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\begin{document}
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\lhead{\small A. P{}. M. E. P{}.}
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\lfoot{\small{Pondichéry}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry  3 avril 2006~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dix affirmations, réparties en trois thèmes et numérotées de 1. a à 3. d sont proposées ci-dessous. Le candidat portera sur sa copie, en regard du numéro de l'affirmation, et avec le plus grand soin, la mention VRAI ou FAUX.

Chaque réponse convenable rapporte $0,4$ point. Chaque réponse erronée enlève 0,1 point. Il n'est pas tenu compte de l'absence de réponse. Un éventuel total négatif est ramené à $0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x,~\text{e}^x$ désigne l'image de $x$ par la fonction exponentielle.

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{| l | X|}\hline
Affirmation 1. a& Pour tous les réels $a$ et $b  :  \left(\text{e}^a\right)^b = \text{e}^{\left(a^b\right)}$.\\ \hline
Affirmation 1. b	&\rule[-3mm]{0mm}{9mm} Pour tous les réels $a$ et $b  : \text{e}^{a - b} = \dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^b}$.\\ \hline
Affirmation 1. c &La droite d'équation $y = x + 1$ est la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle en son point d'abscisse 1.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et soit $a$ un élément de I.

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l | X|}\hline
Affirmation 2. a &Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$.\\ \hline
Affirmation 2. b &Si $f$ est continue en $a$, alors $f$ est dérivable en $a$.\\ \hline
Affirmation 2. c & Si $f$ est dérivable en $a$, alors la fonction \\
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $h \mapsto \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ admet une limite finie en $0$.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item On considère deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies sur $\N$.

\medskip

%\renewcommand{\arraystretch}{1.9}
\begin{tabularx}{\linewidth}{| l | X|}\hline
Affirmation 3. a&	Si $\lim u_{n} = +\infty$  et si $\lim v_{n} = -\infty$ alors $\lim \left(u_{n} + v_{n}\right) =0$.\\ \hline
Affirmation 3. b&Si $\left(u_{n}\right)$ converge vers un réel non nul et si $\lim v_{n} = +\infty$, \\
&alors la suite	$\left(u_{n,~} \times v_{n}\right)$ ne converge pas.\\ \hline
Affirmation 3. c &Si $\left(u_{n}\right)$ converge vers un réel non nul, si $\left(v_{n}\right)$ est positive \\
& et si $\lim v_{n} = 0$, alors la suite $\left(\dfrac{u_{n}}{v_{n}}\right)$ ne converge pas.\rule[-4mm]{0mm}{10mm}\\ \hline
Affirmation 3. d&\rule[-4mm]{0mm}{10mm}	Si $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ convergent alors la suite $\left(\dfrac{u_{n}}{v_{n}}\right)$ 	converge.\\ \hline
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra pour unité graphique 5 cm.

On pose $z_{0}=2$ et, pour tout entier naturel $n,~ z_{n+1} = \dfrac{1 + \text{i}}{2}z_{n}$. On note $A_{n}$ le point du plan d'affixe $z_{n}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $z_{1},~z_{2},~z_{3},~z_{4}$ et vérifier que $z_{4}$ est un nombre réel.

Placer les points A$_{0}$,~A$_{1}$,~A$_{2}$,~A$_{3}$ et A$_{4}$ sur une figure.
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_{n} =\left|z_{n}\right|$.

Justifier que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel $n,$

\[u_{n} = 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n.\]

\item À partir de quel rang $n_{0}$ tous les points $A_{n}$ appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1 ?
\item
	\begin{enumerate}
		\item Établir que, pour tout entier naturel $n,~\dfrac{z_{n+1}- z_{n}}{z_{n+1}} = \text{i}$.
		
En déduire la nature du triangle O$A_{n}A_{n+1}$. 
		\item Pour tout entier naturel $n$, on note $\ell_{n}$ la longueur de la ligne brisée\\ $A_{0}A_{1}A_{2}\ldots A_{n-1}A_{n}$.
		
On a ainsi : $\ell_{n} = A_{0}A_{1}+ A_{1}A_{2} +\ldots +  A_{n-1}A_{n}$.

Exprimer $\ell_{n}$ en fonction de $n$. Quelle est la limite de la suite $\left(\ell_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Candidat ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 5~cm pour unité graphique.

Soit $f$ la transformation qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par :

\[z' = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right)z + 1.\]

\begin{enumerate}
\item Justifier que $f$ est une similitude directe dont on précisera le centre $\Omega$ (d'affixe $\omega$), le rapport $k$ et l'angle $\theta$.
\item On note $A_{0}$ le point O et, pour tout entier naturel $n$, on pose $A_{n+1} = f(A_{n})$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les affixes des points $A_{1}~A_{2},~A_{3}$ puis placer les points $A_{0},~A_{1},~A_{2}$ et $A_{3}$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_{n} = \Omega A_{n}$. Justifier que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel $n,$

\[ u_{n} = \sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n.\]

		\item À partir de quel rang $n_{0}$ tous les points $A_{n}$ appartiennent-ils au disque de centre $\Omega$ et de rayon $0,1$ ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est  la nature du triangle $\Omega A_{0}A_{1}$ ?
		
