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\begin{document}
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\rhead{\small A. P{}. M. E. P{}.}
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\thispagestyle{empty} 
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry juin 2000~\decofourright}} \end{center} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{\textsc{ Exercice 1}\hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

Un professeur se trouve en possession de 5 clefs de salles. Il se tient devant une porte et il sait que, parmi ses 5 clefs, 2 n'ouvrent pas la porte parce qu'elles sont défectueuses mais les autres le peuvent. Il veut alors les tester toutes, une à une. Le choix des clefs est effectué au hasard et sans remise. On appelle clef numéro $x$ la clef utilisée au $x$-ième essai.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item On appelle D$_1$ l'évènement : \og La clef numéro 
1 n'ouvre pas la porte \fg. Calculer sa probabilité.
\item On appelle D$_2$ l'évènement : \og La clef numéro 2 n'ouvre 
pas la porte \fg. Calculer la probabilité que l'évènement D$_2$ se réalise, sachant que l'évènement D$_1$ est réalisé.

En déduire la probabilité de l'évènement D$_1$ $\cap$ D$_2$.

On pourra, pour la suite de l'exercice, s'aider d'un arbre 
pondéré. 
\item Quelle est la probabilité de l'évènement :
 \og Les clefs numéros 1 
et 2 ouvrent la porte et la clef numéro 3 ne l'ouvre pas \fg{} ?
\item Pour $1 \leqslant i < j \leqslant 
5$, on note $(i~;~j)$ l'évènement : \og Les clefs qui n'ouvrent pas la porte sont les clefs numéros $i$ et $j$ \fg, et $P(i~;~j)$ la 
probabilité de cet évènement. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(2~;~4)$.
		\item Calculer $P(4~;~5)$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct 
\Ouv~ ; unité graphique 4~cm.
 
On appelle B le point d'affixe i et M$_1$ le point d'affixe : 

\[z_1 = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}(1 - \text{i}).\]
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le module et un argument de $z_1$.
\item Soit $M_2$ le point d'affixe $z_2$, image de 
$M_1$ par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
 
Déterminer le module et un argument de $z_2$. 

Montrer que le point $M_2$ est un point de la droite $(D)$ d'équation $y = x$. 
\item Soit $M_3$ le point d'affixe $z_3$, image de 
$M_2$ par l'homothétie de centre O et de rapport $\sqrt{3} + 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $z_3 = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2} (1 + \text{i}).$
		\item Montrer que les points $M_1$ et $M_3$ sont situés sur le cercle de centre B et de rayon $\sqrt{2}$. 
	\end{enumerate} 
\item Construire, à la règle et au compas, les points $M_1,~ M_2$ et $M_3$ en utilisant les questions précédentes ; on précisera les différentes étapes de la construction.
\item À tout point $M$ du plan d'affixe $z$ (distinct de B), on associe 
le point $M'$, d'affixe $Z$ telle que $Z = \dfrac{1}{\text{i} - z}$.

Déterminer et construire l'ensemble (E) des points $M$ du plan ($M$ distinct de B) tels que $M'$ appartienne au cercle de centre O et de rayon 1. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textsc{ Exercice 2}\hfill 5 points

\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul.
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour $1 \leqslant n \leqslant 6$, calculer 
les restes de la division euclidienne de $3^n$ par 7. 
		\item Démontrer que, pour tout $n,~ 3^{ n + 6} - 3^n$ est divisible par 7.		 
En déduire que $3^n$ et $3^{ n + 6}$ ont le màªme reste dans la division par 7. 
		\item à€ l'aide des résultats précédents, calculer le reste de la division euclidienne de $3^{\np{1000}}$ par 7. 
		\item De manière générale, comment peut-on calculer le reste de la division euclidienne de $3^n$ par 7, pour $n$ quelconque ?		 
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n, 3^n$ est premier avec 7. 
	\end{enumerate} 
\item Soit $U_n = 1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1} = \displaystyle\sum_{i=0}^{i=n-1} 3^i$, oà¹ $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à  2.
 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que si $U_{n}$ est divisible par 7, alors $3^n - 1$ est divisible par 7.
		\item Réciproquement, montrer que si $3^n - 1$ est divisible par 7, alors $U_n$ est divisible par 7.
 
En déduire les valeurs de $n$ telles que $U_n$ soit divisible par 7. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points} 

\bigskip 

\textbf{Partie A}

\medskip

$\star$ Étude de la fonction $g ~: ~x \mapsto \ln\left(\dfrac{3 + x}{3 - x}\right)$

\medskip 

Soit la fonction $g$ définie sur $]- 3~;~3[$ par : $g(x) = \ln\left(\dfrac{3 + x}{3 - x}\right)$.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Étudier la parité de la fonction $g$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les limites de $g$ en $- 3$ et en $3$.		 
		\item Étudier le sens de variation de $g$ sur [0~;~3[.
		
Dresser son tableau de variation sur $]- 3~;~3[$. 
	\end{enumerate} 
\item Soit \Oij{} un repère orthonormal d'unité graphique 4 centimètres. Soit ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de la fonction $g$ dans ce repère. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la tangente ($T$) à ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse 0. 
		\item Tracer dans le repère la courbe ($\mathcal{C}$) et sa tangente ($T$). 
	\end{enumerate} 
\item Étudier le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée de la fonction $x \mapsto xg(x)$.		
		\item Calculer l'aire, exprimée en cm$^2$, de la portion de plan délimitée par la courbe ($\mathcal{C}$), l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$. On donnera la valeur exacte de cette aire, puis une valeur approchée au mm$^2$ près. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{ Partie B}

\medskip
 
$\star$ Étude d'une courbe paramétrée

\medskip
 
Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 4~centimètres.
 
Soit la courbe paramétrée ($\Gamma$) définie par : 

\[\left\{ \begin{array}{r c l} 
x(t) & = & t\left(3 - t^2\right)\\ 
y(t) & = & tg(t) 
\end{array}\right. \quad \text{pour}\quad t \in [-2~;~2].\]
 
où $g$ désigne la fonction étudiée dans la partie A. On note $M(t)$ le point de coordonnées 
$(x(t)~;~y (t))$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Comparer d'une part $x(t)$ et $x(- t)$ et d'autre 
par $y(t)$ et $y(- t)$. 
		\item Par quelle transformation peut-on passer de $M(t)$ à $M(- t)$ ?
		 
En déduire que ($\Gamma$) admet un axe de symétrie que l'on précisera. 
	\end{enumerate} 
\item Étudier la fonction $x ~:~ t \mapsto t \left(3 - t^2\right)$ et dresser son tableau de variations sur [0~;~2]. 
\item En utilisant la partie \textbf{A.}, montrer que la fonction 
$t \mapsto y(t)$ est strictement croissante sur l'intervalle [0~;~2]. 
\item Dresser le tableau des variations conjointes des fonctions 
$t \mapsto x(t)$ et $t \mapsto y(t)$ sur [0~;~2].
\item Pour quelles valeurs de $t$ l'abscisse de $M(t)$ est-elle nulle ?
 
Préciser alors les ordonnées des points correspondants de ($\Gamma$).
 
\item Tracé de ($\Gamma$) 
	\begin{enumerate}
		\item Placer, dans le repère \Oij, les points 
M(0), M(1), M$\left(\sqrt{3}\right)$ et M(2) qui correspondent respectivement aux valeurs 0, 1, $\sqrt{3}$ et 2 du paramètre $t$. 
		\item Préciser un vecteur directeur des tangentes à ($\Gamma$) aux points M(0) et M(1) et tracer ces tangentes.		 
		\item Tracer ($\Gamma$). 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}