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%Tapuscrit : Jean-Paul Goualard
%Corrigé Jean-Claude Souque
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\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\e{\text{e}}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Mercatique, comptabilit\'e et finance d'entreprise\\gestion des syst\`emes d'information}  
\lfoot{\small{Pondichéry}\hspace{3em}correction}
\rfoot{\small{15 avril 2013}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\gray \decofourleft~ Baccalauréat STG Mercatique  Pondichéry \decofourright\\ 15 avril 2013 \hspace{3em} Correction}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}
\begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°\,99-186 du 16-11-99) est autorisée.

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip
{\footnotesize
Une entreprise de textile emploie 300 personnes dans le secteur confection. Il est composé de trois ateliers.
 
L'atelier de stylisme est constitué de 50 personnes. L'atelier de découpe est constitué de 100 personnes. Le reste du personnel travaille dans l'atelier de couture.
 
Après une étude sur l'absentéisme, le directeur des ressources humaines a constaté que sur une année :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 30\,\% des stylistes ont eu au moins une absence ; 
\item[$\bullet~~$] 15\,\% du personnel de découpe ont eu au moins une absence ; 
\item[$\bullet~~$] 90\,\% du personnel de l'atelier de couture n'ont pas eu d'absence.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On choisit une personne au hasard dans cette entreprise et l'on admet que chaque personne a la même probabilité d'être choisie.
 
On note :
 
$S$ l'événement : \og la personne choisie travaille à l'atelier de stylisme \fg ; 

$D$ l'événement : \og la personne choisie travaille à l'atelier de découpe\fg ; 

$C$ l'événement :\og la personne choisie travaille à l'atelier de couture\fg ; 

$A$ l'événement :\og la personne choisie a eu au moins une absence \fg.
 
Si $M$ et $N$ sont deux événements, on note $\overline{M}$ l'événement contraire de l'événement $M$ et $p_{N}(M)$ la probabilité de l'événement $M$ sachant $N$.
}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item L'univers est l'ensemble du personnel de l'entreprise. La loi est l'équiprobabilité. La probabilité d'un événement A est  $p(A)=\frac{\text{\scriptsize nombre d'éléments de A}}{\text{\scriptsize nombre d'éléments de l'univers}}$
	\begin{enumerate}
	\item Traduisons les données du texte en probabilité :\begin{itemize}
		 \item [$\bullet$] $p(S)= \frac{50}{300}=\frac{1}{6}$ car l'atelier de stylisme est constitué de 50 personnes et l'entreprise emploie 300 personnes.
		 \item [$\bullet$] $p(D)=\frac{100}{300}=\frac{1}{3}$ car l'atelier de découpe est constitué de 100 personnes.
		 \item [$\bullet$] $p(C)=1-(\frac{1}{6}+\frac{1}{3})=\frac{1}{2}$ car le reste du personnel travaille dans l'atelier de couture.
		\end{itemize}
		\item  \begin{itemize}\item [$\bullet$]$p_{S}(A)=\np{0.30}$ car 30\,\% des stylistes ont eu au moins une absence; 
\item [$\bullet$] $p_{D}(A)=\np{0.15}$ car 15\,\% du personnel de découpe ont eu au moins une absence ;
\item [$\bullet$]$p_{C}\left(\overline{A}\right)=\np{0.90}$ car 90\,\% du personnel de l'atelier de couture n'ont pas eu d'absence.
\end{itemize} 
	\end{enumerate} 
\item Construisons un arbre pondéré décrivant la situation. 

\smallskip

\begin{center}
\psset{nodesep=1mm,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$S$}\taput{$\tfrac{1}{6}$}}
	{\TR{$A$}\taput{\np{0.30}}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{\np{0.70}}
	}
\pstree{\TR{$D$}\taput{$\tfrac{1}{3}$}}
	{\TR{$A$}\taput{\np{0.15}}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{\np{0.85}}
	}
\pstree{\TR{$C$}\taput{$\tfrac{1}{2}$}}
	{\TR{$A$}\taput{\np{0.1}}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{\np{0.9}}
	}	
}
\end{center}

\item Calculons la probabilité de l'événement $S \cap A$, notée $p(S \cap A)$. \[
p(S\cap A)= p(S)\times p_S(A)=\dfrac{1}{6}\times  \np{0.30}=\np{0.05}.\]
\item Calculons $p(A)$. 

$p(A) = p(S)\times p_S(A)+p(D)\times p_D(A)+p(C)\times p_C(A)=\np{0.05}+\dfrac{1}{3}\times  \np{0.15}+\dfrac{1}{2}\times \np{0.1}=\np{0.05}+\np{0.05}+\np{0.05}=\np{0.15}.$ 
\item On sait que la personne choisie a eu au moins une absence cette année.
La probabilité que cette personne soit un styliste est notée $p_A(S)$.

