%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat S},
pdftitle = {Pondichéry 12 avril 2017},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\rfoot{\small{12 avril 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry  12 avril 2007~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk.

On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x + y - 2z + 4 =  0$ et les points A de coordonnées (3~;~2~;~6), B de coordonnées (1~;~2~;~4), et C de coordonnées $(4~;~-2~;~5)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que les points A, B et C définissent un plan.
		\item Vérifier que ce plan est le plan $\mathcal{P}$.
	\end{enumerate}
\item   
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le triangle ABC est rectangle.
		\item Écrire un système d'équations paramétriques de la droite $\Delta$ passant par O et perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$.
		\item Soit K le projeté orthogonal de O sur $\mathcal{P}$. Calculer la distance OK.
		\item Calculer le volume du tétraèdre OABC.
	\end{enumerate}
\item On considère, dans cette question, le système de points pondérés
 \[S = \left\{(\text{O},~3),~(\text{A},~1),~(\text{B},~1),~(\text{C},~1)\right\}\]
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que ce système admet un barycentre, qu'on notera G.
		\item On note I le centre de gravité du triangle ABC. Montrer que G appartient à (OI).

		\item Déterminer la distance de G au plan $\mathcal{P}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\Gamma$ l'ensemble des points $M$ de l'espace vérifiant :
\[\left\|3\vect{M\text{O}} + \vect{M\text{A}}+\vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\| = 5.\]

Déterminer $\Gamma$. Quelle est la nature de l'ensemble des points communs à $\mathcal{P}$ et $\Gamma$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, il est demandé au candidat d'exposer des connaissances}

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. Soit $R$ la rotation du plan de centre $\Omega$, d'affixe $\omega$ et d'angle de mesure $\theta$. L'image par $R$ d'un point du plan est donc définie de la manière suivante :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $R(\Omega) =  \Omega$
\item pour tout point $M$ du plan, distinct de $\Omega$, l'image $M'$ de $M$ est définie par $\Omega M' = \Omega M$ et $\left(\vect{\Omega M},~\vect{\Omega M'}\right) = \theta \quad [2\pi]$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On rappelle que, pour des points $A$ et $B$ d'affixes respectives $a$ et $b$,

 $AB = |b-a |$ et 
$\left(\vect{u},~\vect{AB}\right) = \text{arg}(b - a)\quad [2\pi]$.

\medskip

\emph{Question :} Montrer que les affixes $z$ et $z'$ d'un point quelconque $M$ du plan et de son image $M'$ par la rotation $R$, sont liées par la relation

\[z' - \omega = \text{e}^{\text{i}\theta} (z -\omega).\]

\item  On considère les points I et B d'affixes respectives $z_{\text{I}} = 1 + \text{i}$ et $z_{\text{B}} =  2 + 2\text{i}$. Soit $R$ la rotation de centre B et d'angle de mesure $ \dfrac{\pi}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'écriture complexe de $R$.
		\item Soit A l'image de I par $R$. Calculer l'affixe $z_{\text{A}}$ de A.
		\item Montrer que O, A et B sont sur un même cercle de centre I. En déduire que OAB est un
	triangle rectangle en A. Donner une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right)$.
		\item En déduire une mesure de l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{OA}}\right)$.
	\end{enumerate}
\item  Soit $T$ la translation de vecteur $\vect{\text{IO}}$. On pose A$' = T$(A).
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'affixe $z_{\text{A}'}$ de A$'$.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère OIAA$'$ ?
		\item Montrer que $- \dfrac{\pi}{12}$ est un argument de $z_{\text{A}'}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, il est demandé au candidat d'exposer des connaissances}

\medskip

On suppose connus les résultats suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item la composée de deux similitudes planes est une similitude plane ;
\item la transformation réciproque d'une similitude plane est une similitude plane ;
\item une similitude plane qui laisse invariants trois points non alignés du plan est l'identité du plan.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Soient A, B et C trois points non alignés du plan et $s$ et $s'$ deux similitudes du plan telles que
$s(\text{A}) = s'(\text{A}), s(\text{B})= s'(\text{B})$ et $s(\text{C}) = s'(\text{C})$.
Montrer que $s = s'$.
\item Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv. La figure sera complétée au fur et à mesure. On donne les points A d'affixe 2, E d'affixe $1 + \text{i}$, F d'affixe $2 + \text{i}$ et G d'affixe $3 + \text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les longueurs des côtés des triangles OAG et OEF. En déduire que ces triangles sont semblables.
		\item Montrer que OEF est l'image de OAG par une similitude indirecte $S$, en déterminant l'écriture complexe de $S$.
		\item Soit $h$ l'homothétie de centre O et de rapport $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$. On pose A$' = h(\text{A})$ et G$' = h(\text{G})$, et on appelle I le milieu de [EA$'$]. On note $\sigma$ la symétrie orthogonale d'axe (OI). Montrer que $S = \sigma \circ  h$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$	par

