 de cette série.
\item En argumentant soigneusement la réponse dire si on peut 
affirmer avec un risque d'erreur inférieur à 10 \% que \og le bassin contient autant de truites de chaque variété \fg{}.
\item On considère désormais que le bassin contient autant de truites de chaque variété. Quand un client se présente, il prélève au hasard une truite du bassin.

Trois clients prélèvent chacun une truite. Le grand nombre de 
truites du bassin permet d'assimiler ces prélèvements à des tirages 
successifs avec remise.

Calculer la probabilité qu'un seul des trois clients prélève une
truite commune.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

À l'issue d'une compétition, des sportifs sont contrôlés par un comité antidopage qui doit se prononcer sur leur positivité ou négativité au dopage. Or, d'une part certains produits dopants restent indétectables aux contrôles, d'autre part certains médicaments ont un effet de dopage inconnu du sportif ; le comité prend donc sa décision avec un risque d'erreur. On note

\setlength\parindent{9mm}
$D$ l'évènement \og le sportif est dopé \fg{},

$O$ l'évènement \og le sportif est déclaré positif \fg{}.

$E$ l'évènement \og le comité a commis une erreur \fg.
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Dans cette question, on suppose que parmi les sportifs 
50\,\% ne sont pas dopés et que \emph{la probabilité d'\^etre déclaré positif est indépendante de l'état réel du sportif} (dopé ou non dopé).

Lors d'une étude sur des compétitions antérieures on a pu observer que ce comité déclarait positifs 20\,\% des sportifs. On choisit un sportif au hasard. Calculer

$\bullet~$ la probabilité que le sportif soit non dopé et déclaré positif ;

$\bullet~$ la probabilité que le sportif soit dopé et déclaré négatif ;

$\bullet~$ la probabilité de l'évènement $E$.
\item Dans cette question, on note $p$ la fréquence des dopés parmi les sportifs contrôlés.

On suppose que la probabilité d'\^etre déclaré positif n'est pas la m\^eme selon que le sportif est réellement dopé ou non,

$\bullet~$ la probabilité qu'un sportif dopé soit déclaré positif est $0,9$ ;

$\bullet~$ la probabilité qu'un sportif non dopé soit déclaré
positif est $0,1$.

On choisit un sportif au hasard.
	\begin{enumerate} 
		\item Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
		\item Calculer la probabilité de $E$.
		\item Calculer, en fonction de $p$, la probabilité que ce sportif soit déclaré positif.
		\item On s'intéresse à la probabilité qu'un sportif ayant été déclaré positif soit réellement
dopé. Montrer que cette probabilité, notée $f(p)$, est définie par $f(p) = \dfrac{0,9p}{0,8p + 0,1}$.

Résoudre l'inéquation $f(p) > 0,9$. Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill11 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Ce problème a pour objectif d'étudier le prix d'équilibre entre l'offre et la demande d'un objet donné, dans une situation de concurrence parfaite.
 
\medskip

\begin{center} 
\textbf{Partie A :  étude de la demande} 
\end{center}

On suppose que le prix unitaire qu'acceptent de payer les consommateurs en fonction de la quantité $x$ disponible sur le marché est modélisé par la fonction $g$ définie  sur $[0~ ;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = \dfrac{50}{ x^2 +x+1}.\]

Le prix unitaire $g(x)$ est exprimé en euros et la quantité $x$ en millions d'objets.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x)$. 
Interpréter graphiquement  ce résultat.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $g'(x)$.
		\item Étudier les variations de $g$ sur $[0~;~+ \infty[$ et donner le tableau de variations.
	\end{enumerate}
\item Soit $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de $g$ dans un repère orthogonal du plan. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse nulle.
\item Tracer T et $\mathcal{C}_g$ (unités graphiques : 2~cm pour une unité en
 abscisses, 2~cm pour 10~unités en ordonnées).
 \end{enumerate} 
 
\bigskip

\begin{center} \textbf{Partie B : étude de l'offre}  \end{center}

Les producteurs acceptent de fabriquer une quantité $x$ exprimée en millions d'objets si le prix unitaire de l'objet atteint une valeur minimale. On suppose que ce prix minimal (qui dépend de la quantité $x$) est modélisé par la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$  par 

\[f(x) = 3\text{e}^{0,26x}.\]

Le prix unitaire $f(x)$ est exprimé en euros.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
\item étudier les variations de $f$ sur $[0~ ;~+ \infty[$.
\item Tracer $\mathcal{C}_f$ dans le m\^eme repère que $\mathcal{C}_g$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{Partie C : Recherche du prix d'équilibre} 
\end{center}

Dans un marché à concurrence parfaite, la \og loi de l'offre et de la 
demande \fg{} tend à dégager un prix d'équilibre $p_0$ pour lequel l'offre des producteurs est égale à la demande des consommateurs. On appelle $q_0$ la quantité associée à 
 $p_0$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer graphiquement un encadrement entre deux entiers consécutifs d'une part du prix d'équilibre $p_0$ et d'autre part de la quantité associée 
 $q_0$.
\item On pose $h(x) = f (x) - g(x)$ pour tout $x$ de $[0~ ;~+ \infty[$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déduire des parties A et B le sens de variations de $ $sur 
$[0~ ;~+ \infty[$.
		\item Montrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $q_0$ sur [2~;~3].
		\item Donner à l'aide de la calculatrice une valeur arrondie à $10^{-2}$ de $q_0$.
	\end{enumerate}
\item Calculer une valeur approchée du prix d'équilibre $p_0$. On donnera le résultat arrondi à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{Partie D : Surplus des producteurs}  \end{center}

On appelle surplus des producteurs le gain supplémentaire que réalisent les producteurs en vendant au prix $p_0$. Il est obtenu à partir de l'expression :

\[S_p = p_0q_0 - \displaystyle\int_0^{q_0}  f (x)\: \text{d}x.\]

Il est exprimé en millions d'euros.

\begin{enumerate} 
\item Donner une interprétation graphique de $S_p$, (on interprétera 
$p_0q_0$ comme l'aire d'un rectangle).
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $S_p$ en fonction de $p_0$ et $q_0$.
		\item Déterminer une valeur arrondie à $10^{-1}$ de $S_p$ exprimée en millions d'euros.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}