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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{17 avril 2015}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry  17 avril 2015~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \dfrac{3}{1 + \text{e}^{- 2x}}.\]\index{fonction avec exponentielle}

Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère orthogonal \Oij, la courbe
représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y = 3$.
\begin{center}
\psset{unit=1.3cm}
\def\pshlabel#1{\small#1}
\def\psvlabel#1{\small#1}
\begin{pspicture}(-2.75,-1)(5,4)
\psframe(-2.75,-1)(5,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2.75,-0.99)(4.99,3.99)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psline[linewidth=1.25pt](-2.75,3)(5,3)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.75}{4}{3 2.71828 x 2 neg mul exp 1 add div}
\uput[u](-1,0.5){\blue $\mathcal{C}$}\uput[u](-2,3){$\Delta$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
\item Justifier que la droite $\Delta$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.\index{asymptote}
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 2,999$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$.

Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = 3 - f(x)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la fonction $h$ est positive sur $\R$.
\item On désigne par $H$ la fonction définie sur $\R$ par $H(x) = - \dfrac{3}{2} \ln \left(1 + \text{e}^{- 2x}\right)$.

Démontrer que $H$ est une primitive de $h$ sur $\R$.\index{primitive}
\item  Soit $a$ un réel strictement positif.
	\begin{enumerate}
		\item Donner une interprétation graphique de l'intégrale $\displaystyle\int_0^a  h(x)\:\text{d}x$.\index{aire et intégrale}
		\item Démontrer que $\displaystyle\int_0^a  h(x)\:\text{d}x = \dfrac{3}{2} \ln \left(\dfrac{2}{1 + \text{e}^{- 2a}}\right)$.
		\item On note $\mathcal{D}$ l'ensemble des points $M(x~;~y)$ du plan défini par
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
x&\geqslant & 0\\
f(x) &\leqslant y&\leqslant 3
\end{array}\right.$

Déterminer l'aire, en unité d'aire, du domaine $\mathcal{D}$.\hyperlink{Index}{*}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par son premier terme $u_0$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation

\[u_{n+1} = au_n + b\quad  (a \:\:\text{et}\:\: b\:\: \text{réels non nuls tels que }\:a \ne  1).\]\index{suite}

On pose, pour tout entier naturel $n,\quad  v_n = u_n - \dfrac{b}{1 - a}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $a$.\index{suite géométrique}
\item En déduire que si $a$ appartient à l'intervalle $]-1~;~1[$, alors la suite $\left(u_n\right)$ a pour limite $\dfrac{b}{1 - a}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80~cm. On lui conseille de la tailler tous
les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30~cm
au cours des douze mois suivants.

Dès qu'il rentre chez lui, Max taille sa plante.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille ?
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $h_n$ la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l'année $(2015 + n)$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n,\quad  h_{n+1} = 0,75h_n + 30$.
		\item Conjecturer à l'aide de la calculatrice le sens de variations de la suite $\left(h_n\right)$.
		
Démontrer cette conjecture (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).
		\item La suite $\left(h_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier la réponse.\hyperlink{Index}{*}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment}

\medskip

\textbf{Partie A \quad  Étude de la durée de vie d'un appareil électroménager}

\medskip

Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d'un type de lave-vaisselle par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale $\mathcal{N}\left(\mu,~ \sigma^2\right)$ de moyenne $\mu = 84$ et d'écart-type $\sigma$. De plus, on a $P(X \leqslant 64) = 0,16$. \index{loi normale}

La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de $X$ est donnée ci-dessous.

