%
% Compilation de 
% vincent.pantaloni@ac-orleans-tours.fr
% http://prof.pantaloni.free.fr
% à partir des tapuscrits de Denis.Verges at wanadoo.fr
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%Pour une numérotation en gras à la française: a. et pas: (a)
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\DeclareMathOperator{\e}{e}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},\vect{u}\,,\vect{v}\,\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}

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\title{%
{\bf Toutes les questions de cours et \textsc{R.O.C.} au bac de T.S.}}

\author{Vincent PANTALONI}
\date{{\small {\Police Version du \today}}}
%%_______________________________________________
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\pagestyle{fancy}
\frontmatter
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\maketitle

\tableofcontents

\mainmatter
%%%%%%%%______________________________________________

\chapter*{Remerciements.}
Cette compilation des questions de cours et restitutions organisées
des connaissances d'après les annales a été faite à partir des
fichiers \LaTeX{} tapuscrits par Denis Vergès
(Denis.Verges@wanadoo.fr), et disponibles sur la toile sur le site de
l'A.P.M.E.P. (l'Association des Professeurs de Mathématiques de
l'Enseignement Public)\\
\url{http://www.apmep.asso.fr/spip.php?rubrique346}
\rhead{\Police Toutes les R.O.C. du bac S}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter*{Bac 2011}\addcontentsline{toc}{chapter}{Bac 2011}

\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances (M\'etropole--La R\'eunion, septembre 2011) }

L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. 

\begin{center}\textbf{Partie A - Restitution organisée de connaissances} \end{center}
 
On désigne par $a,\: b,\: c,\: d$ quatre réels tels que le vecteur $\vect{n} = a\vect{\imath} + b \vect{\jmath} + c\vect{k}$ soit différent du vecteur nul. On appelle $P$ le plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$.
 
Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan $P$, c'est-à-dire que le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal à tout vecteur $\vect{\text{AB}}$ où A et B sont deux points quelconques du plan $P$.
\end{exercice}
%%%------------
\begin{exercice}
\textbf{Question de cours (Polyn\'esie, septembre 2011}

\textbf{Partie A Question de cours}

\medskip
 
Soit I un intervalle de $\R$.
 
Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues, dérivables sur I telles que les fonctions dérivées $u^{\prime}$ et $v^{\prime}$ soient continues sur I. 

Rappeler et démontrer la formule d'intégration par parties sur un intervalle $[a~;~b]$ de I.
\end{exercice}
%%----------------

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter*{Bac 2011}\addcontentsline{toc}{chapter}{Bac 2011}

\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances (Antilles--Guyane, septembre 2010) }

\medskip

On suppose connues la dérivée de la fonction exponentielle et la formule de dérivation de $u \circ v$ ainsi que ses conditions d'utilisation.
 
On suppose savoir que la fonction ln est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ et que 
pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$ on a : exp$(\ln x) = x$.
 
À partir de ces quatre arguments, montrer que la dérivée de la fonction ln est la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ qui \`a $x$ associe $\dfrac{1}{x}$. 

\medskip

\end{exercice}
%%--------------------
\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances (Nouvelle--Calédonie novembre 2010) }\\
On suppose connus les résultats suivants :
 
Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ avec $a < b$

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\star$~] si pour tout $x \in  [a~;~b] \quad u(x) \geqslant  0$ 
alors  $\displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x \geqslant  0$ 
\item[$\star$~] $\displaystyle\int_{a}^b[u(x) +  v(x)]\:\text{d}x = \displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x  + \displaystyle\int_{a}^b 	v(x)\:\text{d}x$ 
\item[$\star$~] $\displaystyle\int_{a}^b \alpha  u(x)\:\text{d}x = \alpha  \displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x$ o\`u $\alpha$ est un nombre réel.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ avec $a < b$ et si pour tout $x$ de $[a~;~b],~f(x) \leqslant g(x)$ alors :
 
\[\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \leqslant  \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x.\]

\end{exercice}
%%--------------------
\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances (Nouvelle-Calédonie~mars 2011) }\\
On utilisera le résultat suivant : les solutions de l'équation différentielle $y'= a y$ où $a \in \R$ sont les fonctions $g$ définies sur $\R$ par $g(x) = K\text{e}^{ax}$ où $K \in  \R$.

\medskip
 
Le but de cette partie est de déterminer les solutions de l'équation différentielle (E) $y'= ay + b$  où $a \in \R^{*}$ et $b \in \R$.
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)= -\dfrac{b}{a}$ est une solution de (E). 
\item Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. Démontrer l'équivalence suivante : $f$ est solution de (E) $\iff f - u$ est solution de l'équation différentielle $y'= a y$. 
\item En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E).
\end{enumerate}
\end{exercice}
%%--------------------
\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances (Amérique du Nord 27 mai 2011) }\\
On considère trois points A, B et C de l'espace et trois réels $a, b$ et $c$ de somme non nulle.
 
Démontrer que, pour tout réel $k$ strictement positif, l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\|a \vect{M\text{A}} + b \vect{M\text{B}} + c \vect{M\text{C}}\| = k$ est une sphère dont le centre est le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients respectifs $a,\, b$ et $c$.
\end{exercice}
%%--------------------
\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances {\bf [Spécialité]} (Amérique du Nord 27 mai 2011) }\\
Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.
\end{exercice}
%%--------------------
\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances (Liban 31 mai 2011) }\\
\textbf{Prérequis :} On suppose connu le résultat suivant :

\medskip
 
Quels que soient les nombres complexes non nuls $z$ et $z',\: \text{arg}\left(z \times z'\right) = \text{arg} (z) + \text{arg} \left(z'\right)$ à $2\pi$ près.
 
