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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{13 avril 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry 13 avril 2011~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

Le sujet est composé de 3 exercices indépendants.

Le candidat doit traiter tous les exercices.

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 10 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Partie I

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ représentatives de deux fonctions $f_{1}$ et $f_{2}$ définies sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 

\medskip

\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1.1)(5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,-1)(5,3.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.5,-1)(5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=8000,linecolor=blue]{0.26}{5}{1 x div}
\uput[u](4.2,2.4){\red$\mathcal{C}_{1}$}
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=8000,linecolor=red]{0.135}{5}{x ln 1  add}
\uput[u](4.2,0.3){\blue $\mathcal{C}_{2}$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

On sait que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item l'axe des ordonnées est asymptote aux courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$
\item l'axe des abscisses est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_{2}$
\item la fonction $f_{2}$ est continue et strictement décroissante sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$
\item la fonction $f_{1}$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$
\item la limite quand $x$ tend vers $+\infty$ de $f_{1}(x)$ est $+ \infty$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\emph{Pour chacune des quatre questions de cette partie, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse juste rapporte 0,5 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'est pas sanctionnée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La limite quand $x$ tend vers $0$ de $f_{2}(x)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}
$0$& $+ \infty$&On ne peut pas conclure\\
\end{tabularx}

\medskip

\item La limite quand $x$ tend vers $+ \infty$ de $f_{2}(x)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}
$0$& $0,2$& On ne peut pas conclure\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item En $+ \infty$, $\mathcal{C}_{1}$ admet une asymptote oblique :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}
Oui& Non& On ne peut pas conclure\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Le tableau de signes de $f_{2}(x) - f_{1}(x)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
\psset{xunit=1cm,yunit=1.2cm}\begin{pspicture}(4.1,1)
\psframe(4.1,1)\psline(0,0.5)(4.1,0.5)\psline(2,0)(2,1)
\uput[u](1,0.5){$x$}\uput[u](2.15,0.5){0}\uput[u](3.7,0.5){$+ \infty$}
\uput[u](1,0){\small$f_{2}(x) - f_{1}(x)$}\psline(2.1,0)(2.1,0.5)\psline(2.15,0)(2.15,0.5) \uput[u](3,0){$+$}\end{pspicture}&\psset{xunit=1cm,yunit=1.2cm}\begin{pspicture}(4.1,1)
\psframe(4.1,1)\psline(0,0.5)(4.1,0.5)\psline(2,0)(2,1)
\uput[u](1,0.5){$x$}\uput[u](2.15,0.5){0}\uput[u](3.7,0.5){$+ \infty$}
\uput[u](1,0){\small$f_{2}(x) - f_{1}(x)$}\psline(2.1,0)(2.1,0.5)\psline(2.15,0)(2.15,0.5) \uput[u](3,0){$-$}\end{pspicture}&\psset{xunit=1cm,yunit=1.2cm}\begin{pspicture}(4.1,1)
\psframe(4.1,1)\psline(0,0.5)(4,0.5)\psline(2,0)(2,1)
\uput[u](1,0.5){$x$}\uput[u](2.15,0.5){0}\uput[u](3.7,0.5){$+ \infty$}
\uput[u](1,0){\small$f_{2}(x) - f_{1}(x)$}\psline(2.1,0)(2.1,0.5)\psline(2.15,0)(2.15,0.5) \uput[u](2.75,0){$+$}\uput[u](3,0){$0$}\uput[u](3.5,0){$-$}\end{pspicture}\\
\end{tabularx}

\medskip 

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par 

\[f(x) = \ln (x) + 1 - \dfrac{1}{x}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\item En déduire le signe de $f(x)$ lorsque $x$ décrit l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\item Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par

$F(x) = x \ln x - \ln x$ est une primitive de la fonction $f$ sur cet intervalle.
\item Démontrer que la fonction $F$ est strictement croissante sur l'intervalle $]1~;~ +\infty[$.
\item Montrer que l'équation $F(x) = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$ admet une unique solution dans l'intervalle $]1~;~+\infty[$ qu'on 
note $\alpha$.
\item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie III}

\medskip

Soit $g$ et $h$ les fonctions définies sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par :

\[g(x) = \dfrac{1}{x}\quad \text{et} \quad  h(x) = \ln (x) + 1.\] 

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{C}_{h}$ représentatives des fonctions $g$ et $h$.

