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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}  
\lhead{\small Baccalauréat S} 
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{avril 2002}}
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\begin{center}{\Large\textbf{ 
\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry avril 2002~\decofourright}}
\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv ; unité 
graphique 2~cm. On désigne par A le point d'affixe $z_{\text{A}} = 1$, 
et par $(\mathcal{C})$ le cercle de centre A et de rayon 1. 

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit F le point d'affixe 2, B le point d'affixe $z_{\text{B}} = 1 + 
\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et E le point d'affixe 
$\left(1 + z_{\text{B}}^2\right)$.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point B appartient au cercle $(\mathcal{C})$. 
		\item Déterminer une mesure en radians de l'angle de vecteurs 
$\left(\vect{\text{AF}}~ ;~\vect{\text{AB}}\right)$. Placer le 
point B. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la forme exponentielle des nombres 
complexes $(z_{\text{B}} - z_{\text{A}})$ et $(z_{\text{E}}- z_{\text{A}})$. 
		\item En déduire que les points A , B et E sont alignés. 
	\end{enumerate} 
\item Placer le point E. 
\end{enumerate} 

\medskip 

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour tout nombre complexe $z$ tel que $z \neq 1$, on considère les points $M$ et $M'$ d'affixes respectives $z$ et $z'$ où $z' = 1 + z^2$. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Pour $z \neq 0$ et $z \neq 1$, donner, à l'aide des 
points A, $M$ et $M'$, une interprétation géométrique d'un argument du nombre complexe $\dfrac{z' - 1}{z - 1}$. 
\item En déduire que A, $M$ et $M'$ sont alignés si et 
seulement si $\dfrac{z^2}{z - 1}$ est un réel. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement obligatoire} 

\medskip 

\textbf{Partie A} 

\medskip

Une urne contient $n$ boules blanches ($n \in \N$ et $n \geqslant 2$), 5 boules rouges et 3~boules vertes. 

On tire simultanément et au hasard deux boules de l'urne . 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Quelle est la probabilité de tirer deux boules blanches ? 
\item On note $p(n)$ la probabilité de tirer deux boules de même 
couleur. 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $p(n) = \dfrac{n^2 -n + 26}{(n + 8)(n + 7)}$ 
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p(n)$. Interpréter ce résultat. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour les questions suivantes $n = 4$. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer $p(4)$. 
\item Un tirage consiste à tirer simultanément et au hasard deux 
boules de l'urne. 

Un joueur effectue deux tirages indépendants, en remettant dans l'urne avant le 
second tirage les deux boules tirées la première fois. Il mise au départ 
la somme de 30 euros. 

Pour chaque tirage : 

\begin{itemize}
\item  si les deux boules sont de même couleur, il reçoit alors 40 euros, 
\item  si elles sont de couleurs différentes, il reçoit alors 5 euros. 
\end{itemize}
On appelle gain du joueur la différence, à l'issue des deux tirages, entre la 
somme reçue par le joueur et sa mise initiale (ce gain peut être positif ou négatif). 

On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au gain du joueur. 
	\begin{enumerate} 
		\item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ? 
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$. 
		\item Calculer l'espérance de $X$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer le P.G.C.D. de $4^5 - 1$ et de $4^6 - 1$. 

\medskip 

Soit $u$ la suite numérique définie par : 

$u_{0} = 0,~u_{1} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, 

\[u_{n+2} = 5 u_{n+1} - 4 u_{n}.\] 

\item Calculer les termes $u_{2},~u_{3}$ et 
$u_{4}$ de la suite $u$. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la suite $u$ vérifie, 
pour tout entier naturel $n$, 
~$u_{n+1} = 4 u_{n} + 1$. 
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$,~ $u_{n}$ est un 
entier naturel. 
		\item En déduire, pour tout entier naturel $n$, le P{}.G.C.D. de 
$u_{n}$ et $u_{n+1}$. 
	\end{enumerate} 
\item Soit $v$ la suite définie pour tout entier 
naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} + \dfrac{1}{3}.$ 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $v$ est une suite géométrique dont on déterminera 
la raison et le premier terme $v_{0}$. 
		\item Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer, pour tout entier naturel $n$, le P{}.G.C.D. de 
$4^{n + 1} - 1$ et de $4^n- 1$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\begin{center} 