Démontrer que, quels que soient les nombres complexes non nuls $z$ et $z'$, on a : $\text{arg}\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \text{arg}(z) - \text{arg}\left(z'\right)$ à $2\pi$ près.

\end{exercice}
%%--------------------
\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances {\bf [Spécialité]} (Liban 31 mai 2011) }\\
On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct.
 
\textbf{Prérequis :} L'écriture complexe d'une similitude directe est de la forme $z'= az + b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres complexes tels que $a \neq 0$.

\medskip
 
Démontrer que si A, B, A$'$ et B$'$ sont quatre points du plan tels que A $~\neq~$ B et A$' ~\neq~$B$'$, alors il existe une unique similitude directe transformant A en A$'$ et B en B$'$.

\end{exercice}
%%--------------------
\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances (Polynésie 10 juin 2011) }\\
On supposera connus les résultats suivants :
 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$.
 
Pour tous réels $\alpha$ et $\beta,\, \displaystyle\int_{a}^b [\alpha u(x) + \beta v(x)]\:\text{d}x = \alpha \displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x + \beta \displaystyle\int_{a}^b v(x) \:\text{d}x$. 
\item[$\bullet~~$] Si $u$ désigne une fonction continue sur un intervalle $[a~;~b]$ et $U$ une primitive de $u$ sur $[a~;~b]$ 

alors $\displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x =[U(x)]_{a}^b = U(b) - U(a)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
En utilisant la formule de dérivation d'un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle $[a~;~b]$, démontrer la formule d'intégration par parties.
\end{exercice}
%%--------------------
\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances (Asie 21 juin 2011) }\\
Pré-requis : 
	\begin{enumerate}
		\item $p_{B}(A) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(B)}$ (où $A$ et $B$ sont deux évènements tels que $p(B)\neq  0$) ; 
		\item $p\left(\overline{A}\right) = 1 - p(A)$ (où $A$ est un évènement) ; 
		\item $p([a~;~b]) = F(b)- F(a)$ (où $a$ et $b$ sont des nombres réels positifs tels que $a \leqslant  b$).
		
		\medskip 

Démontrer que, pour tout nombre réel positif $s$, on a : 

\[p_{[t~;~+ \infty]}([t~;~t+s]) = \dfrac{F(t + s) - F(t)}{1 - F(t)},\] 

et que $p_{[t~;~+ \infty]}([t~;~t+s])$ est indépendant du nombre réel $t$.

\medskip
 
\emph{Pour la suite de l'exercice, on prendra} $\lambda = 0,2$.
	\end{enumerate} 
\end{exercice}
%%--------------------
\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances {\bf [Spécialité]} (Asie 21 juin 2011) }\\
\begin{enumerate}
\item Pré-requis: tout nombre entier $n$ strictement supérieur à 1 admet au moins un diviseur premier.
 
Démontrer que tout nombre entier $n$ strictement supérieur à 1 est premier ou peut se décomposer en produit de facteurs premiers (on ne demande pas de démontrer l'unicité de cette décomposition). 
\item Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de $629$.
\end{enumerate}
\end{exercice}
%%--------------------
\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances (La R\'eunion  juin 2011) }\\
Soient $A, B$ deux points du plan d'affixes respectives $a$ et $b$. 

On rappelle que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[*~~] $\left(\vect{u},\,\vect{AB}\right) = \arg (b - a) + 2k\pi\, \text{où}\, k \in \Z$. 
\item[*~~] L'image du point B par la rotation de centre A et d'angle $\theta$ est le point $C$ défini par :
 
\[AC = AB\quad  \text{et}\quad  \text{si}\, A \neq B,\; \left(\vect{AB},\,\vect{AC}\right)= \theta + 2k\pi\, \text{où}\, k \in \Z.\]
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Exprimer l'affixe $c$ du point $C$ en fonction de $a,\, b$ et  $\theta$.
\end{exercice}
%%--------------------
\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances {\bf [Spécialité]} (La R\'eunion  juin 2011) }\\
Soient $A, B$ deux points du plan d'affixes respectives $a$ et $b$. 

On rappelle que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[*~~] $\left(\vect{u},\,\vect{AB}\right) = \arg (b- a) + 2n\pi\, \text{où}\, n \in \Z$. 
\item[*~~] L'image du point B par la similitude directe de centre A, de rapport $k (k > 0)$ et d'angle $\theta$ est le point $C$ défini par :
 
\[AC = kAB\quad  \text{et}\quad  \text{si}\, A \neq B,\; \left(\vect{AB},\,\vect{AC}\right)= \theta + 2n\pi\, \text{où}\, n \in \Z.\]
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Exprimer l'affixe $c$ du point $C$ en fonction de $a,\, b,\, \theta$ et $k$.
\end{exercice}
%%--------------------
\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances (Métropole 21 juin 2011) }\\
On désigne par $\mathcal{P}$ le plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$ et par $M_{0}$ le point de coordonnées $\left(x_{0}~;~y_{0}~;~z_{0}\right)$. On appelle $H$ le projeté orthogonal du point $M_{0}$ sur le plan $\mathcal{P}$.
\medskip

\emph{On suppose connue la propriété suivante :}

\textbf{Propriété :} Le vecteur $\vect{n} = a\vect{\imath} + b\vect{\jmath}+ c\vect{k}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.

Le but de cette partie est de démontrer que la distance $d\left(M_{0},\, \mathcal{P}\right)$ du point $M_{0}$ au plan $\mathcal{P}$, c'est-à-dire la distance $M_{0}H$, est telle que

\[d\left(M_{0},\, \mathcal{P}\right) = \dfrac{\left|ax_{0} + by_{0} + cz_{0} + d  \right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.\]

\begin{enumerate}
\item Justifier que $\left|\vect{n} \cdot  \vect{M_{0}H}\right| = M_{0}H\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.
\item Démontrer que $\vect{n} \cdot  \vect{M_{0}H} = -ax_{0} - by_{0} - cz_{0} - d$.
\item Conclure.
\end{enumerate}

\end{exercice}
%%--------------------
\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances {\bf [Spécialité]} (Métropole 21 juin 2011) }\\
On rappelle ci-dessous le théorème de BÉZOUT et le théorème de GAUSS.

