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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{16 avril 2008}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry 16 avril 2008~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $[1~;~+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x - 1}$ et soit $H$ la fonction définie sur $[1~;~+ \infty[$ par $H(x) = \displaystyle\int_{1}^x f(t)\:\text{d}t$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $f$ et $H$ sont bien définies sur $[1~;~+ \infty[$
		\item Quelle relation existe-t-il entre $H$ et $f$ ?

		\item Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} du plan. Interpréter en termes d'aire le nombre $H(3)$.
	\end{enumerate}
\item On se propose, dans cette question, de donner un encadrement du nombre $H(3)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout réel $x > 0,~  \dfrac{x}{\text{e}^x - 1} = x \times \dfrac{\text{e}^{-x}}{1 - \text{e}^{-x}}$.
		\item  En déduire que $\displaystyle\int_{1}^3 f(x)\:\text{d}x = 3\ln \left(1 - \dfrac{1}{\text{e}^3}\right) -\ln \left(1 - \dfrac{1}{\text{e}}\right) - \displaystyle\int_{1}^3 \ln \left(1 - \text{e}^{-x} \right)\:\text{d}x$.
		\item  Montrer que si $1\leqslant x \leqslant  3$, alors $\ln \left(1 - \dfrac{1}{\text{e}}\right)\leqslant  \ln \left(1 - \text{e}^{-x} \right) \leqslant  \ln \left(1 - \dfrac{1}{\text{e}^3}\right)$.
		\item En déduire un encadrement de $\displaystyle\int_{1}^3 \ln \left(1 - \text{e}^{-x} \right)\:\text{d}x$ puis de $\displaystyle\int_{1}^3 f(x)\:\text{d}x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\emph{Cet exercice contient une restitution organisée de connaissances.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On suppose connus les résultats suivants :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes $z_{A},~z_{B}$ et $z_{C}$ trois points $A,~ B$ et $C$.

Alors $\left|\dfrac{z_{B} - z_{C}}{z_{A} - z_{C}}  \right|= \dfrac{CB}{CA}$ et arg$\left(\dfrac{z_{B} - z_{C}}{z_{A} - z_{C}}  \right) = \left(\vect{CA},~\vect{CB} \right) \quad (2\pi)$.
\item Soit $z$ un nombre complexe et soit $\theta$ un réel :

$z = \text{e}^{\text{i}\theta}$  si et seulement si  $|z| =1$ et arg$(z) = \theta + 2k\pi$, où $k$ est un entier relatif.
\end{enumerate}

\medskip

\emph{Démonstration de cours} :  démontrer que la rotation $r$ d'angle $\alpha$ et de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ est la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que

\[z' - \omega = \text{e}^{\text{i}\alpha}(z - \omega).\]

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans un repère orthonormal direct du plan complexe \Ouv{} d'unité graphique $2$~cm, on considère les points $A,~ B,~ C$ et $D$ d'affixes respectives 

\[z_{A} = -\sqrt{3} - \text{i},\: z_{B} = 1 - \text{i}\sqrt{3},\: z_{C} = \sqrt{3} + \text{i}\:\text{ et } \: z_{D} = - 1 +\text{i}\sqrt{3}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner le module et un argument pour, chacun des quatre nombres complexes $z_{A},~z_{B},~z_{C}$ et $z_{D}$.
		\item Comment construire à la règle et au compas les points $A,~ B,~ C$ et $D$ dans le repère \Ouv{} ?
		\item Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ?
	\end{enumerate}
\item On considère la rotation $r$ de centre B et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$. Soient $E$ et $F$ les points du plan définis par :
$E = r(A)$ et $F = r(C)$.
	\begin{enumerate}
		\item Comment construire à la règle et au compas les points $F$ et $E$ dans le repère précédent ?
		\item Donner l'écriture complexe de $r$.
		\item Déterminer l'affixe du point $E$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On suppose connu le résultat suivant :

Une application $f$ du plan muni d'un repère orthonormal direct dans lui-même est une similitude directe si et seulement si $f$ admet une écriture complexe de la forme $z'= az +b$, où $a \in \C^*$ et $b \in \C$.

\medskip

\emph{Démonstration de cours} :  on se place dans le plan complexe. Démontrer que si $A, B, A'$ et $B'$ sont quatre points tels que $A$ est distinct de $B$ et $A'$ est distinct de $B'$, alors il existe une unique similitude directe transformant $A$ en $A'$ et $B$ en $B'$.

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} on considère les points $A,~ B,~C,~ D$ d'affixes respectives 

\[z_{A} = -\sqrt{3} - \text{i},\: z_{B} = 1 - \text{i}\sqrt{3},\: z_{C} = \sqrt{3} + \text{i}\:\text{ et }\:\:z_{D} = - 1 +\text{i}\sqrt{3}.\]

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner le module et un argument-de chacun des quatre nombres complexes $z_{A},\:z_{B},\:z_{C}$ et $z_{D}$.
		\item Construire à la  règle et au compas les points $A,~ B,~ C$ et $D$ (on prendra pour unité graphique $2$~cm).
		\item Déterminer le milieu du segment $[AC]$, celui du segment $[BD]$. Calculer le quotient $\dfrac{z_{B}}{z_{A}}$. En déduire la nature du quadrilatère $ABCD$.
	\end{enumerate}
\item On considère la similitude directe $g$ dont l'écriture complexe est 

$z' = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}z + 2$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les éléments caractéristiques de $g$. 
		\item  Construire à la règle et au compas les images respectives $E,~ F$ et $J$ par $g$ des points $A,~C$ et~$O$.
		\item  Que constate-t-on concernant ces points $E,~ F$ et $J$ ? Le démontrer.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{On considère un tétraèdre $ABCD$.

