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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{avril 1998}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~ Baccalauréat S Pondichéry avril 1998~\decofourright }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1  \hfill 4 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On dispose d'une urne U$_{1}$ contenant trois boules rouges
et sept boules noires.

On extrait simultanément deux boules de
cette urne ; on considère que tous les tirages sont équiprobables.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité $p_{1}$ que les deux boules tirées soient rouges ?
		\item Quelle est la probabilité $p_{2}$ que les deux boules tirées soient noires ?
		\item Quelle est la probabilité $p_{3}$ que les deux boules tirées soient de même couleur ?
		\item Quelle est la probabilité $p_{4}$ que les deux boules tirées soient de couleurs différentes ?
	\end{enumerate}
\item On dispose aussi d'une deuxième urne U$_{2}$ contenant quatre boules rouges et six boules noires.

On tire maintenant deux boules de l'urne U$_{1}$ et une boule de l'urne U$_{2}$ ; on suppose que tous les tirages sont équiprobables.

On considère les évènements suivants :

$R$ : \og Les trois boules tirées sont rouges \fg

$D$ : \og Les trois boules tirées ne sont pas toutes de la même couleur \fg

$B$ : la boule tirée dans l'urne U$_{2}$ est rouge \fg.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $R$.
		\item Quelle est la probabilité de tirer trois boules de
même couleur ?
		\item Calculer la probabilité conditionnelle 
$p_{D}$(B) de l'évènement B sachant que l'évènement $D$ est réalisé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

On considère le polynôme P$(z)=z^{4}+17\,z^{2}-28\,z+260$, où $z$
est un nombre complexe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer deux nombres réels $a$ et $b$ tels que :

\[\mathrm{P}(z) = \left(z^{2}+ az + b\right)\left(z^{2} + 4z + 20\right).\]

\item Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation P$(z) = 0$.
\item Placer dans un repère orthonormal direct \Ouv, les images M,\: N,
P et Q des nombres complexes respectifs $m=-2+4\text{i},\;n=-2-4\text{i},
\;p=2+3\text{i}$ et $q=2-3\text{i}$.
\item[\textbf{4.}]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre complexe $z$ vérifiant
$\displaystyle\frac{z-p}{z-m}= \text{i}$. Placer son image K.
		\item En déduire que le triangle MPK est isocèle
rectangle en K.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer par le calcul l'affixe du point L,
quatrième sommet du carré MKPL.
		\item Déterminer l'abscisse du point d'intersection R de la
droite (KL) et de l'axe des abscisses.
		\item Montrer que M, N, P et Q sont sur un même cercle de
centre R.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, d'unité
graphique 4 cm, on note A le point d'affixe 1, B le point d'affixe i, (C)
le cercle de centre O et de rayon 1 et (D) la droite d'équation $y = 1$.

À tout point $M$ du plan, d'affixe $z$ distincte de i, on associe le point $M'$
d'affixe $z'$, telle que 

\[z' = \dfrac{z - \text{i}}{\overline{z} + \text{i}}\]

où $\overline{z}$ désigne le conjugué de $z$.
\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$, avec $z$ distinct de i,
tels que $z' = 1$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $z$ distinct de i, $z'\overline{z}' = 1$.
		
Interpréter géométriquement ce résultat.
		\item Montrer que, pour tout point $M$ n'appartenant pas à la droite (D),
$\dfrac{z' - 1}{z - \text{i}}$ est un imaginaire pur.

En déduire que les droites (A$M'$) et (B$M$) sont perpendiculaires.
		\item Déduire des questions 2. a. et b. une construction du point $M'$
lorsque $M$ est un point non situé sur la droite (D).
		
Préciser la position du point $M'$ lorsque $M$ appartient à la droite (D)
privée du point B.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit P un point du cercle (C), distinct du point A.
		
En utilisant la question 2. b., représenter l'ensemble $E$ des points $M$ tels
que $M' =$ P.
		\item Résoudre dans $\C$ l'équation $z^3 = 1$.
		\item En utilisant ce qui précède, et sans aucun calcul, représenter l'ensemble
$F$ des points $M$ dont les affixes $z$ sont les solutions dans $\C$ de
l'équation : $\left(\dfrac{z - \text{i}}{\overline{z} + \text{i}}\right)^3 = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 11 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par

\[f(x)=\dfrac{\text{e}^{x}-1}{x\text{e}^{x}+1}\]

On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté
à un repère orthonormal \Oij{}
; unité graphique : 4~cm.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\textbf{$\star$} \textbf{étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par

\[g(x) = x + 2 - \text{e}^{x}.\]

\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de $g$ sur $[0~;~+\infty[$ et déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
\item[\textbf{2.}]
\begin{enumerate}
\item [\textbf{a.}]Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution et
une seule dans $[0~;~+\infty[$.

On note $\alpha$ cette solution.
\item Prouver que $1,14 < \alpha<1,15$.
\end{enumerate}
\item En déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de
$x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B} 

\medskip

\textbf{$\star$} \textbf{Étude de la fonction $f$ et tracé de la courbe $\mathcal{C}$}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à
$[0~;~+\infty[$,

\[f\,^{\prime}(x)=\frac{\text{e}^{x}g(x)}{(x\text{e}^{x}+1)^{2}}.\]
\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur
$[0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item [\textbf{a.}]Montrer que pour tout réel positif $x$,
\[
f(x)=\frac{1- \text{e}^{-x}}{x+\text{e}^{-x}}%
\]
		\item[\textbf{b.}] En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
Interpréter graphiquement le résultat trouvé.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Établir que $f(\alpha) = \displaystyle\frac{1}{\alpha+
1}$.
		\item En utilisant l'encadrement de $\alpha$ établi dans la
question \textbf{A.2.}, donner un encadrement de $f(\alpha)$ d'amplitude
$10^{-2}$. 
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente (T) à la
courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Établir que, pour tout $x$ appartenant à
l'intervalle $[0~;~+\infty[$,

\[f(x)-x=\frac{(x+1)\,u(x)}{x\text{e}^{x}+1}\quad \text{avec}\: u(x) = \text{e}^{x} - x\text{e}^{x}-1.
\]
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $u$ sur
l'intervalle $[0~;~+\infty[$. En déduire le signe de $u(x)$.
		\item Déduire des questions précédentes la position
de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite (T).
	\end{enumerate}
\item Tracer $\mathcal{C}$ et (T).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\textbf{$\star$} \textbf{Calcul d'aire et étude d'une suite}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive F de $f$ sur $[0~;~+\infty[$ ; on pourra utiliser l'expression de $f(x)$ établie dans la question \textbf{B. 2.}
\item On note $\mathcal{D}$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la tangente (T) et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.

Calculer, en cm$^{2}$, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$.

Donner une valeur décimale au mm$^{2}$ près de l'aire $\mathcal{A}$.
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose

\[v_{n} = \int_{n}^{n+1}f(x)\:\text{d}x \]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $v_{0}$, $v_{1}$ et $v_{2}$.
		
On donnera des valeurs décimales approchées à 10$^{-2}$ près de $v_{0}$,\:$v_{1}$ et $v_{2}$.
		\item Interpréter graphiquement $v_{n}$.
		\item Montrer que, pour tout $n\geqslant2,\quad$%

\[f(n+1)\leqslant\int_{n}^{n+1}f(x)\:\textrm{d}x\leqslant f(n)\]

En déduire la monotonie de la suite $(v_{n})$ à partir de $n = 1$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}