%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{16 avril 2013}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry 16 avril 2013~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie 1} \medskip On s'intéresse à l'évolution de la hauteur d'un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique en annexe 1 représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours. On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type : \[h(t) = \dfrac{a}{1 + b\text{e}^{- 0,04t}}\]\index{fonction exponentielle} où $a$ et $b$ sont des constantes réelles positives, $t$ est la variable temps exprimée en jours et $h(t)$ désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres. On sait qu'initialement, pour $t = 0$, le plant mesure $0,1$~m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de $2$~m. Déterminer les constantes $a$ et $b$ afin que la fonction $h$ corresponde à la croissance du plant de maïs étudié. \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction $f$ définie sur [0~;~250] par \[f(t) = \dfrac{2}{1 + 19\text{e}^{- 0,04t}}\]\index{fonction exponentielle} \begin{enumerate} \item Déterminer $f'(t)$ en fonction de $t$ ($f'$ désignant la fonction dérivée de la fonction $f$). En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~250]. \item Calculer le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à $1,5$~m. \item \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~250] on a $f(t) = \dfrac{2\text{e}^{0,04t}}{\text{e}^{0,04t} + 19}$.\index{fonction exponentielle} Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~250] par $F(t) = 50\ln \left(\text{e}^{0,04t} + 19\right)$ est une primitive de la fonction $f$. \item Déterminer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [50~;~100]. En donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près et interpréter ce résultat. \end{enumerate} \item On s'intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs ; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonction $f$. La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de $t$. En utilisant le graphique donné en annexe, déterminer une valeur approchée de celle-ci. Estimer alors la hauteur du plant. \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chacune des questions, quatre propositions de réponse sont données dont une seule est exacte. Pour chacune des questions indiquer, sans justification, la bonne réponse sur la copie. Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Il en est de même dans le cas où plusieurs réponses sont données pour une même question.} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal. $t$ et $t'$ désignent des paramètres réels. Le plan (P) a pour équation $x - 2y + 3z + 5 = 0$. Le plan (S) a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&- 2 + t + 2t'\\ y&=&\phantom{- 2}- t - 2t'\\ z&=&- 1 - t + 3t' \end{array}\right.$ La droite (D) a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c r} x&=&- 2 + t\\ y&=&- t \\ z&=&- 1 - t \end{array}\right.$ On donne les points de l'espace M$(-1~;~2~;~3)$ et N$(1~;~-2~;~9)$. \medskip \begin{enumerate} \item Une représentation paramétrique du plan (P) est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~}$\left\{\begin{array}{l c r} x&=& t\\y&=& 1- 2t\\ z&=& -1 + 3t \end{array}\right.$& \textbf{b.~}$\left\{\begin{array}{l c r} x&=& t + 2t'\\y&=& \phantom{-}1- t + \phantom{2}t'\\z&=& - 1 - t\phantom{+2t'}\end{array}\right.$\\ \textbf{c.~}$\left\{\begin{array}{l c r} x&=&t + \phantom{2}t'\\ y&=& 1 - t- 2t'\\z&=& 1 - t - 3t'\end{array}\right.$& \textbf{d.~}$\left\{\begin{array}{l c l} x&=& \phantom{-}1 + 2t + \phantom{2}t'\\y&=& \phantom{-}1 - 2t + 2t'\\z&=& - 1\phantom{-2t} - \phantom{2}t'\end{array}\right.$ \end{tabularx} \medskip \item \begin{enumerate} \item La droite (D) et le plan (P) sont sécants au point A$(- 8~;~3~;~2)$. \item La droite (D) et le plan (P) sont perpendiculaires. \item La droite (D) est une droite du plan (P). \item La droite (D) et le plan (P) sont strictement parallèles. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item La droite (MN) et la droite (D) sont orthogonales. \item La droite (MN) et la droite (D) sont parallèles. \item La droite (MN) et la droite (D) sont sécantes. \item La droite (MN) et la droite (D) sont confondues. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Les plans (P) et (S) sont parallèles. \item La droite $(\Delta)$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c r}x&=&t\\y&=&- 2 - t\\z &=& -3-t \end{array}\right.