%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Pondichéry 18 avril 2012}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{18 avril 2012}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry 18 avril 2012~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les deux parties sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, participe à une course cycliste qui comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n'est constaté. À la fin de chaque étape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrôle antidopage. Ces désignations de 5 coureurs à l'issue de chacune des étapes sont indépendantes. Un même coureur peut donc être contrôlé à l'issue de plusieurs étapes. \medskip \begin{enumerate} \item À l'issue de chaque étape, combien peut-on former de groupes différents de 5 coureurs ? \item On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item \og rand(1,~50) \fg{} permet d'obtenir un nombre entier aléatoire appartenant à l'intervalle [1~;~50] \item l'écriture \og $x := y$ \fg{} désigne l'affectation d'une valeur $y$ à une variable~$x$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.5cm}|X|}\hline Variables & $a, b, c, d, e$ sont des variables du type entier\\ Initialisation & $a:= 0\:;\: b := 0\:;\: c := 0\:;\: d := 0 \:;\: e := 0$\\ Traitement & Tant que $(a = b)$ ou $(a = c)$ ou $(a = d)$ ou $(a = e)$ ou $(b = c)$ ou $(b = d)$ ou $(b = e)$ ou $(c = d)$ ou $(c = e)$ ou $(d = e)$\\ &\hspace{1cm}Début du tant que\\ &\hspace{1.5cm}$a := \text{rand}(1,~50) \:;\: b := \text{rand}(1,~50) $\:;\:\\ &\hspace{1.5cm} $c := \text{rand}(1,~50) \:;\:d := \text{rand}(1,~50)$\:;\\ &\hspace{1.5cm} $e := \text{rand}(1,~50)$\\ &\hspace{1cm}Fin du tant que \\ Sortie & Afficher $a$, $b$, $c$, $d$, $e$\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme: $L_{1} = \{2~;~ 11~;~44~;~2~;~15\} \:;\: L_{2} = \{8, 17,41,34, 6\} ;$ $L_{3} = \{12, 17,23,17, 50\} \:;\: L_{4} = \{45, 19,43,21, 18\}$ ? \item Que permet de réaliser cet algorithme concernant la course cycliste ? \end{enumerate} \item À l'issue d'une étape, on choisit au hasard un coureur parmi les $50$~participants. Établir que la probabilité pour qu'il subisse le contrôle prévu pour cette étape est égale à $0,1$. \item On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de contrôles subis par un coureur sur l'ensemble des 10 étapes de la course. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ ? Préciser ses paramètres. \item On choisit au hasard un coureur à l'arrivée de la course. Calculer, sous forme décimale arrondie au dix-millième, les probabilités des évènements suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item il a été contrôlé 5 fois exactement; \item il n'a pas été contrôlé; \item il a été contrôlé au moins une fois. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \emph{Dans cette partie, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.\\ On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.} \medskip Pour un coureur choisi au hasard dans l'ensemble des 50 coureurs, on appelle $T$ l'évènement : \og le contrôle est positif \fg, et d'après des statistiques, on admet que $P(T) = 0,05$. On appelle $D$ l'évènement : \og le coureur est dopé \fg. Le contrôle anti-dopage n'étant pas fiable à 100\,\%, on sait que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97\,\% des cas ; \item si un coureur n'est pas dopé, le contrôle est positif dans 1\,\% des cas. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $P(D)$. \item Un coureur a un contrôle positif. Quelle est la probabilité qu'il ne soit pas dopé ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans le repère orthonormé \Oijk{} de l'espace, on considère : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ d'équations : \[\mathcal{P} \::\: x - y - z - 2 = 0\quad \text{et}\quad \mathcal{P}'\::\: x + y + 3z = 0.\] \item la droite $\mathcal{D}$ ayant pour représentation paramétrique : \[\left\{\begin{array}{l c r} x&=& - 3 - 2t\\ y&=& 2t\\ z&=& 1 + 2t \end{array}\right. \quad t \in \R.