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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small avril 2004}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry 1\up{er} avril 2004~\decofourright}}

\end{center}

\textbf{Exercice 1 \hfill 3 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $u$ la suite définie par :
$\left\{\begin{array}{l c r r}
u_0		&=&0&\\
u_{n+1}	&=& \dfrac{1}{2 - u_n}&\quad \text{pour tout entier naturel}~n\\
\end{array} \right.$

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_1$,\:$u_2$ et $u_3$. On exprimera chacun de ces termes sous forme d'une fraction irréductible.
		\item Comparer les quatre premiers termes de la suite $u$ aux quatre premiers termes de la suite $w$ définie sur $\N$ par $w_n = \dfrac{n}{n+1}$.
		\item À l'aide d'un raisonnement par récurrence, démontrer que, pour tout entier naturel $n,\:u_n = w_n$.
	\end{enumerate}
\item Soit $v$ la suite de terme général $v_n$ défini par $v_n = \ln \left(\dfrac{n}{n+1}\right)$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $v_1 + v_2 + v_3 = - \ln 4$.
		\item Soit $S_n$ la somme définie pour tout entier naturel non nul $n$ par :

\[S_n = v_1 + v_2 + \cdots + v_n.\]

Exprimer $S_n $ en fonction de $n$.

Déterminer la limite de $S_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}

\medskip

Un joueur dispose d'un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et de trois urnes U$_1$, U$_2$ et U$_3$ contenant chacune $k$ boules, où $k$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3.
 
Il y a trois boules noires dans l'urne U$_1$, deux boules noires dans l'urne U$_2$ et une boule noire dans l'urne U$_3$, et toutes les autres boules contenues dans les urnes sont blanches.

Les boules sont indiscernables au toucher.

Une partie se déroule de la façon suivante :

le joueur lance le dé,

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] s'il obtient le numéro 1, il prend au hasard une boule dans l'urne U$_1$, note sa couleur et la remet dans l'urne U$_1$ ;
\item[$\bullet~$] s'il obtient un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans l'urne U$_2$, note sa couleur et la remet dans l'urne U$_2$ ;
\item[$\bullet~$] si le numéro amené par le dé n'est ni le 1 ni un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans l'urne U$_3$, note sa couleur et la remet dans l'urne U$_3$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On désigne par $A$, $B$, $C$, et $N$ les évènements suivants :

$A$ : \og Le dé amène le numéro 1. \fg

$B$ : \og Le dé amène un multiple de trois. \fg

$C$ : \og Le dé amène un numéro qui n'est ni le 1, ni un multiple de 3. \fg

$N$ : \og La boule tirée est noire.\fg

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le joueur joue une partie.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité qu'il obtienne une boule noire est égale à $\dfrac{5}{3k}$.
		\item Calculer la probabilité que le dé ait amené le 1 sachant que la boule tirée est noire.
		\item Déterminer $k$ pour que la probabilité d'obtenir une boule noire soit supérieure à $\dfrac{1}{2}$.
		\item Déterminer $k$ pour que la probabilité d'obtenir une boule noire soit égale à $\dfrac{1}{30}$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, $k$ est choisi pour que la probabilité d'obtenir une boule noire en jouant une partie soit égale à $\dfrac{1}{30}$.

Le joueur joue 20 parties, indépendantes les unes des autres.

Calculer, sous forme exacte puis arrondie à $10^{-3}$, la probabilité qu'il obtienne au moins une fois une boule noire.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

Soit $\varphi$ la fonction définie sur $\R$ par

\[\varphi(x) = \left(x^2 + x + 1\right)\text{e}^{-x} - 1.\]

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de $\varphi$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.
		\item étudier le sens de variations de $\varphi$ puis dresser son tableau de variations sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que l'équation $\varphi(x) = 0$ admet deux solutions dans $\R$, dont l'une dans l'intervalle $[1~;~+ \infty[$, qui sera notée $\alpha$.

Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$.
\item En déduire le signe de $\varphi(x)$ sur $\R$ et le
présenter dans un tableau.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B : étude de la position relative de deux courbes et
calcul d'aire}

\medskip

Sur la feuille annexe page 5 sont tracées les courbes représentatives
 de deux fonctions $f$ et $g$.
 
Les fonctions $f$ et $g$ sont définies sur $\R$ par :

\[f(x) =(2x + 1)\text{e}^{-x}\qquad \text{et} \qquad g(x) = 
\dfrac{2x+1}{x^2 + x + 1}.\]

Leurs courbes représentatives dans un repère orthogonal \Oij~ sont 
notées $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les deux courbes passent par le point A de coordonnées
 (0~;~1) et admettent en ce point la même tangente.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout nombre réel
$x,\:f(x) - g(x) = \dfrac{(2x + 1)\varphi(x)}{x^2 + x + 1}$
où $\varphi$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A}.
		\item À l'aide d'un tableau, étudier le signe de $f(x) - g(x)$ sur $\R$.
		\item En déduire la position relative des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $h$ définie sur $\R$ par

\[h(x) = (- 2x - 3)\text{e}^{-x}  -  \ln \left(x^2 + x + 1\right)\]

est une primitive sur $\R$ de la fonction $x \mapsto f(x) - g(x)$.
		\item En déduire l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par les deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équations $x=-\dfrac{1}{2}$  et $x=  0$.

Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-4}$ de cette aire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 : enseignement obligatoire \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation :

\[z^2 - 2z + 4 = 0.\]

Les solutions seront notées $z'$ et $z'',~z'$ désignant la solution dont 
la partie imaginaire est positive.

Donner les solutions sous forme algébrique  puis sous forme exponentielle.
\item Donner la valeur exacte de $\left(z'\right)^{\np{2004}}$ sous forme exponentielle puis sous forme algébrique.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} ; 
(unité graphique : 2~cm).

\begin{enumerate}
\item Montrer que les points A d'affixe $1 + \text{i}\sqrt{3}$ et B d'affixe $1 - \text{i}\sqrt{3}$ sont sur un même cercle de centre O dont on précisera le rayon.

Tracer ce cercle puis construire les points A et B.
\item On note O$'$ l'image du point O par la rotation $r_1$ de centre A et 
d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ et B$'$ l'image du point B par la rotation
 $r_2$ de centre A et d'angle $+ \dfrac{\pi}{2}$.

Calculer les affixes des points O$'$ et B$'$ et construire ces points.
\item Soit I le milieu du segment [OB].
	\begin{enumerate}
		\item Que peut-on conjecturer pour la droite (AI) dans le triangle AO$'$B$'$ ?
		\item Calculer l'affixe du vecteur $\vect{\text{AI}}$.

Montrer que l'affixe du vecteur $\vect{\text{O}'\text{B}'}$ est
 égale à $3 \sqrt{3} - \text{i}$.
		\item La conjecture émise à la \textbf{question a} est-elle vraie ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 : exercice de spécialité \hfill 5 points}

\medskip

L'espace (E) est muni d'un repère orthonormal \Oijk.

On considère les points A(0~;~5~;~5) et B(0~;~0~;~10).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on se place dans le plan P$_0$ d'équation $x = 0$ rapporté au repère $\left(\text{O},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$.

On note $\mathcal{C}$ le cercle de centre B passant par A.

Démontrer que la droite (OA) est tangente au cercle $\mathcal{C}$.
\item On nomme $\mathcal{S}$ la sphère engendrée par la rotation du cercle
 $\mathcal{C}$ autour de l'axe (O$z$) et $\Gamma$ le cône engendré par la 
rotation de la droite (OA) autour de l'axe (O$z$).
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le cône $\Gamma$ admet pour équatio $x^2 + y^2 = z^2$.
		\item Déterminer l'intersection du cône $\Gamma$ et de la sphère $\mathcal{S}$.

Préciser la nature de cette intersection et ses éléments caractéristiques.
		\item Illustrer ces objets par un schéma dans l'espace.
	\end{enumerate}
\item On coupe le cône $\Gamma$ par le plan P$_1$ d'équation $x = 1$.

Dans P$_1$, l'une des trois figures ci-dessous représente cette intersection.

Identifier cette figure en donnant les justifications nécessaires.
\item Soit $M(x~;~y~;~z)$ un point du cône $\Gamma$ dont les coordonnées sont des entiers relatifs non nuls. Démontrer que $x$ et $y$ ne peuvent pas être simultanément impairs.
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabular}{c c c}
\begin{pspicture}(4,4)
\pscircle(2,1.5){1}
\end{pspicture}&
\begin{pspicture}(4,3)
\psline(0.5,0)(3.5,3) \psline(0.5,3)(3.5,0)
\end{pspicture}&
\begin{pspicture}(4,3)
\pscurve(0.2,0)(0.5,0.25)(1,0.8)(1.5,1.25)(2,1.5)(2.5,1.25)(3,0.8)(3.5,0.25)(3.8,0)
\pscurve(0.2,3.7)(0.5,3.45)(1,2.9)(1.5,2.45)(2,2.2)(2.5,2.45)(3,2.9)(3.5,3.45)(3.8,3.7)
\end{pspicture}\\
Figure 1 & Figure 2 & Figure 3\\
\end{tabular}\end{center}

\newpage
\begin{center}
\vspace*{3cm}
\psset{xunit=3cm,yunit=6cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(3,1.5)
\rput(1,2){\textbf{Exercice 3}}
\psaxes[Dx=1,Dy=0.5,linewidth=1.25pt](0,0)(-1,-1)(3,1.5)
%\psline[linewidth=2pt]{->}(-1,0)(3,0)
%\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-1)(0,1.5)
%\uput[d](-1,0){$-1$} \uput[d](1,0){$1$} \uput[d](2,0){$2$} 
%\uput[d](3,0){$3$}
%\uput[l](0,-1){$-1$} \uput[l](0,-0.5){$-0,5$} \uput[l](0,0.5){$0,5$} 
%\uput[l](0,1){$1$} \uput[l](0,1.5){$1,5$}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.738}{3}{2 x mul 1 add 2.71828 x neg exp mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1}{3}{2 x mul 1 add x 2 exp x add 1 add div}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}