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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{31 mars 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry 31 mars 2005~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$, définie sur $[1~;~+ \infty[$ par

\[f(t) = \dfrac{\text{e}^t}{t}.\]

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier la continuité de $f$ sur $[1~;~+ \infty[$.
		\item Montrer que $f$ est croissante sur $[1~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Restitution organisée de connaissances}

On pourra raisonner en s'appuyant sur le graphique fourni.

Pour tout réel $x_{0}$ de $[1~;~+ \infty[$, on note $\mathcal{A}(x_{0})$ l'aire du domaine délimité par la courbe représentant $f$ dans un repère orthogonal, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = x_{0}$.

On se propose de démontrer que la fonction ainsi définie sur $[1~;~+ \infty[$ est une primitive de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Que vaut $\mathcal{A}(1)$ ?
		\item Soit $x_{0}$ un réel quelconque de $[1~;~ + \infty[$ et $h$ un réel strictement positif. Justifier l'encadrement suivant :

\[f(x_{0}) \leqslant \dfrac{ \mathcal{A}(x_{0}+ h) - \mathcal{A}(x_{0})}{h}  \leqslant f(x_{0} + h).\]

		\item Lorsque $x_{0} >1$, quel encadrement peut-on obtenir pour $h < 0$ et tel que $x_{0} + h \geqslant 1$ ?
		\item En déduire la dérivabilité en $x_{0}$ de la fonction $\mathcal{A}$ ainsi que le nombre dérivé en $x_{0}$ de la fonction $\mathcal{A}$.
		\item Conclure.

\begin{center}\psset{xunit=2.5cm, yunit=1.2cm}\begin{pspicture}(2.5,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(2.5,5.2)
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dotted](1,0)(1,2.71828)(0,2.71828)
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dotted](1.2,0)(1.2,2.7668)
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dotted](1.35,0)(1.35,2.8574)
\psplot[plotstyle=curve,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{2.5}{2.71828 x exp x div}
\uput[l](0,2.71828){e}
\uput[d](1.2,0){$x_{0}$} \uput[d](1.45,0.08){$x_{0} + h$} 
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe P est rapporté  à un repère orthonormal direct \Ouv.

On désigne par I le point d'affixe $z_{\text{I}} =1$, par A le point d'affixe $z_{\text{A}}  = 1 - 2 \text{i}$, par B le point d'affixe $-2 + 2\text{i}$ et par ($\mathcal{C}$) le cercle de diamètre [AB].

On fera une figure que l'on complètera avec les différents éléments intervenant dans l'exercice. On prendra pour unité graphique 2 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le centre $\Omega$ du cercle ($\mathcal{C}$) et calculer son rayon.
\item Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = \dfrac{3+9\text{i}}{4+2\text{i}}$.

Écrire $z_{\text{D}}$ sous forme algébrique puis démontrer que D est un point du cercle ($\mathcal{C}$).
\item Sur le cercle ($\mathcal{C}$), on considère le point E, d'affixe $z_{\text{E}}$, tel qu'une mesure en radians de $\left(\vect{\Omega\text{I}},~\vect{\Omega\text{E}}\right)$	est $\dfrac{\pi}{4}$.
	\begin{enumerate}
		\item Préciser le module et un argument de $z_{\text{E}} + \dfrac{1}{2}$.
		\item En déduire que $z_{\text{E}} = \dfrac{5\sqrt{2} - 2}{4} + \dfrac{5\sqrt{2}}{4}\text{i}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $r$ l'application du plan P dans lui-même qui  à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que :

\[z' + \dfrac{1}{2} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\left(z + \dfrac{1}{2}\right).\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la nature de $r$ et ses éléments caractéristiques.
		\item Soit K le point d'affixe $z_{\text{K}} =2$.

Déterminer par le calcul l'image de K par $r$. Comment peut-on retrouver géométriquement ce résultat ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal direct \Ouv. On considère l'application $f$ qui au point $M$ d'affixe $z$ fait correspondre le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que :

\[z' = \dfrac{3 + 4\text{i}}{5}\overline{z} + \dfrac{1 - 2\text{i}}{5}.\]

\begin{enumerate}
\item On note $x$ et $x',~y$ et $y'$ les parties réelles et les parties imaginaires de $z$ et $z'$.