%\begin{center}
%\psset{xunit=0.075cm,yunit=5cm}
%%algebraic=true
%\begin{pspicture}(-80,-0.1)(80,1.1)
%\psframe(-80,-0.1)(80,1.1)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1000](0,0)(-75,0)(75,0)
%\multido{\n=-75+10,\na=10+10}{15}{\uput[d](\n,0){\na}}
%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-80}{80}{2.71828 x dup mul 0.00125 mul neg exp}
%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.45pt,linecolor=blue]{-80}{-21}{2.71828 x dup mul 0.00125 mul neg exp}
%\psline(-21,0)(-80,0)}
%\uput[d](-20,0){\blue 64}\rput(-35,0.1){16\,\%}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=0.07cm, yunit=200cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {5}   \def\xmax {165}
\def\ymin {-0.0047} \def\ymax {0.02}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\def\m{84}% moyenne 
\def\s{20}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}

\def\inf{\xmin} \def\sup{64}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=blue!20]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
\closepath % indispensable !
}
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{\xmin}{\xmax}{\f}
\uput{12pt}[d](\sup,0){\footnotesize \blue \sup}
%\uput[d](\inf,0){\footnotesize \blue \inf}
\multido{\n=10+10}{15}
{
\uput[d](\n,0){\footnotesize \n}
\psline(\n,0.0005)(\n,-0.0005)
}
\psline(\m,0.0007)(\m,-0.0007)
\rput(55,0.003){\bf 16\,\%}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En exploitant le graphique, déterminer $P(64 \leqslant X \leqslant 104)$.
		\item Quelle valeur approchée entière de $\sigma$ peut-on proposer ?
	\end{enumerate}
\item On note $Z$ la variable aléatoire définie par $Z = \dfrac{X - 84}{\sigma}$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de probabilité suivie par $Z$ ?
		\item Justifier que $P(X \leqslant 64) = P \left(Z \leqslant \dfrac{- 20}{\sigma}\right)$.
		\item En déduire la valeur de $\sigma$, arrondie à $10^{-3}$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on considère que $\sigma = 20,1$.
	
Les probabilités demandées seront arrondies à $10^{-3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que la durée de vie du lave-vaisselle soit comprise entre 2 et 5~ans.
		\item Calculer la probabilité que le lave-vaisselle ait une durée de vie supérieure à
10 ans.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B Étude de l'extension de garantie d'El'Ectro}

\medskip

Le lave-vaisselle est garanti gratuitement pendant les deux premières années.

L'entreprise El'Ectro propose à ses clients une extension de garantie de 3 ans
supplémentaires.

Des études statistiques menées \textbf{sur les clients qui prennent l'extension de garantie}
montrent que 11,5\,\% d'entre eux font jouer l'extension de garantie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard 12 clients parmi ceux ayant pris l'extension de garantie (on peut
assimiler ce choix à un tirage au hasard avec remise vu le grand nombre de clients).
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité qu'exactement 3 de ces clients fassent jouer cette
extension de garantie ? Détailler la démarche en précisant la loi de probabilité
utilisée. Arrondir à $10^{-3}$.
		\item Quelle est la probabilité qu'au moins 6 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Arrondir à $10^{-3}$.
	\end{enumerate}
\item  L'offre d'extension de garantie est la suivante : pour 65~euros supplémentaires,
El'Ectro remboursera au client la valeur initiale du lave-vaisselle, soit 399~euros, \textbf{si
une panne irréparable survient entre le début de la troisième année et la fin de la
cinquième année}. Le client ne peut pas faire jouer cette extension de garantie si la
panne est réparable.
	
On choisit au hasard un client parmi les clients ayant souscrit l'extension de garantie,
et on note $Y$ la variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euros réalisé sur
ce client par l'entreprise El'Ectro, grâce à l'extension de garantie.
	
\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $Y$ prend les valeurs $65$ et $- 334$ puis donner la loi de probabilité de $Y$.
		\item Cette offre d'extension de garantie est-elle financièrement avantageuse pour
l'entreprise ? Justifier.\hyperlink{Index}{*}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidat n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Soit un cube ABCDEFGH d'arête 1.\index{géométrie dans l'espace}

Dans le repère $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$, on considère les points M, N et P de coordonnées
respectives M$\left(1~;~1~;~\dfrac{3}{4}\right)$,\: N$\left(0~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right)$,\: P$\left(1~;~0~;~- \dfrac{5}{4}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer M, N et P sur la figure donnée en annexe.
\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{MN}}$ et $\vect{\text{MP}}$.