On note $I,\: J,\: K,\: L,\: M,\: N$ les milieux respectifs des arêtes $[AB],\: [CD],\:[BC],\:[AD],\:[AC]$ et $[BD]$.

On désigne par $G$ l'isobarycentre des points
$A,~B,~C$ et~$D$.} \hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(5,4.5)
\pspolygon(0,1.25)(3.25,4)(4.4,0.7)(2.2,0)%ABCD
\psline(3.25,4)(2.2,0) \psline[linestyle=dashed](0,1.25)(4.4,0.7)
\uput[dl](0,1.25){A} \uput[ul](3.25,4){B} \uput[dr](4.4,0.7){C} \uput[d](2.2,0){D} 
\end{pspicture}
}

\begin{enumerate}
\item Montrer que les droites $(IJ),~(KL)$ et $(MN)$ sont concourantes en $G$.

\medskip

Dans la suite de l'exercice, on suppose que $AB =  CD,~ BC = AD$ et $AC = BD$.

(On dit que le tétraèdre $ABCD$ est équifacial, car ses faces sont isométriques).
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la nature du quadrilatère $IKJL$ ? Préciser également la nature des quadrilatères $IMJN$ et $KNLM$.
		\item  En déduire que $(IJ)$ et $(KL)$ sont orthogonales. On admettra que, de même, les droites $(IJ)$ et $(MN)$ sont orthogonales et les droites $(KL)$ et $(MN)$ sont orthogonales.
	 \end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la droite $(IJ)$ est orthogonale au plan $(MKN)$.
		\item  Quelle est la valeur du produit scalaire $\vect{IJ}\cdot \vect{MK}$ ? En déduire que $(IJ)$ est orthogonale à la
droite $(AB)$. Montrer de même que $(IJ)$ est orthogonale à la droite $(CD)$.
		\item  Montrer que $G$ appartient aux plans médiateurs de $[AB]$ et $[CD]$.
		\item  \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		
Comment démontrerait-on que $G$ est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre $ABCD$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}
  
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{On cherche à modéliser de deux façons différentes l'évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de l'année.}

\medskip

Les parties A et B sont indépendantes

\medskip

\textbf{Partie A : un modèle discret}

\medskip
 
Soit $u_{n}$ le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l'année $n$.

On pose $n =0$ en 2005, $u_{0} = 1$  et, pour tout $n \geqslant 0,$

\[u_{n+1} = \dfrac{1}{10}u_{n}\left(20 - u_{n } \right).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur [0 ~;~ 20] par

\[f(x)= \dfrac{1}{10}x(20 - x ).\]

	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de $f$ sur [0~;~20].
		\item En déduire que pour tout $x \in [0~;~20],\: f(x) \in [0~;~10]$.
		\item On donne en \textbf{annexe} la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.

Représenter, sur l'axe des abscisses,  à l'aide de ce graphique, les cinq premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant 0}$.
	\end{enumerate}
\item Montrer par récurrence que pour tout $n \in  \N,~ 0 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 	10$.
\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant 0}$ est convergente et déterminer sa limite.
	\end{enumerate}
	
\medskip
	
\textbf{Partie B : un modèle continu}

\medskip

Soit $g(x)$ le nombre, exprimé en millions, de tels foyers l'année $x$.

On pose $x = 0$ en 2005,  $g(0) = 1$
et $g$ est une solution, qui ne s'annule pas sur $[0~;~+\infty[$, de l'équation différentielle

\[(\text{E})\quad ;~~y' = \dfrac{1}{20}y(10 - y).\]

\begin{enumerate}
\item On considère une fonction $y$ qui ne s'annule pas sur $[0~;~+\infty[$ et on pose $z = \dfrac{1}{y}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $y$ est solution de (E) si et seulement si $z$ est solution de l'équation différentielle :
		\[(\text{E}_{1})\quad  : \:\:z' = - \dfrac{1}{2}z + \dfrac{1}{20}.\]
		\item  Résoudre l'équation (E$_{1}$) et en déduire les solutions de l'équation (E).
	\end{enumerate}
\item Montrer que $g$ est définie sur $[0~; ~+\infty[$ par $g(x) = \dfrac{10}{9\text{e}^{-\frac{1}{2}x} + 1}$.
\item Étudier les variations de $g$ sur $[0~; ~+\infty[$.
\item Calculer la limite de $g$ en $+ \infty$ et interpréter le résultat.
\item En quelle année le nombre de foyers possédant un tel équipement dépassera-t-il $5$~millions ?
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\bigskip

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\psset{unit=0.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-4,-3)(24,14)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(24,14)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(24,14)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(24,14)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2500,linewidth=1.25pt]{0}{20}{20 x sub x mul 10 div}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}