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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Pondichéry}}
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\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry 21 avril 2010~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A - Restitution organisée de connaissances :}

\medskip

Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$ et $f$ et $g$ deux fonctions continues sur l'intervalle $[a~;~b]$. On suppose connus les résultats suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 	$\displaystyle\int_{a}^b \left[f(t) + g(t)  \right]\:\text{d}t = \displaystyle\int_{a}^b f(t)\:\text{d}t + \displaystyle\int_{a}^b g(t)\:\text{d}t$. 
\item[$\bullet~$] Si pour tout $t \in [a~;~b],~ f(t) \geqslant 0$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(t)\:\text{d}t \geqslant 0$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Montrer que : si pour tout $t \in [a~;~b],~ f(t) \leqslant g(t)$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(t)\:\text{d}t \leqslant \displaystyle\int_{a}^b g(t)\:\text{d}t$.

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel non nul. On appelle $f_{n}$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par

\[f_{n}(x) = \ln \left(1 + x^n\right)\]

et on pose $I_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 \ln \left(1 + x^n\right)\:\text{d}x$.

On note $\mathcal{C}_{n}$ la courbe représentative de $f_{n}$ dans un repère orthonormal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f_{1}$ en $+ \infty$.
		\item Étudier les variations de $f_{1}$ sur $[0~;~+\infty[$.
		\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer $I_{1}$ et interpréter graphiquement le résultat.
 
(Pour le calcul de $I_{1}$ on pourra utiliser le résultat suivant :

pour tout $\left.x \in [0~;~1],\: \dfrac{x}{x + 1} = 1 - \dfrac{1}{x + 1}\right)$
		\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$, on a: $0 \leqslant I_{n} \leqslant \ln 2$.
		\item Étudier les variations de la suite $\left(I_{n}\right)$.
		\item En déduire que la suite $\left(I_{n}\right)$ est convergente.
	\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[g(x) = \ln (1  + x) - x.\]
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de $g$ sur $[0~;~+\infty[$.
		\item En déduire le signe de $g$ sur $[0~;~+\infty[$.
Montrer alors que pour tout entier naturel $n$ non nul, et pour tout $x$ réel positif, on a 
\[\ln \left(1 + x^n\right) \leqslant x^n.\]

		\item En déduire la limite de la suite $\left(I_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.

\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration pourra consister à fournir un contre-exemple.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l !{=} l}
x	& \phantom{-2}t + 2\\
y 	& -2t\\
z 	& \phantom{-}3t - 1
\end{array}\right.,~ t \in \R$ est parallèle au plan dont une 
équation cartésienne est : $x + 2 y + z - 3 = 0$.
\item Les plans $P,~ P',~ P''$ 	d'équations respectives $x - 2y + 3z = 3$, $2x + 3y - 2z = 6$ et

$4x - y + 4z = 12$ n'ont pas de point commun.
\item Les droites de représentations paramétriques respectives 

$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
x& \phantom{-}2 - 3t\\
y& \phantom{-} 1 + \phantom{3}t \\
z& -3 + 2t
\end{array}\right.,~ t \in \R$ \:\:	et 
$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
x& \phantom{-}7 + 2u\\
y& \phantom{-}2 + 2u\\
z& - 6 - \phantom{3}u
\end{array}\right.,\:\:u\in \R$ sont sécantes.
\item On considère les points :

A, de coordonnées $(-1~;~0~;~2)$, B, de coordonnées $(1~;~4~;~0)$ et C, de coordonnées $(3~;~-4~;~-2)$.

Le plan (ABC) a pour équation $x + z = 1$.
\item On considère les points :

A, de coordonnées $(-1~;~1~;~3)$, B, de coordonnées $(2~;~1~;~0)$ et C, de coordonnées $(4~;~-1~;~5)$.

On peut écrire C comme barycentre des points A et B.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

\emph{Les parties \emph{A} et \emph{B} peuvent, dans leur quasi-totalité, être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, on se propose d'étudier des couples $(a,~b)$ d'entiers strictement positifs, tels que :

\[a^2 = b^3.\]

Soit $(a,~b)$ un tel couple et $d = \text{PGCD}(a,~b)$. On note $u$ et $v$ les entiers tels que $a= du$ et $b = dv$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $u^2 = dv^3$. 
\item En déduire que $v$ divise $u$, puis que $v = 1$.
\item Soit $(a,~b)$ un couple d'entiers strictement positifs.

Démontrer que l'on a $a^2 = b^3$ si et seulement si $a$ et $b$ sont respectivement le cube et le carré d'un même entier.
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse. sera prise en compte dans l'évaluation.}

Montrer que si $n$ est le carré d'un nombre entier naturel et le cube d'un autre entier, alors 

$n \equiv 0\quad [7]$ ou 
$n \equiv 1 \quad [7]$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on considère la surface $S$ d'équation 

\[x^2 \times y^2 = z^3.\]

Pour tout réel $\lambda$, on note $\mathcal{C}_{\lambda}$ la section de $S$ par le plan d'équation $z = \lambda$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les graphiques suivants donnent l'allure de $\mathcal{C}_{\lambda}$ tracée dans le plan d'équation $z = \lambda$, selon le signe de $\lambda$.
 