En déduire que les points M, N et P ne sont pas alignés.
\item On considère l'algorithme 1 donné en annexe.\index{algorithme}
	\begin{enumerate}
		\item Exécuter \emph{à la main} cet algorithme avec les coordonnées des points M, N et P
données ci-dessus.
		\item À quoi correspond le résultat affiché par l'algorithme ? Qu'en déduire pour le
triangle MNP ?
	\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme 2 donné en annexe. Le compléter pour qu'il teste
et affiche si un triangle MNP est rectangle et isocèle en M.\index{algorithme}
\item On considère le vecteur $\vect{n}(5~;~- 8~;~4)$ normal au plan (MNP).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan (MNP).\index{équation de plan}
		\item On considère la droite $\Delta$ passant par F et de vecteur directeur $\vect{n}$.
		
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.\index{équation paramétrique de droite}
	\end{enumerate}
\item Soit K le point d'intersection du plan (MNP) et de la droite $\Delta$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les coordonnées du point K sont $\left(\dfrac{4}{7}~;~\dfrac{24}{35}~;~\dfrac{23}{35}\right)$.
		\item On donne FK $= \sqrt{\dfrac{27}{35}}$.

Calculer le volume du tétraèdre MNPF{}.\hyperlink{Index}{*}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidat ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Les nombres de la forme $2^n - 1$ où $n$ est un entier naturel non nul sont appelés \textbf{nombres de Mersenne}.\index{arithmétique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On désigne par $a,\: b$ et $c$ trois entiers naturels non nuls tels que 

PGCD$(b~;~c) = 1$.

Prouver, à l'aide du théorème de Gauss, que :\index{théorème de Gauss}

\begin{center}si $b$ divise $a$ et $c$ divise $a$ alors le produit $bc$ divise $a$.\end{center}

\item On considère le nombre de Mersenne $2^{33} - 1$.

Un élève utilise sa calculatrice et obtient les résultats ci-dessous.

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.25}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$\left(2^{33} - 1 \right)\div 3$&\\
&2863311530\\
$\left(2^{33} - 1 \right)\div 4$&\\
&2147483648\\
$\left(2^{33} - 1 \right)\div 12$&\\ 
&715827882,6\\\hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center}