Théorème de BÉZOUT :

Deux entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si, il existe un couple
$(u~;~v)$ d'entiers relatifs vérifiant $au+ bv = 1$.

\medskip

Théorème de GAUSS :

Soient $a,\, b,\, c$ des entiers relatifs.

Si $a$ divise le produit $bc$ et si  $a$   et $b$  sont premiers entre eux, alors $a$ divise $c$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant le théorème de BÉZOUT, démontrer le théorème de GAUSS.
\item Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels tels que $p$ et $q$ sont premiers entre eux.

Déduire du théorème de GAUSS que, si $a$ est un entier relatif, tel que $a \equiv 0 \quad [p]$  et $a \equiv 0 \quad [q]$, alors $a \equiv 0 \quad [pq]$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter*{Bac 2010}\addcontentsline{toc}{chapter}{Bac 2010}
\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances (Amérique du Sud, novembre 2009) }

\medskip

Soit D le point de coordonnées $(x_{\text{D}},~y_{\text{D}},~z_{\text{D}})$ et $P$ le plan d'équation
 
$ax + by + cz + d = 0$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels qui ne sont pas tous nuls.

Démontrer que la distance du point D au plan $P$ est donnée par~:
\[d(\text{D},P)=\dfrac{\left|ax_{\text{D}}+by_{\text{D}}+cz_{\text{D}} + d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]

\medskip

\end{exercice}

\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances (Pondichéry, avril 2010) }

\medskip

Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$ et $f$ et $g$ deux fonctions continues sur l'intervalle $[a~;~b]$. On suppose connus les résultats suivants : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 	$\displaystyle\int_{a}^b \left[f(t) + g(t)  \right]\:\text{d}t =  \displaystyle\int_{a}^b f(t)\:\text{d}t + \displaystyle\int_{a}^b g(t)\:\text{d}t$. 
\item[$\bullet~$] Si pour tout $t \in [a~;~b],~ f(t) \geqslant 0$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(t)\:\text{d}t \geqslant  0$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Montrer que : si pour tout $t \in [a~;~b],~ f(t) \leqslant g(t)$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(t)\:\text{d}t \leqslant \displaystyle\int_{a}^b g(t)\:\text{d}t$.

\medskip

\end{exercice}


\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances (Antilles--Guyane, juin 2010) }

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité 1~cm.

\smallskip

Pour $M \neq \Omega$, on rappelle que le point $M'$ est l'image du point $M$ par la rotation $r$ de centre $\Omega$ et d'angle de mesure $\theta$ si et seulement si:
\[
\left\{
\begin{array}{rclc}
\Omega M'&=&\Omega M & (1)\\
\left(\vect{\Omega M}~;~\vect{\Omega M'}\right)&=&\theta \text{ à }2k\pi\text{ près }(k\in\Z) &(2)
\end{array}
\right.
\]
\begin{enumerate}
\item Soient $z$, $z'$ et $\omega$ les affixes respectives des points $M$, $M'$ et $\Omega$.

Traduire le relations (1) et (2) en termes de modules et d'arguments.
\item En déduire l'expression de $z'$ en fonction de $z$, $\theta$ et $\omega$

\end{enumerate}

\medskip

\end{exercice}

\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances spécialité) (La Réunion, juin 2010) }

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.
 
Soient A, B et C trois points du plan d'affixes respectives $a,~b,~c$. 

On suppose que A et B sont distincts, ainsi que A et C.
 
\medskip

On rappelle que $\left(\vect{u},~\vect{\text{AB}}\right) = \text{arg}(b - a)\quad [2\pi]$.

\medskip 

Montrer que $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC}}\right) = \text{arg}\left(\dfrac{c - a}{b - a} \right) \quad [2\pi]$. 

\medskip

\end{exercice}

\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances (La Réunion, juin 2010) }

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

\medskip
 
\textbf{Prérequis :}

\medskip
 
On rappelle que l'écriture complexe d'une similitude directe du plan est de la forme $z' = \alpha z + \beta$, où $\alpha$ est un nombre complexe non nul et $\beta$ est un nombre complexe.
 
Soient A, B, C, D quatre points du plan ; on suppose d'une part que les points A et C sont distincts et d'autre part que les points B et D sont distincts.
 
Démontrer qu'il existe une unique similitude directe $s$ telle que $s$(A) = B et $s$(C) = D.

\medskip

\end{exercice}

\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances (Métropole, juin 2010)}

\medskip
 
Démontrer à l'aide de la définition et des deux propriétés ci-dessous que si 
$\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même limite.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] Définition : deux suites sont adjacentes lorsque l'une est croissante, l'autre est décroissante et la différence des deux converge vers $0$. 
\item[] Propriété 1 : si deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes avec $\left(u_{n}\right)$ croissante et $\left(v_{n}\right)$ décroissante alors pour tout entier naturel $n,~ v_{n} \geqslant u_{n}$. 
\item[] Propriété 2 : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\end{exercice}

\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances (Métropole, juin 2010)}

\medskip

\textbf{Prérequis}

\medskip
 
Soit $z$ un nombre complexe tel que $z = a + b\text{i}$ où $a$ et $b$ sont deux nombre réels.
 
On note $\overline{z}$, le nombre complexe défini par $\overline{z} = a - b\text{i}$.