$p_A(S)=\dfrac{p(A\cap S}{p(A)}=\dfrac{\np{0.05}}{\np{0.15}}=\dfrac{1}{3}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip 
{\footnotesize
Le tableau ci-dessous retrace l'évolution sur vingt ans du record du monde du \np[m]{100} en athlétisme chez les hommes. 

\medskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
				&Année 		&Rang de l'année $\left(x_{i}\right)$&Temps en seconde $\left(y_{i}\right)$\\ \hline 
Carl Lewis 		&~~1988~~ &0 	&9,92\\ \hline 
Carl Lewis		&~~ 1991~~&3 	&9,86\\ \hline 
Leroy Burrell	&~~ 1994~~&6	&9,85\\ \hline 
Donovan Bailey	&~~ 1996~~&8	&9,84\\ \hline 
Maurice Greene	&~~ 1999~~&11	&9,79\\ \hline 
Asafa Powell	&~~ 2005~~&17	&9,77\\ \hline
Asafa Powell	&~~ 2007~~&19	&9,74\\ \hline 
Usain Bolt		&~~ 2008~~&20	&9,69\\ \hline
\end{tabularx}\end{center}
}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculons le taux d'évolution du temps du record du monde du \np[m]{100} en athlétisme chez les hommes entre 1988 et 2008.
Le taux est défini par  $\frac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. $T=\dfrac{\np{9.69}-\np{9.92}}{\np{9.92}}\approx -\np{0.0232}$. 

Entre 1988 et 2008, le temps du record du monde mis pour courir le \np[m]{100} a baissé de 2,32\,\%.
		\item Sur les 20 années de 1988 à 2008, montrons  que le temps du record du monde à l'épreuve du \np[m]{100} en athlétisme chez les hommes a baissé chaque année en moyenne de 0,117\,\%.
 
		Entre 1988 et 2008, le temps du record a subi 20 évolutions  au taux moyen annuel $t_m$, le coefficient  multiplicateur  associé est donc $\left(1+t_m\right)^{20}$ d'une part  et de  $1-\np{0.0232}=\np{0.9768}$ d'autre part.
		
		Par conséquent, $t_m=\left(\np{0.9768}\right)^{ \tfrac{1}{20}}-1\approx -\np{0.00117}$ soit environ $\np{0.117}~\%$.
	\end{enumerate}
\item Une représentation du nuage de points associé à la série statistique à deux variables $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est donnée dans un repère orthogonal en annexe.%à rendre avec la copie. 
	\begin{enumerate}
		\item \`A  l'aide de la calculatrice, une équation de la droite, $\Delta$, d'ajustement de $y$ en $x$ de la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ obtenue par la méthode des moindres carrés est $y=-\np{0.0095}x+\np{9.9075}$.
	Les coefficients sont donnés à $10^{-4}$ près.
	
Pour la suite de l'étude, on retient comme ajustement affine la droite $\Delta$ d'équation $y = - 0,01x + 9,91$.
		\item La droite $\Delta$ est tracée  dans le repère figurant en annexe. 
		\item En utilisant ce modèle d'ajustement, nous pouvons estimer le record du monde du \np[m]{100} chez les hommes en 2009 à \np[s]{9.7}.
 En effet en 2009 $x=21$ et en remplaçant $x$ par cette valeur  dans l'équation de $\Delta$ nous obtenons y=\np{9.7}.
		\item En août 2009, Usain Bolt a battu son propre record en courant le \np[m]{100} en \np[s]{9.58}. Calculons le pourcentage d'erreur commise lors de l'ajustement par rapport au temps réel du record.
		
		$\dfrac{\np{9.7}-\np{9.58}}{\np{9.58}}\approx \np{0.0125}$. L'estimation était  de \np{1.25}~\% plus élevée.
		
Le modèle est peu approprié à une compétition sportive. Le taux d'évolution ne peut être toujours identique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
\begin{center}
\textbf{Annexe à l'exercice 2}%, à rendre avec la copie}

%\begin{center}
\scalebox{0.8}{%
\psset{xunit=0.6,yunit=10,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,8.9)(24,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=0,Dx=1,Oy=9,Dy=0.1]{->}(0,9)(22,10)
\multido{\n=0+1}{23}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,9)(\n,10)}
\multido{\r=9+0.1}{10}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=orange](0,\r)(22,\r)}
%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.8](250,200)(350,170)(400,145)(450,135)(500,120)(600,100)
%\psline(650,80)(200,212.5)
%\uput[d](675,80){$x$}\uput[l](200,215){$y$}
%\uput[d](625,70){Prix en \euro}
%\uput[r](200,215){Nombre d'acheteurs}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3](0,9.92)(3,9.86)(6,9.85)(8,9.84)(11,9.79)(17,9.77)(19,9.74)(20,9.69)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.75pt]{0}{22}{0.01 neg x mul 9.91 add}
\rput (21.75,9.65){$\Delta$}
\end{pspicture}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip 	 

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur l'intervalle [1~;~8]. Les courbes $C_{f}$ et $C_{g}$, représentant les fonctions $f$ et $g$, sont données dans le repère ci-dessous. 