La partie \textbf{B} peut être traitée indépendamment de la partie 
\textbf{A}. \end{center} 

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} ; unité graphique : 2~cm.
Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction 
$f_{n}$ définie sur $\R$ par : 

\[f_{n}(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^{nx} \left(1 + \text{e}^x\right)}.\] 

On désigne par $\mathcal{C}_{n}$ la courbe représentative de $f_{n}$ dans le repère \Oij. 

\medskip 

\begin{center} \textbf{Partie A} \end{center} 

Dans cette partie, on s'intéresse seulement aux fonctions $f_{0}$ et $f_{1}$ 
correspondant respectivement à $n = 0$ et $n = 1$. 

On considère d'abord la fonction $f_{0}$ définie sur $\R$ 
par $f_{0}(x) = \dfrac{\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}.$ 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de 
$f_{0}(x)$ quand $x$ tend vers $- \infty$. 
		\item Déterminer la limite de $f_{0}(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$. 
		\item En déduire les asymptotes de $\mathcal{C}_{0}$. 
	\end{enumerate} 
\item Montrer que le point K $\left(0~;~\dfrac{1}{2}\right)$ est un centre de symétrie de $\mathcal{C}_{0}$ 
\item Étudier les variations de $f_{0}$. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une équation de la 
tangente T à la courbe $\mathcal{C}_{0}$ au point K. 
		\item Justifier que, pour étudier la position de la tangente T par 
rapport à la courbe $\mathcal{C}_{0}$, il suffit d'étudier sur $\R$ 
le signe de $g(x)$, où 

$g(x) = 2 \text{e}^x - x \text{e}^x - 2 - x$. 
		\item Calculer $g'(x)$ et $g''(x)$. 
		\item Déterminer, en les justifiant, les signes de $g''(x),~ g'(x)$ 
et $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
		\item En déduire la position de la tangente T par rapport à la courbe $\mathcal{C}_{0}$. 
	\end{enumerate} 
\item Tracer $\mathcal{C}_{0}$ et T dans le repère \Oij. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que pour tout réel 
$x$, les points $M (x~;~f_{0}(x))$ et $M'\left(x~;~f_{1}(x)\right)$ 
sont symétriques par rapport à la droite (d) d'équation $y = \dfrac{1}{2}$. 
	\item Comment obtient-on $\mathcal{C}_{1}$ à partir de $\mathcal{C}_{0}$ ? 
Tracer $\mathcal{C}_{1}$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\begin{center}\textbf{Partie B} \end{center} 

Étude de la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par : 

\[u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 f_{n}(x)\: \text{d}x.\] 

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $u_{0} = \ln \left(\dfrac{ 
1 + \text{e}}{2}\right)$. 
\item Montrer que $u_{0} + u_{1} = 1$. En 
déduire $u_{1}$. 
\item Montrer que la suite $u$ est positive. 
\item On pose $k(x) = f_{n+1} (x) - f_{n}(x)$, 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout $x$ réel, $k(x) = \dfrac{1 - 
\text{e}^x}{\text{e}^{nx}\left(1 + \text{e}^x\right)}$. 
		\item Etudier le signe de $k(x)$ pour $x \in [0~;~ 1]$. 
		\item En déduire que la suite $u$ est décroissante. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout 
entier $n$ supérieur ou égal à 2, on a : 
\[u_{n-1} + u_{n} = \dfrac{1 - \text{e}^{-(n - 1)}}{n - 1}.\] 

		\item Calculer $u_{2}$. 
	\end{enumerate} 
\item Soit $v$ la suite définie pour tout entier 
$n$ supérieur ou égal 
à 2 par : 
\[v_{n} = \dfrac{u_{n-1} + u_{n}}{2}.\] 

	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la limite de $v_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. 
		\item Montrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, on a : 
\[0 \leqslant u_{n} \leqslant v_{n}.\] 
		\item En déduire la limite de $u_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
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