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%Tapuscrit : Denis Vergès relu par François Hache 
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{8 avril 2014}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry 8 avril 2014~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La durée de vie, exprimée en années, d'un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une entreprise A est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est un réel strictement positif.\index{loi exponentielle}

On sait que $P(X \leqslant 2) = 0,15$.

Déterminer la valeur exacte du réel $\lambda$.

\medskip

\end{enumerate}

Dans la suite de l'exercice on prendra $0,081$ pour valeur de $\lambda$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $P(X \geqslant 3)$.
		\item Montrer que pour tous réels positifs $t$ et $h,\: P_{X \geqslant t}(X \geqslant t + h) = P(X \geqslant h)$.
		\item Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans. Quelle est la probabilité pour qu'il fonctionne encore 2 ans ?
		\item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et donner une interprétation de ce résultat.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Dans la suite de cet exercice, on donnera des valeurs arrondies des résultats à } \boldmath $10^{-3}$\unboldmath.

L'entreprise A annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans la production est égal à 1\,\%. Afin de vérifier cette affirmation $800$~moteurs sont prélevés au hasard. On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux. 

Le résultat de ce test remet-il en question l'annonce de l'entreprise A ? Justifier. On pourra s'aider d'un intervalle de fluctuation.\index{intervalle de fluctuation}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.\index{Vrai--Faux}

Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.

Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.

Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Proposition 1}

Toute suite positive croissante tend vers $+ \infty$.\index{suite}
\item  $g$ est la fonction définie sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$ par

\[g(x) = 2x \ln (2x + 1).\]\index{fonction logarithme népérien}

\textbf{Proposition 2}

Sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$, l'équation $g(x) = 2x$ a une unique solution : $\dfrac{\text{e} -  1}{2}$.

\textbf{Proposition 3}

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ est :  $1 + \ln 4$.
\item  L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.

$\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ sont les plans d'équations respectives : $2x + 3y - z - 11 = 0$ et

$x + y + 5z - 11 = 0$.\index{géométrie dans l'espace}

\textbf{Proposition 4}

Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ se coupent perpendiculairement.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi la spécialité }

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv.

Pour tout entier naturel $n$, on note $A_{n}$ le point d'affixe $z_{n}$ défini par : \index{complexes}

\[z_{0} = 1\quad  \text{et}\quad  z_{n+1} = \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}\right)z_{n}.\]

On définit la suite $\left(r_{n}\right)$ par $r_{n} = \left|z_{n}\right|$ pour tout entier naturel $n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la forme exponentielle du nombre complexe $\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique de raison 
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.\index{suite géométrique}
		\item En déduire l'expression de $r_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Que dire de la longueur O$A_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ?
	\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|l|X|}\hline
Variables& $n$ entier naturel\\
&$R$ réel\\
&$P$ réel strictement positif\\ \hline
Entrée& Demander la valeur de $P$\\ \hline
Traitement &$R$ prend la valeur 1\\
&$n$ prend la valeur 0\\
&Tant que $R > P$\\
&\hspace{0,5cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\
&\hspace{0,5cm}$R$ prend la valeur $\dfrac{\sqrt{3}}{2}R$\\
&Fin tant que\\ \hline
Sortie &Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la valeur affichée par l'algorithme pour $P = 0,5$ ?
		\item Pour $P = 0,01$ on obtient $n = 33$. Quel est le rôle de cet algorithme ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle O$A_{n}A_{n+1}$ est rectangle en $A_{n+1}$.
		\item On admet que $z_{n} = r_{n}\text{e}^{\text{\'i}\frac{n\pi}{6}}$.

Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $A_{n}$ est un point de l'axe des ordonnées.
		\item Compléter la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie, en représentant les points $A_{6}, A_{7}, A_{8}$ et $A_{9}$.

Les traits de construction seront apparents.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi la spécialité}

\medskip

Chaque jeune parent utilise chaque mois une seule marque de petits pots pour bébé. Trois marques X, Y et Z se partagent le marché. Soit $n$ un entier naturel.\index{probabilités}

\begin{tabular}{l l}
On note :& $X_{n}$ l'évènement \og la marque X est utilisée le mois $n$ \fg,\\
&$Y_{n}$ l'évènement \og la marque Y est utilisée le mois $n$ \fg,\\
&$Z_{n}$ l'évènement \og la marque Z est utilisée le mois $n$ \fg.
\end{tabular}

Les probabilités des évènements $X_{n}, Y_{n}, Z_{n}$ sont notées respectivement $x_{n}, y_{n}, z_{n}$.

La campagne publicitaire de chaque marque fait évoluer la répartition.