 Une entreprise vend sur le marché un article.
 
\emph{On rappelle que l'offre est la quantité d'articles que l'entreprise désire vendre sur le marché en fonction du prix et la demande est la quantité d'articles que les consommateurs veulent et peuvent acheter en fonction du prix.}

\medskip

Après une étude de marché, l'entreprise a modélisé l'offre par la fonction $f$ et la demande par la fonction $g$ : le prix unitaire $x$ de l'article étant exprimé en euros, le nombre d'articles offerts en milliers est égal à $f(x)$ et le nombre d'articles demandés en milliers est égal à $g(x)$, avec $x \in [1~;~8]$.

\bigskip
 
\textbf{Partie A : lectures graphiques}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Le nombre d'articles qui seraient demandés lorsque le prix unitaire est fixé à 2~\euro{} est $g(2)$. Nous lisons 150. Au prix de deux euros, il serait demandé \np{150000} articles.
\item Le nombre d'articles que peut offrir l'entreprise lorsque le prix unitaire est fixé à 5~\euro{} est $f(5)$. Nous lisons 200. Au prix de cinq euros, il serait offert \np{200000} articles.

Dans ce cas, l'entreprise ne peut pas espérer vendre tous les articles qu'elle aura fabriqués car la demande serait d'environ \np{20000} articles, demande très inférieure à l'offre. 
\item Le prix d'équilibre de l'article c'est-à-dire la valeur de $x$ pour laquelle $f(x) = g(x)$ est d'environ 3,15 \euro.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.008cm}
\begin{pspicture}(-0.4,-50)(8.5,1250)
\multido{\n=-0.4+0.2}{45}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1250)}
\multido{\n=0+50}{26}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(8.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=100]{->}(0,0)(-0.4,-50)(8.5,1250)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{8}{2.71828 x 0.6 mul  exp 10 mul}\uput[u](1.5,35){$C_{f}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{1}{8}{2.71828 1 x  sub 1.4175 div  exp 300 mul}\uput[u](1.5,200){$C_{g}$}
\def\Func{2.71828 x 0.6 mul exp 10 mul}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=-<]{<-}(!0 /x 5 def \Func)(!5 /x 5 def \Func)(5,0)
\def\Func{2.71828 1 x  sub 1.4175 div  exp 300 mul}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=-<]{<-}(!0 /x 2 def \Func)(!2 /x 2 def \Func)(2,0)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt,linecolor=red](3.145743,0)(3.145743,66.024828)
\rput(-0.35,150){150}
\rput(3.14757,-25.0){\tiny $\approx\np{3.15}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip
 
\textbf{Partie B :}

\medskip
 
La fonction $f$ est définie sur l'intervalle [1~;~8] par : 

\[f(x) = 10 \text{e}^{0,6 x}.\]
 
\begin{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~8] et on note $f'$ sa fonction dérivée. 

 $f'(x)=10\times \np{0.6}\e^{\np{0.6}x}$. 
\item Étudions le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1~;~8].

 Pour tout $x\in [1~;~8],\ f'(x)>0$ comme produit de nombres réels strictement positifs
\item Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$. 

Pour tout $x\in [1~;~8],\ f'(x)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C :}

\medskip
 
On se propose de déterminer, à l'aide d'un tableur, le prix d'équilibre.
 
Ci-dessous, un extrait d'une feuille de calcul, donne les valeurs de $f(x)$, celles de $g(x)$ et celles de $g(x)- f(x)$, pour $x$ variant de $3,05$ à $3,20$ au pas de $0,01$.
 
Avec ce tableur, la fonction exponentielle se note EXP( ) et pour les colonnes B, C et D le format d'affichage numérique est à trois décimales.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Une formule qui, entrée dans la cellule B2, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules B2 : B17 est = 10*EXP(0,6*x). 
\item Une formule qui, entrée dans la cellule D2, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules D2~:~D17 est  = C2 $-$ B2 ou = \$C2 $-$ \$B2
\item  Le prix d'équilibre (arrondi au centime d'euro) est compris entre  \np{3.14}  et \np{3.15}\,\euro. En effet, pour \np{3.14} $g(x)-f(x)> 0$ et pour \np{3.15} $g(x)-f(x)< 0$
\end{enumerate}  