\medskip
 
\textbf{Questions}
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tous nombres complexes $z$ et $z',~ \overline{z \times z'} = \overline{z} \times \overline{z'}$. 
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, et tout nombre complexe $z,~ \overline{z^n} = \left(\overline{z} \right)^n$.
\end{enumerate}

\medskip

\end{exercice}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter*{Bac 2009}\addcontentsline{toc}{chapter}{Bac 2009}

\begin{exercice}
\textbf{Question de cours (Amérique du Sud, novembre 2008) }

\medskip

\emph{Dans cet exercice, on demande aux candidats d'établir, en suivant la démarche proposée, deux résultats de cours.}

\medskip

On rappelle que la fonction $\ln$ est définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$, positive sur  $[1~;~+\infty[$, et vérifie :  

\[\left\{ \begin{array}{l}
\ln 1 = 0\\
\text{Pour tous réels strictement positifs}~x~\text{et}~y,~~\ln (xy)  = \ln x + \ln y\\
\text{Pour tout réel strictement positif} x, ~\left[\ln (x)\right]' = \dfrac{1}{x}\\
\ln (2) \approx 0,69~\text{à}~10^{-2}~\text{près}
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par 
\[f(x) = \sqrt{x} -  \ln x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de $f$ et en déduire que $f$ admet un minimum sur $]0~;~+\infty[$.
		\item En déduire le signe de $f$ puis que, pour tout $x > 1,~  0 < \dfrac{\ln x}{x} < \dfrac{\sqrt{x}}{x}$.
		\item En déduire que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.
             \end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul. 

On considère la fonction $f_{n}$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par :
\[ f_{n}(x) = \dfrac{\ln x}{x^{\frac{1}{n}}}.\]

En utilisant la question 1., déterminer, si elle existe, la limite en $+ \infty$ de la fonction $f_{n}$.
\end{enumerate}

\medskip

\end{exercice}

\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances (Amérique du Nord, juin 2009) }

\medskip

On supposera connus les résultats suivants : 

Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~ b]$ avec $a < b$.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si $u \geqslant  0$ sur $[a~;~ b]$ alors $\displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x \geqslant  0$.
\item[$\bullet~$] Pour tous réels $\alpha$ et $\beta,~ \displaystyle\int_{a}^b [\alpha u(x) + \beta v(x)]\:\text{d}x = \alpha \displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x+ \beta \displaystyle\int_{a}^b v(x)\:\text{d}x$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ avec $a < b$ et si, pour tout $x$ de $[a~;~ b],~ f(x) \leqslant g(x)$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \leqslant  \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x$. 


\medskip

\end{exercice}

\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances (Centres étrangers, juin 2009) }

\medskip

\textbf{Prérequis :} On rappelle que deux évènements $A$ et $B$ sont indépendants pour la probabilité $p$ si et seulement si : $p( A \cap  B) = p(A) \times p(B)$. 

\medskip

Soient $A$ et $B$ deux évènements associés à une expérience aléatoire 
\begin{enumerate}
	\item Démontrer que $p(B) = p(B \cap A)+ p\left(B \cap \overline{A}\right)$. 
	\item Démontrer que, si les évènements $A$ et $B$ sont indépendants pour la probabilité $p$, alors les évènements $\overline{A}$ et $B$ le sont également. 
\end{enumerate}
	
\medskip
	
\end{exercice}

\begin{exercice}
\textbf{Cette question est une restitution organisée de connaissances (Métropole, juin 2009)}

\medskip

\emph{On rappelle que si $n$ et $p$ sont deux nombres entiers naturels tels que $p \leqslant  n$ alors} $\displaystyle\binom{n}{p} = \dfrac{n!}{p!(n - p)!}$.

\medskip

Démontrer que pour tout nombre entier naturel $n$ et pour tout nombre entier naturel $p$ tels que $1 \leqslant p \leqslant n$ on a : $\displaystyle\binom{n}{p} = \displaystyle\binom{n-1}{p-1} + \displaystyle\binom{n-1}{p}$.

\medskip
	
\end{exercice}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter*{Bac 2008}\addcontentsline{toc}{chapter}{Bac 2008}


\begin{exercice}
\textbf{Question de cours (Antilles--Guyane, septembre 2007)}

\medskip
 
Soit  I un intervalle de $\R$.

Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues, dérivables sur I telles que $u'$ et $v'$ soient continues sur I.

Rappeler et démontrer la formule d'intégration par parties sur un intervalle $[a~;~b]$ de I.
\end{exercice}

\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances (Métropole, La Réunion, septembre 2007) }\\

\medskip

La formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions dérivables est supposée connue. On a énoncé ci-dessous deux propositions désignées par P et Q. Dire pour chacune d'elles si vraie ou fausse et justifier.

Dans cet exercice $n$ désigne un entier naturel strictement supérieur à 1.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item P : Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f (x) =x^n$ ; alors $f$ est dérivable sur $\R$, de dérivée $f'$ donnée sur
$\R$ par : $f'(x) = nx^{n-1}$.
\item Q : Soit $u$ une fonction dérivable sur $\R$ et soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f= u^n$ ; alors $f$ est dérivable sur $\R$, de dérivée $f'$ donnée par $f'=  nu^{n-1}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\end{exercice}

\medskip

\begin{exercice}
\textbf{Question de cours (Amérique du Sud, novembre 2007) }\\
\emph{Dans cette question, on demande au candidat d'exposer des connaissances.}

\medskip

On suppose connu le résultat suivant :
 
La fonction $x \mapsto  \text{e}^x$ est l'unique fonction $\varphi$ dérivable sur $\R$ telle que $\varphi' = \varphi$, et $\varphi(0) = 1$.

