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% Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry avril 2003~\decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\medskip

On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par :

\[u_0 = a,\:\text{et,~pour tout entier}\: n,\: u_{n+1} = u_n \left(2 - 
u_n\right)\]

où $a$ est un réel donné tel que $0 < a < 1$.

\begin{enumerate}
\item On suppose dans cette question que $a = \dfrac{1}{8}$
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
		\item Dans un repère orthonormal (unité graphique 8~cm), tracer, sur l'intervalle [0~;~2], la droite (d) d'équation $y = x$ et la courbe $(\Gamma)$ représentative de la fonction : $f~: x \mapsto x(2 - x)$.
		\item Utiliser (d) et $(\Gamma)$ pour construire sur l'axe des abscisses les points A$_1$,~A$_2$,~A$_3$ d'abscisses respectives $u_1,~u_2,~u_3$.
	\end{enumerate}
\item On suppose dans cette question que $a$ est un réel quelconque de l'intervalle ]0~;~1[.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer par récurrence que, pour tout entier $n,~0 < u_n < 1$.
		\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
		\item Que peut-on en déduire ?
	\end{enumerate}
\item On suppose à nouveau dans cette question que $a = 
\dfrac{1}{8}$.

On considère la suite numérique $\left(v_n\right)$ définie sur $\N$ par :

\[v_n = 1 - u_n.\]

	\begin{enumerate}
		\item Exprimer, pour tout entier $n,~v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
		\item En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer la limite de la suite $(v_n)$, puis celle de la suite 
		$\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip

On considère dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation 
suivante :

\[\text{(E)}\quad z^3 + 2z^2 - 16 = 0.\]

\begin{enumerate} 
\item Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E) peut s'écrire sous la forme : $(z - 2)\left(az^2 + bz + c\right) = 0$, où $a,~b$  et $c$ sont trois réels que l'on déterminera.
\item En déduire les solutions de l'équation (E) sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.
\end{enumerate}

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Oij.

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B et D d'affixes 
respectives

\[z_{\text{A}} = - 2 - 2\text{i},~z_{\text{B}} = 2 \quad \text{et} 
\quad z_{\text{D}} = - 2 + 2\text{i}.\]

\item  Calculer l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C tel 
que ABCD soit un parallélogramme. Placer C.
\item Soit E l'image de C par la rotation de centre B et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ et F l'image de C par la rotation de centre D et d'angle  $\dfrac{\pi}{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les affixes des points E et F, notées $z_{\text{E}}$ 
et $z_{\text{F}}$.
		\item Placer les points E et F.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que : $\dfrac{z_{\text{F}} - 
z_{\text{A}}}{z_{\text{E}} - z_{\text{A}}} = \text{i}$.
		\item En déduire la nature du triangle AEF.
	\end{enumerate}
\item Soit I le milieu de [EF]. Déterminer l'image du triangle EBA par la rotation de centre I et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}

\medskip

\textbf{Première partie}

ABC est un triangle direct du plan orienté.

On désigne respectivement par I, J et K les milieux de 
[AB], [BC] et [CA].

Soit $\alpha$ un réel qui conduit à la réalisation de la figure 
jointe sur laquelle on raisonnera. Cette figure sera jointe à la copie.

d$_{1}$ est l'image de la droite (AB) par la rotation de 
centre I et d'angle $\alpha$.

d$_{2}$ est l'image de la droite (BC) par la rotation de 
centre J et d'angle $\alpha$.

d$_{3}$ est l'image de la droite (CA) par la rotation de 
centre K et d'angle $\alpha$.

A$_{1}$ est le point d'intersection de d$_{1}$ et d$_{3}$, 
B$_{1}$ celui de d$_{1}$ et d$_{2}$ et C$_{1}$ celui de d$_{2}$ et 
d$_{3}$.

\begin{enumerate}
\item On appelle H le point d'intersection de (BC) et 
d$_{1}$. Montrer que les triangles HIB et HB$_{1}$J sont semblables.
\item En déduire que les triangles ABC et A$_{1}$B$_{1}$C$_{1}$ sont semblables.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct \Ouv.