\begin{center}
{\scriptsize
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B &C &D\\ \hline 
1 &$x$ &$f(x)$ &$g(x)$ &\footnotesize $g(x)- f(x)$\\ \hline 
2 &3,05 &62,339 &70,947 &8,608\\ \hline 
3 &3,06 &62,714 &70,452 &7,738\\ \hline 
4 &3,07 &63,091 &69,960 &6,869 \\ \hline
5 &3,08 &63,471 &69,472 &6,001 \\ \hline
6 &3,09 &63,853 &68,988 &5,135 \\ \hline 
7 &3,10 &64,237 &68,507 &4,269 \\ \hline 
8 &3,11 &64,624 &68,029 &3,405 \\ \hline 
9 &3,12 &65,013 &67,554 &2,541 \\ \hline 
10 &3,13 &65,404 &67,083 &1,679 \\ \hline 
11 &3,14 &65,798 &66,615 &0,817 \\ \hline 
12 &3,15 &66,194 &66,150 &$- 0,043$ \\ \hline 
13 &3,16 &66,592 &65,689 &$- 0,903$ \\ \hline 
14 &3,17 &66,993 &65,231 &$- 1,762$ \\ \hline 
15 &3,18 &67,396 &64,776 &$- 2,620$ \\ \hline 
16 &3,19 &67,802 &64,324 &$- 3,478$ \\ \hline 
17 &3,20 &68,210 &63,875 &$- 4,334$  \\ \hline
\end{tabularx}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un test vrai/faux.\\ 
Pour chacune des quatre propositions, relever le numéro de la proposition et dire si elle est vraie ou fausse. Aucune justification n'est demandée.\\ 
Une réponse juste rapporte $1$ point ; une réponse fausse enlève $0,5$ point; l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.}

\medskip
 
Un restaurateur décide de créer une terrasse afin d'accueillir davantage de clients pendant la saison estivale. Il a donc besoin de mobilier de jardin. Il prévoit deux modèles, l'un noir et l'autre blanc. 

Pour un modèle noir, le lot d'une valeur de \np{1600}~\euro{} comprend une table, deux chaises et deux fauteuils. 

Pour un modèle blanc, le lot d'une valeur de \np{2400}~\euro{} comprend une table, six chaises et un fauteuil. Le projet du restaurateur est de disposer d'au moins 42 chaises et 15 fauteuils.
 
Soient $x$ le nombre de lots noirs et $y$ le nombre de lots blancs achetés par le restaurateur. 

La partie non hachurée du graphique ci-dessous représente l'ensemble des points $M$ dont les coordonnées entières $(x~;~y)$ sont solutions du système des contraintes de ce problème.

en résumant les données du problème nous avons 
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{5}{c|}}
\hline
&table& chaises & fauteuils&valeur\\
\hline
noir $x$&1&2&2&\np{1600}\\ \hline
blanc $y$&1&6&1&\np{2400}\\ \hline
minimum&&42&15&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\textbf{Proposition 1 :} La contrainte liée au nombre de chaises peut se traduire par : 
$x + 3 y \geqslant 21$.\hfill Vraie

\medskip

\textbf{Proposition 2 :} La droite $\mathcal{D}_1$ admet pour équation réduite : 
$y = - \dfrac{1}{2}x + 15$. \hfill Fausse.

{\footnotesize l'équation de  $\mathcal{D}_1$ est $y=-2x+15$.}
 
\medskip

\textbf{Proposition 3 :} En commandant 4 lots du modèle noir et 7 lots du modèle blanc toutes les contraintes sont respectées.
 
\hfill Vraie \par

\medskip

\textbf{Proposition 4 :} En respectant toutes les contraintes, le minimum d'argent dépensé lors de la commande du mobilier sera de \np{21600}~\euro.\hfill Vraie

 
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(23,17)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1, gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](0,0)(23,17)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.99,-0.99)(23,17)
\uput[d](23,0){$x$}\uput[l](0,17){$y$}
\psplot{-0.5}{23}{7 x 3 div sub}
\psplot{-0.5}{7.8}{15 x 2 mul sub}
\pscustom[fillstyle=hlines,hatchwidth=0.5pt]{
\psplot{0}{7.5}{15 x 2 mul sub}
\psline(4.8,0)(0,0)}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchwidth=0.5pt,hatchsep=4pt]{
\psplot{0}{21}{7 x 3 div sub}
\psline(21,0)(0,0)}
\rput(1.75,12.6){$\mathcal{D}_1$}
\rput(1.75,5.86){$\mathcal{D}_2$}
\rput(-0.5,-0.5){$0$}
\psdots[dotstyle=BoldMul,dotsize=7.5pt ](4,7)(5,6)(6,5)
\rput(5.8,7){\scriptsize proposition 3}
\rput(7.63,5.15){\scriptsize coût \np{21600}\,\euro}
\end{pspicture}
\end{center}


%\newpage
\vfill
 
\label{fin}

\end{document}