Soit $a$ un réel donné.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{ax}$ est solution de l'équation $y' = ay$.
		\item Soit $g$ une solution de l'équation $y'= ay$. Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)  = g(x)\text{e}^{-ax}$. Montrer que $h$ est une fonction constante.
		\item  	En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $y' =  ay$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}
\begin{exercice}
\textbf{Question de cours (Nouvelle--Calédonie spécialité novembre 2007)}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ une fonction réelle définie sur $[a~;~+ \infty[$. Compléter la phrase suivante :

\og On dit que $f$ admet une limite finie $\ell$ en $+ \infty$ si \ldots \fg
\item Démontrer le théorème \og des gendarmes \fg{}: soient $f,~g$ et $h$ trois fonctions définies sur $[a~;~+ \infty[$ et $\ell$ un nombre réel. Si $g$ et $h$ ont pour limite commune $\ell$ quand $x$ tend vers $+ \infty$, et si pour tout $x$ assez grand $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$, alors la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ est égale à $\ell$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\medskip

\begin{exercice}
\textbf{Question de cours (Nouvelle--Calédonie mars 2008)}

\medskip

Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l'addition, la multiplication et les puissances ?
 
Démontrer la propriété de compatibilité avec la multiplication.
\end{exercice}

\medskip

\begin{exercice}

\textbf{Démonstration de cours (Pondichéry avril 2008)}

\medskip

Démontrer que la rotation $r$ d'angle $\alpha$ et de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ est la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que

\[z' - \omega = \text{e}^{\text{i}\alpha}(z - \omega).\]

\medskip

\end{exercice}

\begin{exercice}

\textbf{Démonstration de cours (Liban mai 2008)}

\medskip

Prérequis : définition d'une suite tendant vers plus l'infini.

\og  \emph{une suite tend vers $ + \infty $
 si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d'un certain rang, supérieurs à A} \fg.
 
Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non majorée tend vers $ + \infty $.

\medskip

\end{exercice}

\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances (Asie juin 2008)}

\medskip

On suppose connu le résultat suivant : 
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = +\infty$.

Démontrer que : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{-x} = 0.$

\medskip

\end{exercice}

\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances (Centres étrangers juin 2008)}

\medskip

Prérequis : on rappelle que : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$.

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.
\item  En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x^n} =0$.
\end{enumerate}

\medskip
\end{exercice}

\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances (Métropole juin 2008)}

\medskip

On rappelle que pour tout $t \geqslant  0, ~P(X \leqslant  t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$.
 
La fonction $R$ définie sur l'intervalle $[0~ ;~+\infty[$ par $R(t)= P(X> t)$ est appelée fonction de fiabilité.

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que pour tout $t \geqslant 0$ on a $R(t) = \text{e}^{- \lambda t}$.
\item  Démontrer que la variable $X$ suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c'est-à-dire que pour tout réel $s\geqslant 0$, la probabilité conditionnelle $P_{X > t}(X > t + s)$ ne dépend pas du nombre $t \geqslant 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\end{exercice}

\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances (Polynésie juin 2008)}

\medskip

On supposera connus les résultats suivants :

Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ avec $a < b$.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  Si $u \geqslant 0$
 sur $[a ~ ;~ b]$ alors $\displaystyle\int_{a}^{b} u(x)\:\text{d}x  \geqslant  0$.
 
\item  Pour tous réels $\alpha $ et $\beta $
 $\displaystyle\int_{a}^{b} \left[ \alpha u(x) + \beta v(x) \right]\:\text{d}x  = \alpha \displaystyle\int_{a}^{b} u(x)\:\text{d}x  + \beta \displaystyle\int_{a}^{b} v(x)\:\text{d}x$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a ~ ; ~b]$ avec $a < b$ et si, pour tout $x$ de $[a ~;~b],{} f(x) \leqslant  g(x)$, alors $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\:\text{d}x  \leqslant  \displaystyle\int_{a}^{b} g(x)\:\text{d}x.$

\medskip

\end{exercice}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter*{Bac 2007}\addcontentsline{toc}{chapter}{Bac 2007}

\begin{exercice}
\textbf{Question de cours (France, septembre 2006) }\\
\textsc{Pré-requis}\\
Les solutions de l'équation différentielle $y'=-\lambda y$ sont 
les fonctions $x\mapsto C\mathrm{e}^{-\lambda x}$ o\`u $C$ est une 
constante réelle.
\begin{enumerate}
\item Démontrer l'existence et l'unicité de la solution $z$ de 
l'équation différentielle (E'$_{\lambda}$)~:\\
\noindent $z'=-(\lambda z+ 1)$ telle que $z(0) = 1$.

\item Donner l'expression de cette fonction que l'on notera $z_{0}$.
\end{enumerate}
\end{exercice}
%%###
\begin{exercice}
\textbf{Question de cours (Amérique du 
Sud, novembre 2006)}\\
  Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv. On 
prendra pour unité graphique 1 cm.\\

On rappelle que : \og Pour tout vecteur $\vec{w}$ non nul, d'affixe 
$z$ on a : $|z|= \|\vec{w}\|$ et arg $(z) = 
\left(\vec{u},~\vec{w}\right)$ \fg.\\
Soient $M,~ N$ et $P$ trois points du plan, d'affixes respectives 
$m,~ n$ et $p$ tels que $m \neq n$ et $m \neq p$.
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que : arg $\left(\dfrac{p - m}{n - m}\right) 	= 
\left(\vect{MN},~\vect{MP}\right)$.
\item Interpréter géométriquement le nombre $\left|\dfrac{p - 
m}{n - m} \right|$
 \end{enumerate}

\end{exercice}
%%###
\begin{exercice}
\textbf{Question de cours (Nouvelle-Calédonie,  mars 2007)}\\

Pour tout cet exercice, l'espace est muni d'un repère orthonormal 
$(O;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\,)$.\\

établir l'équation cartésienne d'un plan dont on conna\^it un 
vecteur normal $\vect{n}(a,~ b,~ c)$ et un point 
$M_{0}\left(x_{0},~y_{0},~z_{0}\right)$.
\end{exercice}
%%###
\begin{exercice}
\textbf{Question de cours (Antilles-Guyane, juin 2007)}\\
\smallskip
Prérequis : positivité et linéarité de l'intégrale.\\
Soient $a$ et $b$ deux réels d'un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ 
tels que $a\leqslant b$. Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux 
fonctions continues sur $I$ telles que pour tout réel $x$ de 
l'intervalle $I$, $f(x)\geqslant g(x)$, alors 
$\displaystyle\int_{a}^bf(x)\:\text{d}x\geqslant\int_{a}^bg(x)\:\text{d}x$.