\textbf{A - Construction de la figure}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Placer les points A($- 4 - 6\text{i}$), B(14), 
C($-4 + 6\text{i}$), A$_{1}(3 - 7\text{i}$), B$_{1}(9 + 5\text{i}$) 
et C$_{1}(- 3 - \text{i}$).
\item Calculer les affixes des milieux I, J et K des 
segments [AB], [BC] et [CA]. Placer ces points sur la figure.
\item Montrer que A$_{1}$, I, B$_{1}$ sont alignés.

\emph{On admettra que } B$_{1}$, J, C$_{1}$ \emph{d'une 
part et} C$_{1}$, K, A$_{1}$ \emph{d'autre part sont alignés.}
\item  Déterminer une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{\text{IB}},~\vect{\text{IB}_{1}} \right)$.

\emph{On admettra que} 
$\left(\vect{\text{KA}},~\vect{\text{KA}_{1}} \right) = \dfrac{\pi}{4}$ \emph{et que} 
$\left(\vect{\text{JC}},~\vect{\text{JC}_{1}} \right) = \dfrac{\pi}{4}$.
\item Quelle est l'image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B - Recherche d'une similitude directe transformant 
ABC en A$_{1}$B$_{1}$C$_{1}$}

\medskip

On admet qu'il existe une similitude directe $s$ transformant 
les points A,  B et  C en A$_{1}$, B$_{1}$ et C$_{1}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que l'écriture complexe de $s$ est 
$z' = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right)z + 2 - 
2\text{i}$, où $z$ et $z'$ désignent respectivement les affixes d'un 
point et de son image par $s$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le rapport et l'angle de $s$.
		\item Déterminer l'affixe du centre $\Omega$ de $s$.
	\end{enumerate}
\item Que représente le point $\Omega$ pour ABC ?
\end{enumerate}

\vspace{2cm}

\begin{center}Le candidat joindra cette figure à sa copie

\vspace{0,8cm}

\psset{unit=0.75cm}\begin{pspicture}(14,11)
\psline(3,3.8)(11.3,3.8)(5.1,9.65)(3,3.8)
\psline(0,1.1)(14,6.3)
\psline(14,4.2)(0,10.2)
\psline(4.2,0)(4.2,11)
\uput[dl](3,3.8){A} \uput[dr](11.3,3.8){B} \uput[u](5.1,9.65){C}
\uput[dl](4.2,2.7){A$_{1}$} \uput[u](11.4,5.3){B$_{1}$} 
\uput[ul](4.2,8.5){C$_{1}$}
\uput[d](7.15,3.8){I} \uput[ur](8.2,6.725){J} 
\uput[l](4.2,6.9){K} \uput[u](13,6){d$_{1}$} 
\uput[u](2,9.2){d$_{2}$} \uput[r](4.2,1){d$_{3}$}
\psarc(7.15,3.8){1.1}{0}{21} \psarc(8.2,6.725){1}{139}{162}
\psarc(4.2,6.725){1}{246}{270}
\uput[u](8.45,3.7){$\alpha$} \uput[u](7.2,7){$\alpha$} 
\uput[u](3.8,5){$\alpha$}
\end{pspicture} \end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

\medskip

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = x^2 \text{e}^{x - 1} - \dfrac{x^2}{2}.\]

Le graphique ci-dessous est la courbe représentative de 
cette fonction telle que l'affiche une calculatrice dans un repère 
orthonormal.

\medskip

\parbox[l]{0.64\textwidth}{\textbf{Conjectures}

À l'observation de cette courbe, quelles conjectures pensez-vous 
pouvoir faire concernant

\textbf{a.} le sens de variations de $f$ sur [$-3$~;~ 2] ?