\] \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justifier la réponse. Une justification est attendue pour chaque réponse. \medskip \textbf{Proposition 1} La droite $\mathcal{D}$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$. \textbf{Proposition 2} La sphère $\mathcal{S}$ de centre O et de rayon 2 est tangente au plan $\mathcal{P}$. \textbf{Proposition 3} L'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ est la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est : \[\left\{\begin{array}{l c r} x&= &1 - \phantom{2}t'\\ y&= & - 1 - 2t'\\ z&= &t' \end{array}\right. \quad t' \in \R.\] \textbf{Proposition 4} Les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$ sont coplanaires. \newpage \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère les suites $\left(I_{n}\right)$ et $\left(J_{n}\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par : \[I_{n} = \int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}\:\text{d}x\quad \text{et} \quad J_{n} = \int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^{- nx}}{(1 + x)^2}\:\text{d}x.\] \medskip \begin{enumerate} \item Sont représentées ci-dessous les fonctions $f_{n}$ définies sur l'intervalle [0~;~1] par \[f_{n}(x) = \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}\] pour différentes valeurs de $n$ : \medskip \psset{unit=9cm,comma=true,arrowsize=2pt 3} \begin{center} \begin{pspicture*}(-0.2,-0.1)(1.1,1.2) \psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.25pt,subgridwidth=0.15pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,subgriddiv=10](0,0)(1.1,1.2) \psaxes[Dx=0.1,Dy=0.1,linewidth=1pt](0,0)(0,0)(1.1,1.2) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.1,Dy=0.1]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt]{0}{1}{1 1 x add div} \psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,dotsep=0.5pt]{0}{1}{2.71828 x neg exp 1 x add div} \psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,dotsep=2.5pt]{0}{1}{2.71828 x 2 mul neg exp 1 x add div} \psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,dotsep=5pt]{0}{1}{2.71828 x 3 mul neg exp 1 x add div} \uput[u](0.9,0.53){\blue $f_{0}$}\uput[u](0.9,0.22){\blue $f_{1}$}\uput[u](0.9,0.1){\blue $f_{2}$}\uput[u](0.9,0.02){\blue $f_{3}$}\uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(I_{n}\right)$ en expliquant la démarche. \item Démontrer cette conjecture. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier $n \geqslant 0$ et pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] : \[0 \leqslant \dfrac{\text{e}^{- nx}}{(1 + x)^2} \leqslant \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}\leqslant \text{e}^{- nx}.\] \item Montrer que les suites $\left(I_{n}\right)$ et $\left(J_{n}\right)$ sont convergentes et déterminer leur limite. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer, en effectuant une intégration par parties, que pour tout entier $n \geqslant 1$ : \[I_{n} = \dfrac{1}{n}\left(1 - \dfrac{\text{e}^{- n}}{2} - J_{n} \right).\] \item En déduire $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} nI_{n}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A \quad Restitution organisée de connaissances} \medskip Soit $z$ un nombre complexe. On rappelle que $\overline{z}$ est le conjugué de $z$ et que $|z|$ est le module de $z$. On admet l'égalité : $|z|^2 = z\overline{z}$. Montrer que, si $z_{1}$ et $z_{2}$ sont deux nombres complexes, alors $\left|z_{1}z_{2}\right| = \left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right|$. \bigskip \textbf{Partie B : \quad Étude d'une transformation particulière } \medskip Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on désigne par A et B les points d'affixes respectives $1$ et $- 1$. Soit $f$ la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z \neq 1$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que: \[z' = \dfrac{1 - z}{\overline{z} - 1}\] \medskip \begin{enumerate} \item Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}} = - 2 + \text{i}$. \begin{enumerate} \item Calculer l'affixe $z_{\text{C}'}$ du point C$'$ image de C par la transformation $f$, et placer les points C et C$'$ dans le repère donné en annexe. \item Montrer que le point C$'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1. \item Montrer que les points A, C et C$'$ sont alignés. \end{enumerate} \item Déterminer et représenter sur la figure donnée en annexe l'ensemble $\Delta$ des points du plan qui ont le point A pour image par la transformation $f$. \item Montrer que, pour tout point $M$ distinct