Il affirme que 3 divise $\left(2^{33} - 1 \right)$ et 4 divise $\left(2^{33} - 1 \right)$ et 12 ne divise pas $\left(2^{33} - 1 \right)$.
	\begin{enumerate}
		\item En quoi cette affirmation contredit-elle le résultat démontré à la question \textbf{1.} ?
		\item Justifier que, en réalité, 4 ne divise pas $\left(2^{33} - 1 \right)$.
		\item En remarquant que $2 \equiv  - 1\quad  [3]$, montrer que, en réalité, 3 ne divise pas $2^{33} - 1$.
		\item Calculer la somme $S = 1+2^3 + \left(2^3\right)^2 + \left(2^3\right)^3 + \cdots  + \left(2^3\right)^{10}$.
		\item En déduire que 7 divise $2^{33} - 1$.
	\end{enumerate}
\item On considère le nombre de Mersenne $2^7 - 1$. Est-il premier ? Justifier.
\item On donne l'algorithme suivant où MOD$(N,~k)$ représente le reste de la division
euclidienne de $N$ par $k$.\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l X|}\hline	
Variables :& $n$ entier naturel supérieur ou égal à 3\\
&$k$ entier naturel supérieur ou égal à 2\\
Initialisation :& Demander à l'utilisateur la valeur de $n$.\\
&Affecter à $k$ la valeur 2.\\
Traitement :& Tant que MOD$\left(2^n - 1,~k\right) \ne  0$  et $k \leqslant \sqrt{2^n -1}$\\
&\hspace{1cm} Affecter à $k$ la valeur $k + 1$\\
&Fin de Tant que.\\
Sortie :&\textbf{Afficher} $k$.\\
&Si $k > \sqrt{2^n -1}$\\
&\hspace{1cm}\textbf{Afficher} \og CAS 1 \fg\\
&Sinon\\
&\hspace{1cm}\textbf{Afficher} \og CAS 2 \fg\\
&Fin de Si\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item Qu'affiche cet algorithme si on saisit $n = 33$ ? Et si on saisit $n = 7$ ?
		\item Que représente le CAS 2 pour le nombre de Mersenne étudié ? Que représente
alors le nombre $k$ affiché pour le nombre de Mersenne étudié ?
		\item Que représente le CAS 1 pour le nombre de Mersenne étudié ?\hyperlink{Index}{*}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE à remettre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{EXERCICE 4 : Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.9cm}
\begin{pspicture}(7.6,8)
\pspolygon(0.5,6)(0.5,0.8)(4.5,0.3)(4.5,5.5)%EABF
\psline(4.5,0.3)(6.7,1.7)(6.7,6.9)(4.5,5.5)%BCGF
\psline(6.7,6.9)(2.7,7.4)(0.5,6)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.8)(2.7,2.2)(2.7,7.4)%ADH
\psline[linestyle=dashed](2.7,2.2)(6.7,1.7)%DC
\uput[dl](0.5,0.8){A} \uput[d](4.5,0.3){B} \uput[r](6.7,1.7){C} \uput[ul](2.7,2.2){D} 
\uput[ul](0.5,6){E} \uput[u](4.5,5.5){F} \uput[ur](6.7,6.9){G} \uput[u](2.7,7.4){H} 
\end{pspicture}
\vspace{4cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{0.2cm}|X|}
\multicolumn{1}{c}{Algorithme 1}&\multicolumn{1}{m{0.2cm}}{}&\multicolumn{1}{c}{Algorithme 2 (à compléter)}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
Saisir $x_{\text{M}}, y_{\text{M}}, z_{\text{M}}, x_{\text{N}}, y_{\text{N}}, z_{\text{N}}, x_{\text{P}}, y_{\text{P}}, z_{\text{P}}$&&Saisir $x_{\text{M}}, y_{\text{M}}, z_{\text{M}}, x_{\text{N}}, y_{\text{N}}, z_{\text{N}}, x_{\text{P}}, y_{\text{P}}, z_{\text{P}}$\\
$d$ prend la valeur $x_{\text{N}} - x_{\text{M}}$&&$d$ prend la valeur $x_{\text{N}} - x_{\text{M}}$\\
$e$ prend la valeur $y_{\text{N}} - y_{\text{M}}$&&$e$ prend la valeur $y_{\text{N}} - y_{\text{M}}$\\
$f$ prend la valeur $z_{\text{N}} - z_{\text{M}}$&&$f$ prend la valeur $z_{\text{N}} - z_{\text{M}}$\\
$g$ prend la valeur $x_{\text{P}} - x_{\text{M}}$&&$g$ prend la valeur $x_{\text{P}} - x_{\text{M}}$\\
$h$ prend la valeur $y_{\text{P}} - y_{\text{M}}$&&$h$ prend la valeur $y_{\text{P}} - y_{\text{M}}$\\
$i$ prend la valeur $z_{\text{P}} - z_{\text{M}}$&&$i$ prend la valeur $z_{\text{P}} - z_{\text{M}}$\\
$k$ prend la valeur $d \times  g + e \times h + f \times i$&&$k$ prend la valeur $d \times  g + e \times h + f \times i$\\
Afficher $k$&&\\ \cline{1-1}
\multicolumn{1}{c}{}&& \\
\multicolumn{1}{c}{}&&\\
\multicolumn{1}{c}{}&&\\ \cline{3-3}
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}