\medskip

\psset{unit=2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1.1)(5,3.5)

\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(-0.5,-1)(5,3.5)
\uput[dl](0,0){O}\uput[ul](0.3679,0){A}\uput[u](1,1){P}\uput[d](2.4,0){$t$}
\pscustom[fillstyle=hlines,linecolor=white,linewidth=0.0pt]
{% 
\psplot{1}{2.4}{x ln 1 add} % courbe du haut
\psplot{2.4}{1}{1 x div}
}
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,linecolor=blue]{0.284}{5}{1 x div}
\uput[u](4.2,2.4){\red $\mathcal{C}_{h}$}
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,linecolor=red]{0.137}{5}{x ln 1  add}
\uput[u](4.2,0.3){\blue $\mathcal{C}_{g}$}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,linecolor=blue]{0.3679}{1}{1 x div}
\uput[u](4.2,2.4){$\mathcal{C}_{h}$}
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,linecolor=red]{1}{0.3679}{x ln 1  add}}
\psline[linestyle=dashed](2.4,0)(2.4,1.875)
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,linecolor=red]{1}{0.3679}{x ln 1  add}
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,linecolor=blue]{0.3679}{1}{1 x div}
\psline(0.368,0)(0.368,2.71828)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,-1)(5,3.5)
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item A est le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_{h}$ et de l'axe des abscisses. Déterminer les coordonnées du point A.
\item P est le point d'intersection des courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{C}_{h}$. Justifier que les coordonnées du point P sont (1 ; 1).
\item On note $\mathcal{A}$ l'aire du domaine délimité par les courbes $\mathcal{C}_{g}$, $\mathcal{C}_{h}$ et les droites d'équations respectives 
$x = \dfrac{1}{\text{e}}$ et $x = 1$ (domaine grisé sur le graphique).
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer l'aire $\mathcal{A}$ à l'aide de la fonction $f$ définie dans la partie II.  
		\item Montrer que $\mathcal{A} = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $t$ un nombre réel de l'intervalle $]1~;~ +\infty[$. On note $\mathcal{B}_{t}$ l'aire du domaine délimité par les droites d'équations respectives $x = 1,~ x = t$ et les courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{C}_{h}$ (domaine hachuré sur le graphique).
 
On souhaite déterminer une valeur de $t$ telle que $\mathcal{A} = \mathcal{B}_{t}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\mathcal{B}_{t} = t\ln (t) - \ln (t)$.
		\item Conclure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

Dans cette partie, ABCD est un tétraèdre régulier, c'est-à-dire un solide dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux.

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,7)
\uput[u](3.4,6.7){A}\uput[l](0.3,1.2){B}\uput[d](5,0.1){C}\uput[ur](6.8,2.9){D}
\uput[dl](4.2,1.3){A$'$}
\pspolygon(6.8,2.9)(3.4,6.7)(0.3,1.2)(5,0.1)(6.8,2.9)
\psline(3.4,6.7)(5,0.1)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=2pt](3.4,6.7)(4.2,1.3)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=2pt](0.3,1.2)(6.8,2.9)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

A$'$ est le centre de gravité du triangle BCD.

Dans un tétraèdre, le segment joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée est appelé médiane. Ainsi, le segment [AA$'$] est une médiane du tétraèdre ABCD.

\begin{enumerate}
\item On souhaite démontrer la propriété suivante :

$\left(\mathcal{P}_{1}\right)$ : \emph{Dans un tétraèdre régulier, chaque médiane est orthogonale à la face opposée.}
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\vect{\text{AA}'} \cdot \:\vect{\text{BD}\phantom{'}} = 0$ et que $\vect{\text{AA}'}\cdot \:\vect{\text{BC}\phantom{'}} = 0$. (On pourra utiliser le milieu I du segment [BD] et le milieu J du segment [BC]).
		\item En déduire que la médiane (AA$'$) est orthogonale à la face BCD.

Un raisonnement analogue montre que les autres médianes du tétraèdre régulier ABCD sont également orthogonales à leur face opposée.
	\end{enumerate}
\item G est l'isobarycentre des points A, B, C et D.

On souhaite démontrer la propriété suivante:

$\left(\mathcal{P}_{2}\right)$ : \emph{Les médianes d'un tétraèdre régulier sont concourantes en} G. 

En utilisant l'associativité du barycentre, montrer que G appartient à la droite $\left(\text{AA}’\right)$, puis conclure.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

On munit l'espace d'un repère orthonormal \Oijk.
 
