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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{avril 1997}}
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\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry avril 1997~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Une urne contient 9 boules (4 rouges, 2 bleues et 3 vertes) identiques au toucher. Toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On tire simultanément deux boules de l'urne et on note leur couleur. Calculer la probabilité d'obtenir deux boules de même couleur (on donnera le résultat sous forme d'une fraction). 
\item On tire une boule de l'urne, on note sa couleur et on la remet dans l'urne ; puis on tire une seconde boule et on note sa couleur. 
Calculer la probabilité d'obtenir deux boules de même couleur (on donnera le résultat sous forme d'une fraction).
\item On adopte la règle suivante : soit $n$ un entier naturel non nul; on gagne $10n$ francs si les deux boules tirées sont de la même couleur et on perd $n^2$ francs dans le cas contraire.
 
On désigne par $X$ (respectivement $Y$) la variable aléatoire qui, à tout tirage de deux boules de l'urne selon le procédé décrit dans la première question (respectivement la deuxième question), associe le gain algébrique réalisé à l'issue du tirage. 

Les variables aléatoires $X$ et $Y$ prennent donc les valeurs $10n$ et $n^2$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les espérances mathématiques E(X) et E(Y) des variables 
aléatoires $X$ et $Y$. 
		\item Déterminer les valeurs de l'entier naturel $n$ telles que  
		
$E(X)\: < 0 < \:E(Y)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Soit $P$ le plan rapporté au repère orthonormal direct \Ouv.

On désigne par $P^*$ le plan $P$ privé de l'origine O, et on considère l'application
$f$ de $P^*$ vers $P^*$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que 

\[z' = \dfrac{4}{z}.\]

On fera une figure que l'on complétera au fur et à mesure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ a deux points invariants A et B dont on calculera les affixes
(A est le point d'abscisse positive).
\item On nomme C et D les points d'affixes respectives $c = 2 + 2\text{i}$ et
$d = 2 - 2\text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les affixes $c'$ et $d'$ des points C$'$ et D$'$, images de C et D par $f$.
		\item Donner d'écriture trigonométrique de $c'$ et $d'$.
		\item Montrer que OC$'$AD$'$ est un carré.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $\Gamma^*$ le cercle de centre A et de rayon 2, privé de l'origine.
	
On considère un point $M$ d'affixe $z$ et son image $M'$ d'affixe $z'$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $M$ appartient à $\Gamma^*$ si et seulement si $z \neq 0$ et $|z - 2| = 2$.
		\item Montrer que si $M$ appartient à $\Gamma^*$ alors $\left|z' - 2\right| = \dfrac{4}{|z|}$.
		
En déduire que l'image d'un point de $\Gamma^*$ est un point de la médiatrice
de [OA].
		\item En exprimant arg $z'$ en fonction de arg $z$, montrer que les demi-droites
$[\text{O}M)$ et $[\text{O}M')$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.
		\item Déduire de ce qui précède la construction géométrique de l'image $M'$
d'un point $M$ quelconque de $\Gamma^*$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Soit P le plan rapporté au repère \Ouv{} orthonormé direct.
 
On désigne par P$^{\star}$ le plan P privé de l'origine O et on considère l'application $f$ de P$^{\star}$ vers P$^{\star}$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que 

\[z' = \dfrac{4}{z}.\] 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ a deux points invariants A et B dont on calculera les affixes (on désignera par A celui dont l'abscisse est positive). 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer un argument de $z'$ en fonction d'un argument de $z$.
		 
Que peut-on en déduire pour les demi-droites [O$M$] et [O$M'$] ?	 	 
		\item Comparer les arguments des nombres $\dfrac{z' + 2}{z' - 2}$ et $\dfrac{z + 2}{z - 2}$. 
	 	 
En déduire que les points A, B, $M$ et $M'$ sont cocycliques ou alignés. 
		\item Indiquer une construction géométrique de $M'$ connaissant $M$.
		