\end{exercice}
%%###
\begin{exercice}
\textbf{Question de cours ( Asie, juin 2007)}\\
On rappelle que lorsque $t$ tend vers $+ \infty$, alors	
$\dfrac{\text{e}^t}{t}$ tend vers $+\infty$.\\
Démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} 
= 0$.

\end{exercice}
%%###
\newpage
\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances. (Amérique du
  Nord,   juin 2007)}\\
L'objet de cette question est de démontrer que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 
+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$.\\
On supposera connus les résultats suivants :
\begin{enumerate}
\item[$\bullet$]  la fonction exponentielle est dérivable sur 
$\mathbb{R}$ et est égale \`a sa fonction dérivée ;

\item[$\bullet$] $\mathrm{e}^{0} = 1$ ;

\item[$\bullet$]  pour tout réel $x$, on a $\mathrm{e}^x > x$.

\item[$\bullet$] Soient deux fonctions $\varphi$ et $\psi$ définies 
sur l'intervalle $[A~;~+\infty[$ o\`u $A$ est un réel positif.\\
Si pour tout $x$ de $[A~;~+\infty[$,  $\psi(x)\leqslant \varphi(x)$ et 
si $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\psi(x)=+\infty$, alors 
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\varphi(x)=+\infty$.
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) =\mathrm{e}^x-\dfrac{x^2}{2}$.\\
Montrer que pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[$, $g(x)\geqslant 0$.


\item En déduire que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$
\end{enumerate}
\end{exercice}
%%###
\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances. (Centres étrangers, juin 
2007)}\\
\begin{enumerate}
\item  Démontrer qu' un nombre complexe $z$ est imaginaire pur si 
et seulement si $\overline{z} =  -z$.
\item  Démontrer qu'un nombre complexe $z$ est réel si et 
seulement si $\overline{z}= z$.
\item  Démontrer que pour tout nombre complexe $z$, on a 
l'égalité : $z\overline{z} = |z|^2$.
\end{enumerate}

\end{exercice}
%%###
\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances. (Métropole, juin 2007)}\\
Démontrer la formule d'intégration par parties en utilisant la 
formule de dérivation d'un produit de deux fonctions dérivables, 
\`a dérivées continues sur un intervalle $[a ~;~ b]$.\\

Soient les deux intégrales définies par
\[\text{I} = \displaystyle\int_{0}^{\pi}  \text{e}^x \sin 
x\:\text{d}x~~\text{ et  J}  = \displaystyle\int_{0}^{\pi}  
\text{e}^x \cos x\:\text{d}x.\]
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que I  $= - \text{J}$ et que $\text{I}= \text{J}+ 
\text{e}^{\pi} +1$. 
\item  En déduire les valeurs exactes de I et de J.
\end{enumerate}

\end{exercice}
%%###
\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances. (La Réunion, juin 2007)}\\
On suppose connue la propriété :\\
 \og  Pour tout couple $(x~;~ y)$ de nombres réels strictement 
positifs, on a $\ln (xy) = \ln (x)+ \ln (y)$. \fg\\
En déduire que, pour tout nombre réel $m$ strictement positif, on a: 
\[\ln \left(\sqrt{m}\right) = \dfrac{1}{2}\ln(m).\]

\end{exercice}
%%###
\chapter*{Bac 2006}\addcontentsline{toc}{chapter}{Bac 2006}

\begin{exercice}
\textbf{Question de cours (Nouvelle-Calédonie,  novembre 2005)}\\
Soient $A$ et $B$ deux événements indépendants. Démontrer
que $A$ et $\overline{B}$ sont indépendants.
\end{exercice}
%%###
\begin{exercice}
\textbf{Question de cours (Amérique du Nord, juin 2006)}\\
\emph{Prérequis :  le module d'un nombre complexe $z$ quelconque, noté $|z|$, vérifie $|z|^2 =z\overline{z}$ o\`u $\overline{z}$ est le conjugué de $z$.}\\
Démontrer que :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  pour tous nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$,
~ $| z_{1} \times z_{2}| =| z_{1}| \times | z_{2}|$.
\item[$\bullet~$] pour tout nombre complexe $z$ non nul, 
$\left|\dfrac{1}{z}\right|  = \dfrac{1}{|z|}$.
\end{itemize}
\end{exercice}
%%###
\begin{exercice}
\textbf{Question de cours (Métropole 15 juin 2006)}\\
On prend comme pré-requis les résultats suivants :
\begin{itemize}
\item  Si $z$ et $z'$ sont deux nombres complexes non nuls, alors : arg$(zz') = \text{arg}(z) + \text{arg}(z')$ \`a $2k\pi$ près, avec k entier relatif
\item Pour tout vecteur $\vect{w}$ non nul d'affixe $z$ on a : arg$(z) = \left(\vect{u}~;~\vect{w}\right)$ \`a $2k\pi$ près, avec $k$ entier relatif
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  Soit $z$ et $z'$ des nombres complexes non nuls, démontrer que\\ arg$\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \text{arg}(z)- \text{arg}(z')$ \`a $2k\pi$
près, avec $k$ entier relatif.
\item Démontrer que si A, B, C sont trois points du plan, deux \`a deux distincts, d'affixes respectives $a,~ b,~ c$, on a : arg$\left(\dfrac{c - a}{b - a}\right)  = \left(\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AC}}\right)$ \`a $2k\pi$ près, avec $k$ entier relatif.
\end{enumerate}
\end{exercice}
%%###