Attribuer à chaque graphique l'un des trois cas suivants : $\lambda < 0$,\: $\lambda = 0$,\: $\lambda > 0$, et justifier l'allure de chaque courbe.

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1.9,-1.5)(1.9,1.5)
\psline[linecolor=blue](-1.8,0)(1.6,0)\psline[linecolor=blue](0,-1.2)(0,1.2)
\rput(0,-1.4){graphique 1}
\end{pspicture}&\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1.9,-1.5)(1.9,1.5)
\rput(0,0){(pas de courbe visible) }\rput(0,-1.4){graphique 2} \end{pspicture}&\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-1.8,-1.5)(1.8,1.5)
\psplot[linecolor=blue]{0.08}{1.7}{0.1 x div} 
\psplot[linecolor=blue]{-1.7}{-0.08}{0.1 x div} 
\psplot[linecolor=blue]{0.08}{1.7}{0.1 x div neg} 
\psplot[linecolor=blue]{-1.7}{-0.08}{0.1 x div neg} 
\rput(0,-1.4){graphique 3}\rput(0.5,0.5){\blue $\mathcal{C}_{\lambda}$}
\end{pspicture}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le nombre de points de $\mathcal{C}_{25}$ dont les coordonnées sont des nombres entiers strictement positifs.
		\item \emph{Pour cette question, on pourra éventuellement s'aider de la question $3$ de la partie \emph{A}.}

Déterminer le nombre de points de $\mathcal{C}_{\nombre{2010}}$ dont les coordonnées sont des nombres entiers strictement positifs
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une urne contient 10 boules blanches et $n$ boules rouges, $n$ étant un entier naturel supérieur ou égal à 2. On fait tirer à un joueur des boules de l'urne. À chaque tirage, toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées. Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2~euros et pour chaque boule rouge tirée, il perd 3~euros.

On désigne par $X$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique obtenu par le joueur.

\medskip

\emph{Les trois questions de l'exercice sont indépendantes.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le joueur tire deux fois successivement et sans remise une boule de l'urne. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que : $P(X = -1) = \dfrac{20n}{(n + 10)(n + 9)}$.
		\item Calculer, en fonction de $n$ la probabilité correspondant aux deux autres valeurs prises par la variable $X$.
		\item Vérifier que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ vaut :

\[\text{E}(X) = \dfrac{-6n^2 -14n + 360}{(n + 10)(n + 9)}.\]

		\item Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles l'espérance mathématique est strictement positive.
	\end{enumerate}
\item Le joueur tire 20 fois successivement et avec remise une boule de l'urne. Les tirages sont indépendants.
Déterminer la valeur minimale de l'entier $n$ afin que la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge au cours de ces 20~tirages soit strictement supérieure à $0,999$.
\item On suppose que $n = \nombre{1000}$. L'urne contient donc 10~boules blanches et \nombre{1000} boules rouges.

Le joueur ne sait pas que le jeu lui est complètement défavorable et décide d'effectuer plusieurs tirages sans remise jusqu'à obtenir une boule blanche.

Le nombre de boules blanches étant faible devant celui des boules rouges, on admet que l'on peut modéliser le nombre de tirages nécessaires pour obtenir une boule blanche par une variable aléatoire $Z$ suivant la loi :

\[\text{pour tout}~ k \in \N,~ p(Z \leqslant  k) = \int_{0}^k 0,01\text{e}^{-0,01x}\:\text{d}x.\]

On répondra donc aux questions suivantes à l'aide de ce modèle.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que le joueur ait besoin de tirer au plus 50~boules pour avoir une boule blanche, soit $P (Z \leqslant 50)$.
		\item Calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement : \og le joueur a tiré au maximum 60~boules pour tirer une boule blanche \fg{} sachant l'évènement \og le joueur a tiré plus de 50~boules pour tirer une boule blanche \fg.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \N}$ définie par : 

\[u_{0} = 1 \:\text{ et pour tout }\: n \in  \N,\: u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_{n} + n - 2.\] 

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$, $u_{2}$ et $u_{3}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 4,~u_{n} \geqslant 0$. 
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 5,~u_{n} \geqslant n - 3$.
		\item En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \N}$. 
	\end{enumerate}
\item On définit la suite $\left(v_{n}\right)_{n\in \N}$ par : pour tout $n \in \N,~v_{n} = -2u_{n} + 3n - \dfrac{21}{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)_{n\in \N}$ est une suite géométrique dont on donnera la raison et le 
premier terme.
		\item En déduire que : pour tout $n \in \N,~ u_{n} =  \dfrac{25}{4}\left(\dfrac{1}{3} \right)^n + \dfrac{3}{2}n -\dfrac{21}{4}$.
		\item Soit la somme $S_{n}$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_{k}$.

Déterminer l'expression de $S_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}