Un acheteur de la marque X le mois $n$, a le mois suivant :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ] 50\,\% de chance de rester fidèle à cette marque,
\item[ ] 40\,\% de chance d'acheter la marque Y,
\item[ ] 10\,\% de chance d'acheter la marque Z.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

Un acheteur de la marque Y le mois $n$, a le mois suivant :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ]30\,\% de chance de rester fidèle à cette marque,
\item[ ]50\,\% de chance d'acheter la marque X,
\item[ ]20\,\% de chance d'acheter la marque Z.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

Un acheteur de la marque Z le mois $n$, a le mois suivant :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ]70\,\% de chance de rester fidèle à cette marque,
\item[ ]10\,\% de chance d'acheter la marque X,
\item[ ]20\,\% de chance d'acheter la marque Y.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $x_{n+1}$ en fonction de $x_{n}, y_{n}$ et $z_{n}$.

On admet que :

$y_{n+1} = 0,4x_{n} + 0,3y_{n} + 0,2z_{n}$ et que $z_{n+1} = 0,1x_{n} + 0,2y_{n} + 0,7 z_{n}$.
		\item Exprimer $z_{n}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$. En déduire l'expression de $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$.
	\end{enumerate}
\item On définit la suite $\left(U_{n}\right)$ par $U_{n} = \begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}$ pour tout entier naturel $n$.\index{matrices}

On admet que, pour tout entier naturel $n,\: U_{n+1} = A \times U_{n} + B$ où $A = \begin{pmatrix}0,4&0,4\\0,2&0,1\end{pmatrix}$	et $B = \begin{pmatrix}0,1\\0,2\end{pmatrix}$.

Au début de l'étude statistique (mois de janvier 2014 : $n = 0$), on estime que $U_{0} = \begin{pmatrix}0,5\\0,3\end{pmatrix}$.

On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|m{4cm}|X|}\hline
Variables& $n$ et $i$ des entiers naturels.\\
		&$A$, $B$ et $U$ des matrices\\ \hline
Entrée et initialisation&Demander la valeur de $n$ \\
		&$i$ prend la valeur $0$\\
		&$A$ prend la valeur $\begin{pmatrix}0,4&0,4\\0,2&0,1\end{pmatrix}$\\
		&$B$ prend la valeur $\begin{pmatrix}0,1\\0,2\end{pmatrix}$\\
		&$U$ prend la valeur $\begin{pmatrix}0,5\\0,3\end{pmatrix}$\\ \hline
Traitement &Tant que $i < n$\\
		&\hspace{0,4cm}$U$ prend la valeur $A \times U + B$\\
		&\hspace{0,4cm}$i$ prend la valeur $i + 1$\\
		&Fin de Tant que \\ \hline
Sortie 	&Afficher $U$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Donner les résultats affichés par cet algorithme pour $n = 1$ puis pour 
$n = 3$.
		\item Quelle est la probabilité d'utiliser la marque X au mois d'avril ?

Dans la suite de l'exercice, on cherche à déterminer une expression de $U_{n}$ en fonction de $n$.

On note $I$ la matrice $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ et $N$ la matrice $I - A$.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $C$ une matrice colonne à deux lignes. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $C = A \times C + B$ équivaut à $N \times C = B$.
		\item On admet que $N$ est une matrice inversible et que $N^{-1} = \begin{pmatrix}\dfrac{45}{23}&\dfrac{20}{23}\\[7pt]
		\dfrac{10}{23}&\dfrac{30}{23}\end{pmatrix}$.

En déduire que $C = \begin{pmatrix}\dfrac{17}{46}\\[7pt]
\dfrac{7}{23}\end{pmatrix}$.
	\end{enumerate}
\item On note $V_{n}$ la matrice telle que $V_{n} = U_{n} - C$ pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: V_{n+1} = A \times  V_{n}$.
		\item On admet que $U_{n} = A^n \times \left(U_{0} - C\right) + C$.

Quelles sont les probabilités d'utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

$f$ est une fonction définie et dérivable sur $\R$. $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$.\index{fonction et dérivée}

Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on nomme $\mathcal{C}_{1}$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\mathcal{C}_{2}$ la courbe représentative de la fonction $f'$.

Le point A de coordonnées (0~;~2) appartient à la courbe $\mathcal{C}_{1}$.

Le point B de coordonnées (0~;~1) appartient à la courbe $\mathcal{C}_{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative $\mathcal{C}_{1}$ de la fonction $f$. Sur l'une d'entre elles, la courbe $\mathcal{C}_{2}$ de la fonction dérivée $f'$ est tracée convenablement. Laquelle ? Expliquer le choix effectué.