$ est la droite d'intersection des plans (P) et (S). \item Le point M appartient à l'intersection des plans (P) et (S). \item Les plans (P) et (S) sont perpendiculaires. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. On note i le nombre complexe tel que $\text{i}^2 = - 1$. On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} = 1$ et le point B d'affixe $z_{\text{B}} = \text{i}$. À tout point $M$ d'affixe $z_{M} = x + \text{i}y$, avec $x$ et $y$ deux réels tels que $y \neq 0$, on associe le point $M'$ d'affixe $z_{M'} = - \text{i}z_{M}$. On désigne par $I$ le milieu du segment [A$M$]. Le but de l'exercice est de montrer que pour tout point $M$ n'appartenant pas à (OA), la médiane (O$I$) du triangle OA$M$ est aussi une hauteur du triangle OB$M'$ (propriété 1) et que B$M' = 2 \text{O}I$ (propriété 2). \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend $z_{M} = 2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$. \begin{enumerate} \item Déterminer la forme algébrique de $z_{M}$. \item Montrer que $z_{M'} = - \sqrt{3} - \text{i}$. Déterminer le module et un argument de $z_{M'}$. \item Placer les points A, B, $M, M'$ et $I$ dans le repère \Ouv{ }en prenant 2~cm pour unité graphique. Tracer la droite (O$I$) et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à l'aide du graphique. \end{enumerate} \item On revient au cas général en prenant $z_{M} = x + \text{i}y$ avec $y \neq 0$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe du point $I$ en fonction de $x$ et $y$. \item Déterminer l'affixe du point $M'$ en fonction de $x$ et $y$. \item Écrire les coordonnées des points $I$, B et $M'$. \item Montrer que la droite (O$I$) est une hauteur du triangle OB$M'$. \item Montrer que B$M' = 2 \text{O}I$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On étudie l'évolution dans le temps du nombre de jeunes et d'adultes dans une population d'animaux. Pour tout entier naturel $n$, on note $j_{n}$ le nombre d'animaux jeunes après $n$ années d'observation et $a_{n}$ le nombre d'animaux adultes après $n$ années d'observation. Il y a au début de la première année de l'étude, 200 animaux jeunes et 500 animaux adultes. Ainsi $j_{0} = 200$ et $a_{0} = 500$. On admet que pour tout entier naturel $n$ on a : \[\left\{\begin{array}{l c l} j_{n+ 1}& =&0,125j_{n} + 0,525a_{n}\\ a_{n+1} &=& 0,625j_{n} + 0,625a_{n} \end{array}\right.\] On introduit les matrices suivantes : $A = \begin{pmatrix} 0,125 &0,525\\ 0,625& 0,625\\ \end{pmatrix}$ et, pour tout entier naturel $n, U_{n} = \begin{pmatrix}j_{n}\\a_{n}\end{pmatrix}$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier naturel $n, U_{n+ 1} = A \times U_{n}$. \item Calculer le nombre d'animaux jeunes et d'animaux adultes après un an d'observation puis après deux ans d'observation (résultats arrondis à l'unité près par défaut). \item Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $U_{n}$ en fonction de $A^n$ et de $U_{0}$. \end{enumerate} \item On introduit les matrices suivantes $Q = \begin{pmatrix}7&3\\-5& 5\\ \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix}- 0,25&0\\0& 1\end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item On admet que la matrice\index{matrice} $Q$ est inversible et que $Q^{- 1} = \begin{pmatrix} 0,1&-0,06\\0,1& 0,14\end{pmatrix}$. Montrer que $Q \times D \times Q^{- 1} = A$. \item Montrer par récurrence sur $n$ que pour tout entier naturel $n$ non nul : $A^n = Q \times D^n \times Q^{- 1}$. \item Pour tout entier naturel $n$ non nul, déterminer $D^n$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item On admet que pour tout entier naturel $n$ non nul, \[A^n = \begin{pmatrix}0,3 + 0,7 \times (- 0,25)^n&0,42 - 0,42 \times (- 0,25)^n\\ 0,5 - 0,5 \times (- 0,25)^n& 0,7\phantom{0} + 0,3\phantom{0} \times (- 0,25)^n\\ \end{pmatrix}\] \begin{enumerate} \item En déduire les expressions de $j_{n}$ et $a_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer les limites de ces deux suites. \item Que peut-on en conclure pour la population d'animaux étudiée ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans une entreprise, on s'intéresse à la probabilité\index{probabilité} qu'un salarié soit absent durant une période d'épidémie de grippe. \medskip \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Un salarié malade est