Soit $\Gamma$ le cercle de centre O et de rayon 4.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que lorsque $M$ décrit le cercle $\Gamma$, le point $M'$ décrit un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
\item Soit $Q$ le milieu de $[MM']$.
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'affixe $q$ de $Q$ en fonction de l'affixe $z$ de $M$.
		\item On pose $z = x + \text{i}y$ et $q = \alpha + \beta \text{i}$ où $x,\: y,\: \alpha$ et $\beta$ sont réels.
 
Exprimer $\alpha$ et $\beta$   en fonction de $x$ et de $y$.
		\item Montrer que lorsque $M$ parcourt le cercle $\Gamma$, le point $Q$ appartient à une conique dont on précisera la nature, l'excentricité, les sommets et les foyers. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 5 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \dfrac{3\text{e}^x + 1}{\text{e}^x + 1}\]

 On note $\Gamma$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal 
\Oij{} ; unité graphique 2~cm.

\medskip
 
\textbf{Partie A - Étude et représentation graphique de la fonction} \boldmath $f$\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $x,\: f(- x) + f(x) = 2$.
		 
En déduire que $\Gamma$ possède un centre de symétrie, qu'on désignera par A et dont on précisera les coordonnées. 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
		 
Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. (On pourra par exemple utiliser 1. a. ou poser $X = \text{e}^x$.) En déduire que $\Gamma$ possède deux asymptotes dont on précisera les équations. 
		\item Calculer $f^{\prime}(x)$ et en déduire le sens de variation de la fonction $f$ 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\Gamma$ au point d'abscisse $0$. 
		\item On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\R$ par $\varphi(x) = f(x) - (x + 1)$. 

Montrer que, pour tout réel $x, \:\varphi^{\prime}(x) = - \left(\dfrac{\text{e}^x - 1}{\text{e}^x + 1} \right)^2$.

En déduire le sens de variation de la fonction $\varphi$ puis son signe (on  précisera $\varphi(0)$).
		\item Déduire de ce qui précède la position de la courbe $\Gamma$ par rapport à la droite T.
	\end{enumerate}		
\item Tracer dans le repère \Oij{} la droite T ainsi que la courbe $\Gamma$ et ses asymptotes. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B - Calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f(x) = x$ si et seulement si $\varphi(x) = - 1$.
		\item En déduire, en utilisant les résultats de A  2., que la droite D d'équation $y = x$ coupe la courbe $\Gamma$ en un seul point dont l'abscisse $\alpha$ est comprise entre 2 et 3.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $x,\: f(x) =  \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}$. 
		
En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $\R$.  
		\item Exprimer, en fonction de $\alpha$, l'aire du domaine limité par la courbe $\Gamma$, la droite D et les droites d'équations $x = 0$ et $x = \alpha$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C - Approximation du réel \boldmath $\alpha$ \unboldmath au moyen d'une suite}

\medskip

Dans cette partie, on désigne par I l'intervalle [2~;~3].
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x,\: f^{\prime}(x) = 4\left(- \dfrac{1}{\text{e}^x + 1} - \dfrac{1}{\left(\text{e}^x + 1\right)^2}\right)$.
		\item En déduire que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle I,
		
$\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \dfrac{1}{2}$. 
		\item En déduire que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle I,
		
$|f(x) -f(\alpha)|  \leqslant \dfrac{1}{2}|x - \alpha|$.
	\end{enumerate}
\item On définit la suite $\left(u_{n}\right)$ d'éléments de l'intervalle I par :

\[\left\{\begin{array}{l c l} 
u_{0}&=& 3\\ 
u_{n+1} &=&	f\left(u_{n}\right) \quad  \text{pour}\: n \in  \N.
\end{array}\right.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n, \:\left|u_{n} - \alpha\right| \leqslant \dfrac{1}{2^n}|3 - \alpha|$. 

Déterminer un entier naturel $p$ tel que $u_{p}$ soit une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{- 3}$ près. Donner la valeur approchée de $u_{p}$ proposée par la calculatrice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}