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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{18 avril 2012}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry  18 avril 2012~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les deux parties sont indépendantes.}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, participe à une course cycliste qui comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n'est constaté.
 
À la fin de chaque étape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrôle antidopage. Ces désignations de 5 coureurs à l'issue de chacune des étapes sont indépendantes. Un même coureur peut donc être contrôlé à l'issue de plusieurs étapes.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item À l'issue de chaque étape, combien peut-on former de groupes différents de 5 coureurs ? 
\item On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item \og rand(1,~50) \fg{} permet d'obtenir un nombre entier aléatoire appartenant à l'intervalle [1~;~50] 
\item l'écriture \og $x := y$ \fg{} désigne l'affectation d'une valeur $y$ à une variable $x$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.5cm}|X|}\hline
Variables		& 	$a, b, c, d, e$ sont des variables du type entier\\ 
Initialisation	& $a:= 0\:;\: b := 0\:;\: c := 0\:;\: d := 0 \:;\: e := 0$\\ 
Traitement		& 	Tant que $(a = b)$ ou $(a = c)$ ou $(a = d)$ ou $(a = e)$ ou
$(b = c)$ ou $(b = d)$ ou  $(b = e)$ ou $(c = d)$ ou $(c = e)$ ou $(d = e)$\\ 
				&\hspace{1cm}Début du tant que\\ 
				&\hspace{1.5cm}$a := \text{rand}(1,~50) \:;\: b := \text{rand}(1,~50) $\:;\:\\
				&\hspace{1.5cm} $c := \text{rand}(1,~50) \:;\:d := \text{rand}(1,~50)$\:;\\
				&\hspace{1.5cm} $e := \text{rand}(1,~50)$\\ 
				&\hspace{1cm}Fin du tant que \\
Sortie			& 	Afficher $a$, $b$, $c$, $d$, $e$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme: 

$L_{1} = \{2~;~ 11~;~44~;~2~;~15\} \:;\: L_{2} = \{8, 17,41,34, 6\} ;$ 

$L_{3} = \{12, 17,23,17, 50\} \:;\: L_{4} = \{45, 19,43,21, 18\}$ ? 
		\item Que permet de réaliser cet algorithme concernant la course cycliste ?
	\end{enumerate} 
\item À l'issue d'une étape, on choisit au hasard un coureur parmi les 50~participants. Établir que la probabilité pour qu'il subisse le contrôle prévu pour cette étape est égale à $0,1$. 
\item On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de contrôles subis par un coureur sur l'ensemble des 10 étapes de la course. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ ? Préciser ses paramètres. 
		\item On choisit au hasard un coureur à l'arrivée de la course. Calculer, sous forme décimale arrondie au dix-millième, les probabilités des évènements suivants :
		 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item il a été contrôlé 5 fois exactement; 
\item il n'a pas été contrôlé; 
\item il a été contrôlé au moins une fois.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.\\ 
On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.}

\medskip
 
Pour un coureur choisi au hasard dans l'ensemble des 50 coureurs, on appelle $T$ l'évènement : \og le contrôle est positif \fg, et d'après des statistiques, on admet que $P(T) = 0,05$.
 
On appelle $D$ l'évènement : \og le coureur est dopé \fg.
 
Le contrôle anti-dopage n'étant pas fiable à 100\,\%, on sait que : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97\,\% des cas ; 
\item si un coureur n'est pas dopé, le contrôle est positif dans 1\,\% des cas. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(D)$. 
\item Un coureur a un contrôle positif. Quelle est la probabilité qu'il ne soit pas dopé ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Dans le repère orthonormé \Oijk{} de l'espace, on considère : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ d'équations : 

\[\mathcal{P} \::\: x - y - z - 2 = 0\quad \text{et}\quad \mathcal{P}'\::\: x + y + 3z = 0.\]
 
\item la droite $\mathcal{D}$ ayant pour représentation paramétrique : 

\[\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&	- 3 - 2t \\
y&=& 	2t\\ 
z&=& 1 + 2t
\end{array}\right. \quad t \in \R.\] 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
 
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justifier la réponse. Une justification est attendue pour chaque réponse.

\medskip
 
\textbf{Proposition 1}
 
La droite $\mathcal{D}$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
 
\textbf{Proposition 2}
 
La sphère $\mathcal{S}$ de centre O et de rayon 2 est tangente au plan $\mathcal{P}$.
 