En déduire, pour tout entier naturel $n$, la nature du triangle $\Omega A_{n}A_{n+1}$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, on note $\ell_{n}$ la longueur de la ligne brisée 

$A_{0}A_{1}A_{2}\ldots A_{n-1}A_{n}$.
On a ainsi : $\ell_{n} = A_{0}A_{1}+ A_{1}A_{2} +\ldots +  A_{n-1}A_{n}$.
Exprimer $\ell_{n}$ en fonction de $n$. Quelle est la limite de la suite $\left(\ell_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.

\begin{center} \textbf{Partie A}

(cette partie constitue une restitution organisée de connaissances)\end{center}

Soit $a, b, c$ et $d$ des réels tels que $(a,~b,~c) \neq (0,~0,~0)$.

Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$.

On considère le point $I$ de coordonnées $\left(x_{I},~y_{I},~z_{I}\right)$ et le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(a,~b,~c)$.

Le but de cette partie est de démontrer que la distance de $I$ au plan $\mathcal{P}$ est égale à $\dfrac{\left|ax_{I} + by_{I} + cz_{I} + d\right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $\Delta$ la droite passant par $I$ et orthogonale au plan $\mathcal{P}$.

Déterminer, en fonction de $a,~b,~c,~x_{I},~y_{I}$ et $z_{I}$, un système d'équations paramétriques de $\Delta$.
\item On note $H$ le point d'intersection de $\Delta$ et $\mathcal{P}$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'il existe un réel $k$ tel que $\vect{IH} = k\vect{n}$.
		\item Déterminer l'expression de $k$ en fonction de $a,~ b,~  c,~ d,~x_{I},~y_{I}$ et $z_{I}$.
\item En déduire que $IH = \dfrac{\left|ax_{I} + by_{I} + cz_{I} + d\right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie B} \end{center}

Le plan $\mathcal{Q}$ d'équation $x - y + z - 11 = 0$ est tangent à une sphère $\mathcal{S}$ de centre le point $\Omega$ de coordonnées $(1,~-1,~3)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le rayon de la sphère $\mathcal{S}$.
\item Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $\Delta$ passant par $\Omega$ et orthogonale au plan $\mathcal{Q}$
\item En déduire les coordonnées du point d'intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et du plan $\mathcal{Q}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Les parties A et B sont indépendantes.

Un laboratoire de recherche étudie l'évolution d'une population animale qui semble en voie de disparition.

\begin{center}\textbf{Partie A} \end{center}

En 2000, une étude est effectuée sur un échantillon de cette population dont l'effectif initial est égal à mille.

Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en milliers d'individus, est approché par une fonction $f$ du temps $t$ (exprimé en années à partir de l'origine 2000).

D'après le modèle d'évolution choisi, la fonction $f$ est dérivable, strictement positive sur $[0~;~+\infty[$, et satisfait l'équation différentielle :

\[(\text{E})\qquad y' = - \dfrac{1}{20}y(3 - \ln y).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer l'équivalence suivante :
une fonction $f$, dérivable, strictement positive sur $[0~;~+\infty[$, vérifie, pour tout $t$ de $[0~;~+\infty[$,

$f'(t) = - \dfrac{1}{20}f(t)[3 - \ln\left(f(t)\right)]$ si et seulement si la fonction $g =\ln (f)$ vérifie, pour tout $t$ de $[0~;~+\infty[, \: g'(t) = \dfrac{1}{20}g (t) - \dfrac{3}{20}$.
\item Donner la solution générale de l'équation différentielle :

\[(\text{H})\qquad  z' = \dfrac{1}{20}z - \dfrac{3}{20}.\]
\item En déduire qu'il existe un réel $C$ tel que, pour tout $t$ de $[0~;~+\infty[$
\[f(t) = \text{exp}\left[3 + C \text{exp}\left(\dfrac{t}{20}\right)\right].\]
(la notation exp désigne la fonction exponentielle naturelle $x  \mapsto  \text{e}^x$).
\item La condition initiale conduit donc à considérer la fonction $f$ définie par :

\[f(t) = \text{exp}\left[3 - 3 \text{exp}\left(\dfrac{t}{20}\right)\right].\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
		\item Déterminer le sens de variation de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
		\item Résoudre dans $[0~;~+\infty[$ l'inéquation  $f(t) < 0,02$.

Au bout de combien d'années, selon ce modèle, la taille de l'échantillon sera-t-elle inférieure à vingt individus ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie B} \end{center}

En 2005, ce laboratoire de recherche met au point un test de dépistage de la maladie responsable de cette disparition et fournit les renseignements suivants : \og La population testée comporte 50\,\% d'animaux malades. Si un animal est malade, le test est positif dans 99\,\% des cas ; si un animal n'est pas malade, le test est positif dans 0,1\,\% des cas \fg.

\medskip

On note $M$ l'évènement \og l'animal est malade \fg, $\overline{M}$ l'évènement contraire et $T$ l'évènement \og le test est positif \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $P(M),\:P_{M}(T),\: P_{\overline{M}}(T)$.
\item En déduire $P(T)$.
\item Le laboratoire estime qu'un test est fiable, si sa valeur prédictive, c'est-à-dire la probabilité qu'un animal soit malade sachant que le test est positif, est supérieure à $0,999$. Ce test est-il fiable ?
\end{enumerate}
%Lycée Français de Pondichéry	Mise à disposition Dimitri Jacquier-roux
\end{document}