\textbf{b.} la position de la courbe par rapport à l'axe $(x'x)$ ?}
\hfill 
\parbox[r]{0.32\textwidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.,-1.5)(2.25,1.5)
\psline(-2,0)(2.25,0) \psline(0,-1.5)(0,1.5)
\psframe(-2.,-1.5)(2.25,1.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.843}{1.313}{x dup mul 2.71828 x 1 sub exp mul x dup mul 2 div sub}
\psline(-2,0)(-2,0.2) \psline(-1,0)(-1,0.2) \psline(1,0)(1,0.2) \psline(2,0)(2,0.2) \end{pspicture}}

\medskip

Dans la suite de ce problème, on se propose de valider ou non ces conjectures et de les compléter.

\medskip

\textbf{Partie A : contrôle de la première conjecture}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$, et 
l'exprimer à l'aide de l'expression $g(x)$ où $g$ est la fonction 
définie sur $\R$ par $g(x) = (x + 2)\text{e}^{x - 1} - 1$.
\item Étude du signe de $g(x)$ pour $x$ réel.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les limites de $g(x)$ quand $x$ tend vers $+ 
\infty$, puis quand $x$ tend vers $- \infty$.
		\item Calculer $g'(x)$ et étudier son signe suivant les valeurs 
de $x$.
		\item En déduire le sens de variations de la fonction $g$, puis 
dresser son tableau de variations.
		\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ possède une unique 
solution dans $\R$. On note $\alpha$ cette solution. Montrer que 
$0,20 < \alpha < 0,21$.
		\item Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
	\end{enumerate}
\item Sens de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier, suivant les valeurs de $x$, le signe de $f'(x)$.
		\item En déduire le sens de variations de la fonction $f$.
		\item Que pensez-vous de votre première conjoncture ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : contrôle de la deuxième conjoncture}

\medskip

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans 
un repère orthonormal \Oij.

On se propose de contrôler la position de la courbe par rapport  à
l'axe $(x'x)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f(\alpha) = \dfrac{-\alpha 
^3}{2(\alpha + 2)}$.
\item On considère la fonction $h$ définie sur 
l'intervalle [0~;~1] par $h(x) = \dfrac{- x^3}{2(x + 2)}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $h'(x)$ pour $x$ élément de [0~;~1], puis 
déterminer le sens de variations de $h$ sur [0~;~1].
		\item En déduire un encadrement de $f(\alpha)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les abscisses des points 
d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe $(x'x)$.
		\item Préciser alors la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à l'axe des abscisses.
		\item Que pensez-vous de votre deuxième conjecture ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : tracé de la courbe}

\medskip

Compte tenu des résultats précédents, on se propose de tracer la 
partie $\Gamma$ de $\mathcal{C}$ correspondant à l'intervalle 
$[-0,2~;~0,4]$, dans le repère orthonormal \Oij{} avec les unités suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item sur l'axe des abscisses 1 cm représentera 0,05.
\item sur l'axe des ordonnées 1 cm représentera 0,001.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate} 
\item Recopier le tableau suivant et compléter 
celui-ci à l'aide de la calculatrice en indiquant les valeurs 
approchées sous la forme $n \times 10^{-4}$ ($n$ entier relatif).

\begin{center}
\hspace{-0,5cm} {\small $\begin{array}{|l|*{13}{c|}}\hline
x & -0,2 & -0,15 & -0,1 & -0,05 &0 & 0,05 & 0,1 & 0,15 & 0,2 & 0,25 & 
0,3 & 0,35 & 0,4\\ \hline
f(x) & & & & & & & & & & & & & \\ \hline
\end{array}$}
\end{center}
\item Tracer alors $\Gamma$ dans le repère choisi.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D : calcul d'aire}

\medskip

On désire maintenant calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}$ 
délimité par la courbe $\Gamma$, l'axe des abscisses, l'axe des 
ordonnées et la droite d'équation $x = 1 - \ln 2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide d'une double intégration par parties, 
déterminer une primitive sur $\R$ de la fonction :

\[x \mapsto x^2\text{e}^x.\]

\item En déduire une primitive $F$ sur $\R$ de la 
fonction $f$.
\item Calculer alors, en unités d'aire, l'aire du 
domaine $\mathcal{D}$ puis en donner une valeur approchée en cm$^2$.
\end{enumerate}
\end{document}