\textbf{Proposition 3 }

L'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ est la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est : 

\[\left\{\begin{array}{l c r}
x&= &1 - \phantom{2}t' \\
y&=	& - 1 -	2t'\\ 
z&=	&t'
\end{array}\right. \quad t' \in \R.\] 
 
\textbf{Proposition 4}
 
Les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$ sont coplanaires. 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

On considère les suites $\left(I_{n}\right)$ et $\left(J_{n}\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par : 

\[I_{n} = \int_{0}^1 	\dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}\:\text{d}x\quad \text{et} \quad  J_{n} = 	\int_{0}^1 	\dfrac{\text{e}^{- nx}}{(1 + x)^2}\:\text{d}x.\] 
 
\begin{enumerate}
\item Sont représentées ci-dessous les fonctions $f_{n}$ définies sur l'intervalle [0~;~1] par 

\[f_{n}(x) =  \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}\]

pour différentes valeurs de $n$ : 

\medskip

\psset{unit=9cm,comma=true,arrowsize=2pt 4}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.1)(1.1,1.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.25pt,subgridwidth=0.15pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,subgriddiv=10](0,0)(1.1,1.2)
\psaxes[Dx=0.1,Dy=0.1](0,0)(0,0)(1.1,1.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.1]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt]{0}{1}{1 1 x add div}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt,linestyle=dotted]{0}{1}{2.71828 x neg exp 1 x add div}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt,linestyle=dotted]{0}{1}{2.71828 x 2 mul  neg exp 1 x add div}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt,linestyle=dotted]{0}{1}{2.71828 x 3 mul neg exp 1 x add div}
\uput[u](0.9,0.53){\blue $f_{0}$}\uput[u](0.9,0.22){$f_{1}$}\uput[u](0.9,0.1){$f_{2}$}\uput[u](0.9,0.02){$f_{3}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(I_{n}\right)$ en expliquant la démarche. 
		\item  Démontrer cette conjecture.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier $n \geqslant 0$ et pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] : 

\[0 \leqslant 	\dfrac{\text{e}^{- nx}}{(1 + x)^2} 	\leqslant \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}\leqslant \text{e}^{- nx}.\]

		\item Montrer que les suites $\left(I_{n}\right)$ et $\left(J_{n}\right)$ sont convergentes et déterminer leur limite.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer, en effectuant une intégration par parties, que pour tout entier $n \geqslant 1$ : 
		
\[I_{n} = \dfrac{1}{n}\left(1 - \dfrac{\text{e}^{- n}}{2} - J_{n} \right).\]
		
		\item En déduire $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} nI_{n}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
\textbf{Partie A \quad Restitution organisée de connaissances}

\medskip
 
Soit $z$ un nombre complexe. On rappelle que $\overline{z}$ est le conjugué de $z$ et que $|z|$ est le module de $z$. On admet l'égalité : $|z|^2 = z\overline{z}$.
 
Montrer que, si $z_{1}$ et $z_{2}$ sont deux nombres complexes, alors $\left|z_{1}z_{2}\right| = \left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right|$.

\bigskip
 
\textbf{Partie B : \quad Étude d'une transformation particulière }

\medskip
 
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on désigne par A et B les points d'affixes respectives $1$ et $- 1$.
 
Soit $f$ la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z \neq 1$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que: 

\[z' = \dfrac{1 - z}{\overline{z} - 1}\] 
 
\begin{enumerate}
\item Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}} = - 2 + \text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'affixe $z_{\text{C}'}$ du point C$'$ image de C par la transformation $f$, et placer les points C et C$'$ dans le repère donné en annexe. 
		\item Montrer que le point C$'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1. 		
		\item Montrer que les points A, C et C$'$ sont alignés.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer et représenter sur la figure donnée en annexe l'ensemble $\Delta$ des points du plan qui ont le point A pour image par la transformation $f$. 
\item Montrer que, pour tout point $M$ distinct de A, le point $M'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$.  
\item Montrer que, pour tout nombre complexe $z \neq 1, \quad \dfrac{z' -1}{z - 1}$ est réel. 