\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances. (Pondichéry  3
  avril 2006)}\\
L'espace est muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\,)$.\\
%\begin{center} 
\noindent\textbf{Partie A} (cette partie constitue une restitution organisée
de connaissances)
%\end{center}
Soit $a, b, c$ et $d$ des réels tels que $(a,~b,~c) \neq (0,~0,~0)$.\\
Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$.\\
On considère le point $I$ de coordonnées $\left(x_{I},~ y_{I} ,~z_{I}\right)$ et le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(a,~b,~c)$.\\
Le but de cette partie est de démontrer que la distance de $I$ au plan $\mathcal{P}$ est égale \`a $\dfrac{\left|ax_{I} + by_{I} + cz_{I} + d\right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
\begin{enumerate}
\item  Soit $\Delta$ la droite passant par $I$ et orthogonale au plan $\mathcal{P}$.\\
Déterminer, en fonction de $a,~ b,~ c,~ x_{I},~ y_{I}$ et $z_{I}$, un système d'équations paramétriques de $\Delta$.
\item On note $H$ le point d'intersection de $\Delta$ et $\mathcal{P}$.
\begin{enumerate}
\item Justifier qu'il existe un réel $k$ tel que $\vect{IH} = k\vect{n}$.
\item Déterminer l'expression de $k$ en fonction de $a,~ b,~  c,~ d,~ x_{I},~ y_{I}$ et $z_{I}$.
\item En déduire que $IH = \dfrac{\left|ax_{I} + by_{I} + cz_{I} + d\right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exercice}
%%###
\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances. (Antilles-Guyane,  juin 2006)}\\
\textbf{Pré-requis:}
\begin{itemize}
\item la fonction logarithme népérien est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ et sa fonction dérivée est la fonction inverse $\left(x\mapsto\dfrac{1}{x}\right)$.
\item $\ln(1)=0$
\end{itemize}
Démontrer que pour tous réels strictement positifs $a$ et  $x$, 
\[
\ln(ax)=\ln(a)+\ln(x).
\]
Utiliser le résultat précédent pour démontrer que
\[
\ln\left(\dfrac1b\right)=-\ln(b) \textrm{ et que }\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)
\]

\end{exercice}
%%###
\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances. (Asie 
juin 2006)}\\
Prérequis : On sait que si $z$ et $z'$ sont deux nombres complexes non nuls, alors : 

\[\text{arg}(zz') = \text{arg}(z) + \text{arg}(z').\]

\noindent Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls. Démontrer que :

\[ \text{arg}\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \text{arg}(z) - \text{arg}(z')\]


\end{exercice}
%%###
\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances. (Centres étrangers, juin 2006)}\\
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants :

\textbf{i.}  Si $z$ est un nombre complexe non nul, on a l'équivalence suivante :

\[\left\{\begin{array}{l cl}
|z|&=&r\\
\text{arg}~z &=& \theta~\text{\`a}~2\pi~\text{près}\\
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l cl}z&=&r(\cos \theta + \text{i}\sin \theta)\\
r & > & 0\\ \end{array}\right.\]
\textbf{ii.} Pour tous nombres réels $a$ et $b$ :
\[\left\{\begin{array}{l cl}
\cos (a + b)&=&\cos a\cos b - \sin a\sin b\\
\sin (a + b)&=&\sin a\cos b + \sin b \cos a\\
\end{array}\right.\]
\end{minipage}}\\

\vspace{2ex}
\noindent Soient $z_{1}$ et $z_{2}$ deux nombres complexes non nuls. Démontrer les relations :

\[\left|z_{1}z_{2}\right|  = \left|z_{1}\right| \times \left|z_{2}\right|~\text{et arg}\left(z_{1}z_{2}\right) = \text{arg}\left(z_{1}) + \text{arg}(z_{2}\right)~\text{\`a}~2\pi~\text{près}\]

\end{exercice}

%%%%__________________________________________


\chapter*{Bac 2005}\addcontentsline{toc}{chapter}{Bac 2005}

\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances (La Réunion, juin 2005)}\\
On se propose de démontrer qu'il existe une seule fonction $f$ dérivable sur $\R$ vérifiant la condition :

\[(\text{C})\quad \left\{\begin{array}{l c l}
 f(- x)f'(x)& =& 1~\text{ pour tout nombre réel}~ x,\\
f(0) &=& - 4\\
 \end{array}\right.\]
 
\noindent (où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$) et de trouver cette fonction.
 
\begin{enumerate}
\item On suppose qu'il existe une fonction $f$ satisfaisant la condition (C) et on considère alors la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)= f(- x)f(x)$.

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $f$ ne s'annule pas sur $\R$. 
		\item Calculer la fonction dérivée de la fonction $g$. 
		\item En déduire que la fonction $g$ est constante et déterminer sa valeur. 
		\item On considère l'équation différentielle (E) $y' = \dfrac{1}{16}y$. Montrer que la fonction $f$ est solution de cette équation et qu'elle vérifie $f(0) = - 4$.
	\end{enumerate}

\item \textbf{Question de cours}

\begin{enumerate}\item On sait que la fonction $x \longmapsto \text{e}^{\frac{x}{16}}$ est solution de l'équation différentielle (E). Démontrer alors que l'ensemble des solutions de l'équation (E) est l'ensemble des fonctions, définies sur $\R$, de la
forme $x \longmapsto  K\text{e}^{\frac{x}{16}}$, où $K$ est un nombre réel quelconque.