de A, le point $M'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$. \item Montrer que, pour tout nombre complexe $z \neq 1, \quad \dfrac{z' -1}{z - 1}$ est réel. Que peut-on en déduire pour les points A, $M$ et $M'$ ? \item On a placé un point D sur la figure donnée en annexe. Construire son image D$'$ par la transformation $f$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A \quad Restitution organisée de connaissance} \medskip Soit $a,\: b,\: c,\: d$ des entiers relatifs et $n$ un entier naturel non nul. Montrer que si $a \equiv b \pmod n$ et $c \equiv d \pmod n$ alors $ac \equiv bd \pmod n$. \bigskip \textbf{Partie B \quad Inverse de 23 modulo 26} \medskip On considère l'équation \[(E) \::\quad 23x - 26y = 1,\] où $x$ et $y$ désignent deux entiers relatifs. \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que le couple $(-9~;~-8)$ est solution de l'équation $(E)$. \item Résoudre alors l'équation $(E)$. \item En déduire un entier $a$ tel que $0 \leqslant a \leqslant 25$ et $23a \equiv 1 \pmod {26}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C \quad Chiffrement de Hill} \medskip On veut coder un mot de deux lettres selon la procédure suivante : \medskip \fbox{ \begin{minipage}{\textwidth} \textbf{Étape 1} Chaque lettre du mot est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{26}{>{\centering\arraybackslash \scriptsize}X|}}\hline A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M&N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline \end{tabularx} \medskip On obtient un couple d'entiers $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$ où $x_{1}$ correspond à la première lettre du mot et $x_{2}$ correspond à la deuxième lettre du mot. \textbf{Étape 2} $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$ est transformé en $\left(y_{1}~;~y_{2}\right)$ tel que : $\left(S_{1}\right)\:\: \left\{\begin{array}{l c l l} y_{1} &\equiv& 11x_{1} + 3x_{2} &\pmod {26}\\ y_{2} &\equiv& 7x_{1} + 4x_{2} &\pmod {26} \end{array}\right.\quad \text{avec } 0 \leqslant y_{1} \leqslant 25\:\: \text{et}\:\: 0 \leqslant y_{2} \leqslant 25.$ \textbf{Étape 3} $\left(y_{1}~;~y_{2}\right)$ est transformé en un mot de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance donné dans l'étape 1. \end{minipage}} \medskip Exemple : $\underbrace{\text{TE}}_{{\text{mot en clair}}}\stackrel{\text{étape} 1}{\Longrightarrow} (19,4) \stackrel{\text{étape}\: 2}{\Longrightarrow} (13,19) \stackrel{\text{étape}\: 3}{\Longrightarrow} \underbrace{\text{NT}}_{{\text{mot codé}}}$ \medskip \begin{enumerate} \item Coder le mot ST. \item On veut maintenant déterminer la procédure de décodage: \begin{enumerate} \item Montrer que tout couple $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$ vérifiant les équations du système $\left(S_{1}\right)$, vérifie les équations du système : \[\left(S_{2}\right)\:\: \left\{\begin{array}{l c l l} 23x_{1} &\equiv& \phantom{1}4y_{1} + 23y_{2} &\pmod {26}\\ 23x_{2}&\equiv& 19y_{1} + 11y_{2} &\pmod {26} \end{array}\right.\] \item À l'aide de la partie B, montrer que tout couple $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$ vérifiant les équations du système $\left(S_{2}\right)$, vérifie les équations du système \[\left(S_{3}\right)\:\: \left\{\begin{array}{l c l l} x_{1}&\equiv& 16y_{1} + y_{2} &\pmod {26}\\ x_{2}&\equiv& 11y_{1} + 5y_{2} &\pmod {26} \end{array}\right.\] \item Montrer que tout couple $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$ vérifiant les équations du système $\left(S_{3}\right)$, vérifie les équations du système $\left(S_{1}\right)$ \item Décoder le mot \textbf{YJ}. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \fbox{Annexe à rendre avec la copie} \vspace{1cm} \textbf{EXERCICE 4 } \vspace{2cm} \begin{center} \psset{unit=1.5cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-4,-4)(4,4) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange] \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-4,-4)(4,4) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(2,2) \pscircle[linewidth=1.25pt](0,0){2} \uput[d](1,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,1){$\vect{v}$}\uput[dl](0,0){O}\uput[dl](-175,-1){$\mathcal{C}$} \psdots(-1,-0.3)\uput[r](-1,-0.3){D} \end{pspicture} \end{center} \end{document}