absent. \item[$\bullet~~$] La première semaine de travail, le salarié n'est pas malade. \item[$\bullet~~$] Si la semaine $n$ le salarié n'est pas malade, il tombe malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,04$. \item[$\bullet~~$] Si la semaine $n$ le salarié est malade, il reste malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,24$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On désigne, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, par $E_{n}$ l'évènement \og le salarié est absent pour cause de maladie la $n$-ième semaine \fg. On note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $E_{n}$. On a ainsi : $p_{1} = 0$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 : $0 \leqslant p_{n} < 1$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la valeur de $p_{3}$ à l'aide d'un arbre de probabilité. \item Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu'il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Recopier sur la copie et compléter l'arbre de probabilité donné ci-dessous \smallskip \begin{center} \pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$E_{n}$}\taput{$p_{n}$}} { \TR{$E_{n+1}$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$\overline{E_{n}}$}\tbput{\ldots}} { \TR{$E_{n+1}$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{\ldots} } } \end{center} \smallskip \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $p_{n+ 1} = 0,2p_{n} + 0,04$. \item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 par $u_{n} = p_{n} - 0,05$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison $r$. En déduire l'expression de $u_{n}$ puis de $p_{n}$ en fonction de $n$ et $r$. \item En déduire la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$. \item On admet dans cette question que la suite $\left(p_{n}\right)$ est croissante. On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline Variables & K et J sont des entiers naturels, P est un nombre réel\\ Initialisation &P prend la valeur $0$\\ &J prend la valeur $1$\\ Entrée & Saisir la valeur de K\\ Traitement &Tant que P $< 0,05 - 10^{- \text{K}}$\\ &\quad P prend la valeur $0,2 \times \text{P} + 0,04$\\ &\quad J prend la valeur J $+ 1$\\ &Fin tant que \\ Sortie &Afficher J \\ \hline \end{tabularx} \end{center} À quoi correspond l'affichage final J ? Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s'arrête ? \end{enumerate} \item Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité pour qu'un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d'épidémie est égale à $p = 0,05$. On suppose que l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculer l'espérance mathématique $\mu$ et l'écart type $\sigma$ de la variable aléatoire $X$. \item On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire $\dfrac{X - \mu}{\sigma}$ par la loi normale\index{loi normale} centrée réduite c'est-à-dire de paramètres $0$ et $1$. On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Le tableau suivant donne les probabilités de l'évènement $Z < x$ pour quelques valeurs du nombre réel $x$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{11}{>{\scriptsize \centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$& $- 1,55$ &$- 1,24$ &$- 0,93$ &$- 0,62$ &$- 0,31$ &0,00 &0,31 &0,62 &0,93 &1,24 &1,55\\ \hline $P(Z < x)$& 0,061 &0,108 &0,177 &0,268 &0,379 &0,500 &0,621 &0,732 &0,823 &0,892 &0,939\\ \hline \end{tabularx} \medskip Calculer, au moyen de l'approximation proposée en question b., une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité de l'évènement : \og le nombre de salariés absents dans l'entreprise au cours d'une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15 \fg. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe (Exercice 1)} \bigskip \psset{xunit=0.05cm,yunit=4cm,comma=true,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-5,-0.2)(230,2.2) \multido{\n=0+20}{12}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,2.2)} \multido{\n=0.0+0.2}{12}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(230,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=0.2]{->}(0,0)(0,0)(230,2.2) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5}{230}{2 19 2.71828 0.04 x mul exp div 1 add div} \psline(-5,2)(230,2)\uput[d](10,2){$y = 2$} \uput[u](200,0){temps $t$ (en jours)} \uput[r](0,2.15){hauteur (en mètres)} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} \end{document}