\[f(x) = \dfrac{\ln (x + 3)}{x+3}.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$. Étudier le signe de sa fonction dérivée $f'$, sa limite éventuelle en $+ \infty$, et dresser le tableau de ses variations.
\item On définit la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ par son terme général $u_{n} = \displaystyle\int_{n}^{n+1}  f(x)\:\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, si $n \leqslant x \leqslant n + 1$, alors $f(n +1) \leqslant f(x) \leqslant f(n)$.
		\item Montrer, sans chercher à calculer $u_{n}$, que, pour tout entier naturel $n$,

\[f(n+1) \leqslant u_{n} \leqslant	f(n).\]
		\item   En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
	\end{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 
\[F(x) = \left[\ln (x + 3)\right]^2.\]

	\begin{enumerate}
		\item Justifier la dérivabilité sur $[0~;~+ \infty[$ de la fonction $F$ et déterminer, pour tout réel
positif $x$, le nombre $F'(x)$.
		\item On pose, pour tout entier naturel $n,~I_{n}  = \displaystyle\int_{0}^{n}  f(x)\:\text{d}x$.
		
Calculer $I_{n}$.
	\end{enumerate}
\item On pose, pour tout entier naturel $n,~ S_{n} =  u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n-1}$.

Calculer $S_{n}$. La suite $\left(S_{n}\right)$ est-elle convergente ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour réaliser une enquête, un employé interroge des personnes prises au hasard dans une galerie commerçante. Il se demande si trois personnes au moins accepteront de répondre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose que la probabilité qu'une personne choisie au hasard accepte de répondre est 0,1. L'employé interroge 50 personnes de manière indépendante. On considère les évènements :

$A$ : \og au moins une personne accepte de répondre \fg

$B$ : \og moins de trois personnes acceptent de répondre \fg

$C$ : \og trois personnes ou plus acceptent de répondre \fg.

Calculer les probabilités des évènements $A$, $B$ et $C$. On arrondira au millième.
\item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 3. Dans cette question, on suppose que la variable aléatoire $X$ qui, à tout groupe de $n$ personnes interrogées indépendamment, associe le nombre de personnes ayant accepté de répondre, suit la loi de probabilité définie par :

\[\left\{\begin{array}{l}
\text{Pour tout entier}~ k~ \text{tel que}~ 0 \leqslant  k \leqslant n -1,~ P (X = k) = \dfrac{\text{e}^{-a}a^k}{k !}\\
\text{et}~ P(X = n) = 1 - \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{\text{e}^{-a}a^k}{k !},\\
\text{formules dans lesquelles}~ a = \dfrac{n}{10}\\
\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité qu'au moins trois personnes répondent est donnée par :

\[f(a) = 1 - \text{e}^{-a}\left(1 + a + \dfrac{a^2}{2}\right).\]

		\item Calculer $f(5)$. En donner l'arrondi au millième. Cette modélisation donne-t-elle un résultat voisin de celui obtenu à la question 1 ?
	\end{enumerate}
\item 	On conserve le modèle de la question 2. On souhaite déterminer le nombre minimum de personnes à interroger pour que la probabilité que trois d'entre elles au moins répondent soit supérieure ou égale à 0,95.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\R^{+}$ par 

\[f(x) = 1 - \text{e}^{-x}\left(1 + x + \dfrac{x^2}{2}\right).\]

ainsi que sa limite en $+ \infty$. Dresser son tableau de variations.
		\item  Montrer que l'équation $f(x) =  0,95$ admet une solution unique sur $\R^{+}$, et que cette solution est comprise entre $6,29$ et $6,3$.
		\item En déduire le nombre minimum de personnes à interroger.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}