Que peut-on en déduire pour les points A, $M$ et $M'$  ? 
\item On a placé un point D sur la figure donnée en annexe. Construire son image D$'$ par la transformation $f$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
\textbf{Partie A \quad	Restitution organisée de connaissance}

\medskip
 
Soit $a,\: b,\: c,\: d$ des entiers relatifs et $n$ un entier naturel non nul. 

Montrer que si $a \equiv b \pmod n$ et $c \equiv d \pmod n$ alors 

$ac \equiv bd \pmod n$. 

\bigskip

\textbf{Partie B \quad Inverse de 23 modulo 26}

\medskip
 
On considère l'équation 

\[(E) \::\quad  23x - 26y = 1,\]

où $x$ et $y$ désignent deux entiers relatifs.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que le couple $(-9~;~-8)$ est solution de l'équation $(E)$. 
\item Résoudre alors l'équation $(E)$. 
\item En déduire un entier $a$ tel que $0 \leqslant a \leqslant 25$ et 
$23a \equiv 1 \pmod {26}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C \quad Chiffrement de Hill}

\medskip
 
On veut coder un mot de deux lettres selon la procédure suivante :

\medskip
 
\fbox{
\begin{minipage}{\textwidth}
\textbf{Étape 1} Chaque lettre du mot est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous :

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{26}{>{\centering\arraybackslash \scriptsize}X|}}\hline
A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M&N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline
0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On obtient un couple d'entiers $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$ où $x_{1}$ correspond à la première lettre du mot et $x_{2}$ correspond à la deuxième lettre du mot.
 
\textbf{Étape 2} $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$ est transformé en $\left(y_{1}~;~y_{2}\right)$ tel que :

$\left(S_{1}\right)\:\: \left\{\begin{array}{l c l l}
y_{1} &\equiv& 11x_{1} + 3x_{2} &\pmod {26}\\ 
y_{2} &\equiv& 	7x_{1} + 4x_{2} &\pmod {26}
\end{array}\right.\quad  	\text{avec } 0 \leqslant  y_{1} \leqslant 25\:\: \text{et}\:\: 0 \leqslant y_{2} \leqslant 25.$

\textbf{Étape 3} $\left(y_{1}~;~y_{2}\right)$ est transformé en un mot de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance donné dans l'étape 1.
\end{minipage}}

\medskip
 
Exemple : $\underbrace{\text{TE}}_{{\text{mot en clair}}}\stackrel{\text{étape} 1}{\Longrightarrow}   
(19,4) \stackrel{\text{étape}\: 2}{\Longrightarrow} (13,19) \stackrel{\text{étape}\: 3}{\Longrightarrow}
\underbrace{\text{NT}}_{{\text{mot codé}}}$

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Coder le mot ST. 
\item On veut maintenant déterminer la procédure de décodage: 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que tout couple $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$ vérifiant les équations du système $\left(S_{1}\right)$, vérifie les équations du système :

\[\left(S_{2}\right)\:\: \left\{\begin{array}{l c l l}
23x_{1} &\equiv& \phantom{1}4y_{1} + 23y_{2} &\pmod {26}\\ 
23x_{2}&\equiv& 19y_{1} + 11y_{2} &\pmod {26}
\end{array}\right.\]

		\item À l'aide de la partie B, montrer que tout couple $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$ vérifiant les équations du système $\left(S_{2}\right)$, vérifie les équations du système
		 
\[\left(S_{3}\right)\:\: \left\{\begin{array}{l c l l}
x_{1}&\equiv& 	16y_{1} + y_{2} &\pmod {26}\\
x_{2}&\equiv& 11y_{1} + 5y_{2} &\pmod {26}
\end{array}\right.\]
  
		\item Montrer que tout couple $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$  vérifiant les équations du système $\left(S_{3}\right)$, vérifie les équations du système $\left(S_{1}\right)$ 
		\item Décoder le mot \textbf{YJ}. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\newpage
\fbox{Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{EXERCICE 4 }

\vspace{2cm}

\begin{center} 
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-4,-4)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(2,2)
\pscircle[linewidth=1.25pt](0,0){2}
\uput[d](1,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,1){$\vect{v}$}\uput[dl](0,0){O}\uput[dl](-175,-1){$\mathcal{C}$}
\psdots(-1,-0.3)\uput[r](-1,-0.3){D}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}