\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\hspace{-1.5cm}\textbf{\small Situation 1}
\end{center}

\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.35cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(5.1,11)
\def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$}
\def\psvlabel#1{\footnotesize $#1$}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-2.9)(5,10.99)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{5}{x 2 mul 1 add  2.71828 x neg exp add}
\uput[ur](-2.5,8){\blue $\mathcal{C}_{1}$}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=red](-1.5,-2.2)(-1,-0.8)(0,1)(1,1.6)(2,1.85)(3,1.95)(4,2)(4.5,1.98)
\uput[d](3,2){\red $\mathcal{C}_{2}$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}

\columnbreak

\begin{center}
\textbf{\small Situation 2 ($\mathcal{C}_{2}$ est une droite)}
\end{center}

\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.35cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(5.1,11)
\def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$}
\def\psvlabel#1{\footnotesize $#1$}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]%(0,0)(-3,-3)(5,10)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-2.9)(5,10.99)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{5}{x 2 mul 1 add  2.71828 x neg exp add}
\uput[ur](-2.5,8){\blue $\mathcal{C}_{1}$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3}{4.5}{x 1 add}
\uput[dr](4,5){\red $\mathcal{C}_{2}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}

\end{multicols}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\small Situation 3}\\

\psset{unit=0.7cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-3,-1)(4.5,10)
\def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$}
\def\psvlabel#1{\footnotesize $#1$}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(-3,-3)(5,10)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-0.9)(4.5,9.99)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{5}{x 2 mul 1 add  2.71828 x neg exp add} \uput[ur](-2.5,8){\blue $\mathcal{C}_{1}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3}{5}{x 2 mul   2.71828 x neg exp add}
\uput[dr](3,6){\red $\mathcal{C}_{2}$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item Déterminer l'équation réduite de la droite $\Delta$ tangente à la courbe $\mathcal{C}_{1}$ en A.

\item On sait que pour tout réel $x,\: f(x) = \text{e}^{-x} + ax + b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur de $b$ en utilisant les renseignements donnés par l'énoncé.
		\item Prouver que $a = 2$.
	\end{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = f(x) - (x + 2)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $g$ admet $0$ comme minimum sur $\R$.
		\item En déduire la position de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ par rapport à la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

La figure 2 ci-dessous représente le logo d'une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créateur s'est servi de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ et de la droite $\Delta$, comme l'indique la figure ci-dessous. Afin d'estimer les coûts de peinture, il souhaite déterminer l'aire de la partie colorée en gris.\index{aire et intégrale}

\begin{center}
\begin{tabular}{l l}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-2,-1)(5,6)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-2}{2}{x 2 mul 1 add  2.71828 x neg exp add}
\pspolygon(-2,0)(2,4)(2,5.135)(-2,4.389)
\rput(0,5.5){figure 2}
\psline(-2,0)(2,0)(2,4)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-2}{2}{x 2 mul 1 add  2.71828 x neg exp add}
\psline(2,4)(-2,0)}
\end{pspicture*}&\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-2.5,-1)(3.5,6)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-2.5,-1)(3.5,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-2}{2}{x 2 mul 1 add  2.71828 x neg exp add}
\uput[ur](0,3.3){$\mathcal{C}_{1}$}
\uput[dr](1.3,3.5){$\Delta$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psline(-2,0)(2,0)(2,4)
\uput[d](-2,0){D}\uput[d](2,0){E}\uput[ul](-2,4.389)G \uput[ur](2,5.135){F}
\pspolygon(-2,0)(2,4)(2,5.135)(-2,4.389)
\rput(1,10.5){figure 3}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-2}{2}{x 2 mul 1 add  2.71828 x neg exp add}
\psline(2,4)(-2,0)}
\end{pspicture*}
\end{tabular}
\end{center}

Le contour du logo est représenté par le trapèze DEFG où :

\begin{itemize}
\item D est le point de coordonnées $(-2~;~0)$,
\item E est le point de coordonnées (2~;~0),
\item F est le point d'abscisse 2 de la courbe $\mathcal{C}_{1}$,
\item G est le point d'abscisse $- 2$ de la courbe $\mathcal{C}_{2}$.
\end{itemize}

La partie du logo colorée en gris correspond à la surface située entre la droite $\Delta$, la courbe $\mathcal{C}_{1}$, la droite d'équation $x = - 2$ et la droite d'équation $x = 2$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}

\item Calculer, en unités d'aire, l'aire de la partie du logo colorée en gris (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-2}$ du résultat).
\end{enumerate} 

\newpage
\begin{center}
{\large \textbf{ANNEXE EXERCICE 3}}

\vspace{1cm}

À compléter et à rendre avec la copie 

\vspace{1.5cm}

\psset{unit=7cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.6,-0.3)(1.1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-0.6,-0.3)(1.1,1)
\psdots(1;0)(0.866;30)(0.75;60)(0.6495;90)(0.5625;120)(0.487139;150)
\psline(1;0)(0.866;30)(0;0)(0.75;60)(0.866;30)
\psline(0.75;60)(0.6495;90)(0;0)(0.5625;120)(0.6495;90)
\psline(0.5625;120)(0.487139;150)(0;0)
\uput[ur](1;0){$A_{0}$} \uput[ur](0.866;30){$A_{1}$} \uput[ur](0.75;60){$A_{2}$} 
\uput[ur](0.6495;90){$A_{3}$} \uput[ul](0.5625;120){$A_{4}$} \uput[ul](0.487139;150){$A_{5}$} \uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}