\item Démontrer qu'il existe une unique solution de l'équation différentielle (E) prenant la valeur $-4$ en~0.

\end{enumerate}

\item Déduire des questions précédentes qu'il existe une seule fonction dérivable sur $\R$ satisfaisant la condition (C) et préciser quelle est cette fonction.

\end{enumerate}

%%________
% \textbf{Question de cours (La Réunion, juin 2005)}\\
% On considère l'équation différentielle (E) $y' = \dfrac{1}{16}y$.
% \begin{enumerate}\item On sait que la fonction $x \longmapsto \text{e}^{\frac{x}{16}}$ est solution de l'équation différentielle (E). Démontrer alors que l'ensemble des solutions de l'équation (E) est l'ensemble des fonctions, définies sur $\R$, de la
% forme $x \longmapsto  K\text{e}^{\frac{x}{16}}$, où $K$ est un nombre réel quelconque 

% \item Démontrer qu'il existe une unique solution de l'équation différentielle (E) prenant la valeur $-4$ en~$0$.

% \end{enumerate}
\end{exercice}
%%###
\begin{exercice}
\textbf{Question de cours ( Polynésie, juin 2005)}\\
\textsl{Prérequis : définition d'une suite tendant vers} $+ \infty$. 

\og \textsl{Une suite tend vers} $+ \infty$ \textsl{si, pour tout réel $A$, tous les termes de la suite sont,  \`a partir d'un certain rang, supérieurs  \`a $A$} \fg{}. 

Démontrer le théorème suivant : \textsl{ une suite croissante non majorée tend vers}  $+\infty$.
\end{exercice}
%%###
%%
%%###
\begin{exercice}
\textbf{Restitution organisée de connaissances. ( France juin 2005)}\\
\textsl{Cet exercice constitue une restitution organisée de connaissances.}\\
\textbf{Partie A : question de cours}\\
On suppose connus les résultats suivants : 
\begin{dingautolist}{172}
\item deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes lorsque : l'une est croissante, l'autre est décroissante et $u_{n} - v_{n}$ tend vers 0 quand $n$ tend vers $+ \infty$ ;
\item si $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont deux suites adjacentes telles que $\left(u_{n}\right)$ est croissante et $\left(v_{n}\right)$ est décroissante, alors pour tout $n$ appartenant  \`a $\N$, on a $u_{n} \leqslant  v_{n}$ ;
\item toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée est convergente.
\end{dingautolist}

\noindent Démontrer alors la proposition suivante :

\begin{center} \og Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la m\^eme limite \fg{}.\end{center}

\noindent \textbf{Partie B}\\
On considère une suite $\left(u_{n}\right)$, définie sur $\N$ dont aucun terme n'est nul. On définit alors la suite $\left(v_{n}\right)$ sur $\N$ par $v_{n} = \dfrac{- 2}{u_{n}}$.\\
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera  \`a fournir un contre exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

\begin{enumerate}\item Si $\left(u_{n}\right)$ est convergente, alors $\left(v_{n}\right)$ est convergente.

\item Si $\left(u_{n}\right)$ est minorée par 2, alors $\left(v_{n}\right)$ est minorée par $-1$.

\item Si $\left(u_{n}\right)$ est décroissante, alors $\left(v_{n}\right)$ est croissante.

\item Si $\left(u_{n}\right)$ est divergente, alors $\left(v_{n}\right)$ converge vers zéro.

\end{enumerate}

\end{exercice}
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\begin{exercice}
On considère la fonction $f$, définie sur $[1~;~ + \infty[$ par

\[f(t) = \dfrac{\text{e}^t}{t}.\]

\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier la continuité de $f$ sur $[1~;~ + \infty[$. 

\item Montrer que $f$ est croissante sur $[1~;~ + \infty[$.

\end{enumerate}

\item \textbf{Restitution organisée de connaissances. (Pondichéry  31 mars 2005)}\\
On pourra raisonner en s'appuyant sur le graphique fourni.

 Pour tout réel $x_{0}$ de $[1~;~ + \infty[$, on note $\mathcal{A}(x_{0})$ l'aire du domaine délimité par la courbe représentant $f$ dans un repère orthogonal, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = x_{0}$.

 On se propose de démontrer que la fonction ainsi définie sur $[1~;~ + \infty[$ est une primitive de~$f$.

\begin{enumerate} \item Que vaut $\mathcal{A}(1)$ ?

\item Soit $x_{0}$ un réel quelconque de $[1~;~ + \infty[$ et $h$ un réel strictement positif. Justifier l'encadrement suivant :

\[f(x_{0}) \leqslant \dfrac{ \mathcal{A}(x_{0}+ h) - \mathcal{A}(x_{0})}{h}  \leqslant f(x_{0} + h).\]

\item Lorsque $x_{0} >1$, quel encadrement peut-on obtenir pour $h < 0$ et tel que $x_{0} + h \geqslant  1$ ?

\item En déduire la dérivabilité en $x_{0}$ de la fonction $\mathcal{A}$ ainsi que le nombre dérivé en $x_{0}$ de la fonction~$\mathcal{A}$.

\item Conclure.

\begin{center}\psset{xunit=2.5cm, yunit=1.2cm}\begin{pspicture}(2.5,5)
\psaxes{->}(0,0)(2.5,5.2)
\psline[linestyle=dotted](1,0)(1,2.71828)(0,2.71828)
\psline[linestyle=dotted](1.2,0)(1.2,2.7668)
\psline[linestyle=dotted](1.35,0)(1.35,2.8574)
\psplot[plotstyle=curve]{0.5}{2.5}{2.71828 x exp x div}
\uput[l](0,2.71828){e}
\uput[d](1.2,0){$x_{0}$} \uput[d](1.45,0.08){$x_{0} + h$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exercice}

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\end{document}