On considère les points P(1~;~2~;~3), Q$(4~;~2~;~- 1)$ et R$(-2~;~3~;~0)$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le tétraèdre OPQR n'est pas régulier.
\item Calculer les coordonnées de P$'$, centre de gravité du triangle OQR.
\item Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (OQR) est : $3x + 2y + 16z = 0$.
\item La propriété $\left(\mathcal{P}_{1}\right)$ de la partie 1 est-elle vraie dans un tétraèdre quelconque ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère, dans un repère \Oijk{} de l'espace, la surface $\mathcal{S}$ d'équation : 

\[z = (x - y)^2.\]

\begin{enumerate}
\item On note $\mathcal{E}_{1}$ l'intersection de $\mathcal{S}$ avec le plan $\mathcal{P}_{1}$ d'équation $z = 0$.

Déterminer la nature de $\mathcal{E}_{1}$.
On note $\mathcal{E}_{2}$ l'intersection de $\mathcal{S}$ avec le plan $\mathcal{P}_{2}$ d'équation $x = 1$.

Déterminer la nature de $\mathcal{E}_{2}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère, dans un repère \Oijk{} de l'espace, la surface $\mathcal{S}'$ d'équation :

\[z = xy.\]

\begin{enumerate}
\item On note $\mathcal{E}_{3}$ l'intersection de $\mathcal{S}'$ avec le plan $\mathcal{P}_{1}$ d'équation $z = 0$.

Déterminer la nature de $\mathcal{E}_{3}$.
\item On note $\mathcal{E}_{4}$ l'intersection de $\mathcal{S}'$ avec le plan $\mathcal{P}_{3}$ d'équation $z = 1$.

Déterminer la nature de $\mathcal{E}_{4}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On note $\mathcal{E}_{5}$  l'intersection de $\mathcal{S}$ et de $\mathcal{S}'$.

Dans cette partie, on souhaite démontrer que le seul point appartenant à $\mathcal{E}_{5}$ dont les coordonnées sont des entiers naturels est le point O(0~;~0~;~0).

On suppose qu'il existe un point $M$ appartenant à $\mathcal{E}_{5}$ et dont les coordonnées $x,\:y$ et $z$ sont des entiers naturels.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $x = 0$, alors le point $M$ est le point O. 
\item On suppose dorénavant que l'entier $x$ n'est pas nul. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les entiers $x,\, y$ et $z$ vérifient $x^2 - 3xy + y^2 = 0$.

En déduire qu'il existe alors des entiers naturels $x'$ et $y'$ premiers entre eux tels que

$x'^2 - 3x'y' + y'^2 = 0$.
		\item  Montrer que $x'$ divise $y'^2$, puis que $x'$ divise $y'$.
		\item  Établir que $y'$ vérifie la relation $1 - 3y' + y'^2 = 0$.
		\item  Conclure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous.

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
\SpecialCoor
\pscircle(0;0){3}
\psline(0;0)(3;-30)\psline(0;0)(3;60)\psline(0;0)(3;120)\psline(0;0)(3;210)
\rput(1.75;0){0 point}\rput(1.75;90){5 points}
\rput(1.75;180){0 point}\rput(1.75;-90){3 points}
\end{pspicture}
\end{center} 
 
On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le joueur lance une fléchette.

On note $p_{0}$ la probabilité d'obtenir 0 point.

On note $p_{3}$ la probabilité d'obtenir 3 points.

On note $p_{5}$ la probabilité d'obtenir 5 points.

On a donc $p_{0} + p_{3} + p_{5} = 1$. Sachant que $p_{5} = \dfrac{1}{2}p_{3}$ et que $p_{5} = \dfrac{1}{3}p_{0}$ déterminer les valeurs de $p_{0},\, p_{3}$ et $p_{5}$·
\item Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s'il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette.

On note $G_{2}$ l'évènement : \og le joueur gagne la partie en 2 lancers \fg.

On note $G_{3}$ l'évènement: \og le joueur gagne la partie en 3 lancers \fg.

On note $P$ l'évènement: \og le joueur perd la partie \fg.

On note $p(A)$ la probabilité d'un évènement $A$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que $p\left(G_{2}\right) = \dfrac{5}{36}$.

On admettra dans la suite que $p\left(G_{3}\right) = \dfrac{7}{36}$
		\item En déduire $p(P)$.
	\end{enumerate} 
\item Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2.

Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une partie ?
\item Pour une partie, la mise est fixée à 2~\euro.

Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5~\euro. S'il gagne en trois lancers, il reçoit 3~\euro. S'il perd, il ne reçoit rien.

On note $X$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour $X$ sont donc: $-2$, 1 et 3.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la loi de probabilité de $X$.
		\item Déterminer l'espérance mathématique de $X$. Le jeu est-il favorable au joueur ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}