Démontrer que :
\renewcommand\arraystretch{1.8}
$\left\{\begin{array}{l c l}
x' &	= &\dfrac{3x + 4y + 1}{5}\\
y' &	= &\dfrac{4x - 3y - 2}{5}\\
\end{array}\right.$
\renewcommand\arraystretch{1}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$.
		\item Quelle est la nature de l'application $f$ ?
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble D des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z'$ soit réel.
\item On cherche à déterminer les points de D dont les coordonnées sont entières.
	\begin{enumerate}
		 \item Donner une solution particulière $(x_{0}~;~y_{0})$ appartenant à $\Z^2$ de l'équation $4x - 3y = 2$.
		\item Déterminer l'ensemble des solutions appartenant à $\Z^2$ de l'équation 
		
$4x -3y = 2$.
	\end{enumerate}
\item On considère les points $M$ d'affixe $z =  x + \text{i}y$ tels que $x = 1$ et $y \in \Z$. Le point $M' = f(M)$ a pour affixe $z'$.

Déterminer les entiers $y$ tels que Re($z'$) et Im($z'$) soient entiers (on pourra utiliser les congruences modulo 5).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

L'espace E est rapporté  à un repère orthonormal \Oijk. On considère les points A, B et C de coordonnées respectives (1~;~0~;~2), (1~;~1~;~4) et $(-1~;~1~;~1)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
		\item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $(3~;~4~;~-2)$.

Vérifier que le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.

En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
	\end{enumerate}
\item Soient P$_{1}$ et P$_{2}$ les plans d'équations respectives $2x + y + 2z + 1= 0$ et 

$x - 2y + 6z = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les plans P$_{1}$ et P$_{2}$ sont sécants selon une droite D dont on déterminera un système d'équations paramétriques.
		\item La droite D et le plan (ABC) sont-ils sécants ou bien parallèles ?
	\end{enumerate}
\item Soit $t$ un réel positif quelconque. On considère le barycentre $G$ des points A, B et C affectés des coefficients respectifs 1, 2 et $t$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier l'existence du point $G$ pour tout réel positif $t$.

Soit I le barycentre des points A et B affectés des coefficients respectifs 1 et 2. Déterminer les coordonnées du point I.

Exprimer le vecteur $\vect{\text{I}G}$ en fonction du vecteur $\vect{\text{IC}}$.
		\item Montrer que l'ensemble des points $G$ lorsque $t$ décrit l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls est le segment [IC] privé du point C.

Pour quelle valeur de $t$, le milieu J du segment [IC] coïncide-t-il avec $G$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_{n} = \dfrac{n^{10}}{2^n}$. On définit ainsi une suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Prouver, pour tout entier naturel $n$ non nul, l'équivalence suivante :

\[u_{n+1} \leqslant 0,95u_{n} \quad \text{ si et seulement si} \quad  \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{10} \leqslant 1,9.\]

\item On considère la fonction $f$ définie sur $[1~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{10}.\]

	\begin{enumerate}
		 \item Étudier le sens de variation et la limite en $+ \infty$ de la fonction $f$.
		\item Montrer qu'il existe dans l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ un unique nombre réel $\alpha$ tel que $f(\alpha) =1,9$.
		\item Déterminer l'entier naturel $n_{0}$ tel que $n_{0} - 1 \leqslant \alpha \leqslant  n_{0}$.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal  à 16, on a :

\[\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{10} \leqslant 1,9.\]

	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ à partir du rang 16.
		\item Que peut-on en déduire pour la suite ?

	\end{enumerate}
\item En utilisant un raisonnement par récurrence, prouver, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 16, l'encadrement :

\[0 \leqslant u_{n} \leqslant 0,95^{n -16} u_{16}.\]

En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$.
\end{enumerate}
\end{document}