%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{multicol} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %%% Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \setlength\parindent{0mm} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Métropole La Réunion - septembre 2009}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Métropole \& La Réunion}} \rfoot{\small septembre 2009} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures } \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole \& La Réunion 10 septembre 2009~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par \[f(x) = \ln \left(x^2 + 4\right).\] \medskip \textbf{PARTIE A} \medskip \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par $g(x) = f(x) - x$. \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. \item Montrer que sur l'intervalle $[2~;~3]$ l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution que l'on notera $\alpha$. Donner la valeur arrondie de $\alpha$ à 10$^{-1}$ . \item Justifier que le nombre réel $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $f(x) = x$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B} \medskip \emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \smallskip On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et pour tout entier naturel $n$ par : $u_{n+1} = f(u_{n})$. \smallskip La courbe $\mathscr{C}$ représentative de la fonction $f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y = x$ sont tracées sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie). \medskip \begin{enumerate} \item À partir de $u_{0}$, en utilisant la courbe $\mathscr{C}$ et la droite $\Delta$, on a placé $u_{1}$ sur l'axe des abscisses. De la même manière, placer les termes $u_{2}$ et $u_{3}$ sur l'axe des abscisses en laissant apparents les traits de construction. \item Placer le point $I$ de la courbe $\mathscr{C}$ qui a pour abscisse $\alpha$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $1\leqslant u_{n}\leqslant \alpha$. \item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge. \item Déterminer sa limite. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. \medskip \begin{enumerate} \item On désigne par $\mathscr{P}$ le plan d'équation $x + y -1 = 0$ et par $\mathscr{P}'$ le plan d'équation $y + z - 2 = 0$. Justifier que les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}'$ sont sécants et vérifier que leur intersection est la droite $\mathscr{D}$, dont une représentation paramétrique est : $\left\{\begin{array}{l}x = 1- t\\y = \phantom{1 - }t\\z = 2 - t\end{array}\right.$, où $t$ désigne un nombre réel. \item \begin{enumerate} \item Déterminer une équation du plan $\mathscr{R}$ passant par le point O et orthogonal à la droite $\mathscr{D}$. \item Démontrer que le point I, intersection du plan $\mathscr{R}$ et de la droite $\mathscr{D}$, a pour coordonnées $(0~;~1~;~1)$. \end{enumerate} \item Soient A et B les points de coordonnées respectives $\left(-\dfrac{1}{2}~;~0~;~\dfrac{1}{2}\right)$ et $(1~;~1~;~0)$. \begin{enumerate} \item Vérifier que les points A et B appartiennent au plan $\mathscr{R}$. \item On appelle A$'$ et B$'$ les points symétriques respectifs des points A et B par rapport au point I. Justifier que le quadrilatère ABA' B' est un losange. \item Vérifier que le point S de coordonnées $(2~;~-1~;~3)$ appartient à la droite $\mathscr{D}$. \item Calculer le volume de la pyramide SABA$'$B$'$. \emph{On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide de base d'aire $b$ et de hauteur $h$ est: $V=\dfrac{1}{3}b\times h$}. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{PARTIE A} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par $f(x) =\mathrm{e}^{x}$. On appelle $\mathscr{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal $\left(O~;~\vect{\imath}~;~\vect{\jmath}\right)$. \begin{enumerate} \item Soit $a$ un nombre réel. Démontrer que la tangente à la courbe $\mathscr{C}_{f}$ au point $M$ d'abscisse $a$ coupe l'axe des abscisses au point $P$ d' abscisse $a -1$. \item Soit $N$ le projeté orthogonal du point $M$ sur l'axe des abscisses. Démontrer que $\vect{NP} = -\vect{\imath}$ \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE B} \medskip Soit $g$ une fonction dérivable sur l'ensemble des nombres réels telle que $g'(x)\neq 0$ pour tout nombre réel $x$. On appelle $\mathscr{C}_{g}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormal \Oij. Soit $a$ un nombre réel. On considère le point $M$ de la courbe $\mathcal{C}_{g}$ d'abscisse $a$ et le point $N$ projeté orthogonal du point $M$ sur l'axe des abscisses. Soit $P$ le point d'intersection de la tangente $T_{a}$ à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point $M$ avec l'axe des abscisses. Le graphique ci-dessous illustre la situation de la partie B. %Courbe \begin{center} \psset{xunit=2.5cm,yunit=2.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-1.5,-0.25)(3,2.4) \psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 2pt,subticks=2](0,0)(-1,-0.25)(3,2.3) \uput[dl](0,0){$O$} \psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 2pt,subticks=2]{->}(0,0)(0,0)(1,1) \uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.0}{3.0}{2*2.718281828^(-(x+1))} \psplot{-1}{3}{0.49-0.23*x} \psline[linestyle=dashed](1.18,0.23)(1.18,0) \rput[bl](-0.96,1.93){$\mathcal{C}_{g}$} \psdots(1.18,0.23) \uput[u](1.18,0.23){$M$} \psdots(1.18,0) \uput[d](1.18,0){$N$} \psdots(2.13,0) \uput[d](2.13,0){$P$} \uput[d](2.9,0){$x$} \uput[l](0,2.5){$y$} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item Démontrer que le point P a pour coordonnées $\left(a-\dfrac{g(a)}{g'(a)}~;~0\right)$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Existe-t-il une fonction $g$ vérifiant $g(0) = 2$ et $\vect{NP} =\vect{i}$ ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Un réparateur de vélos a acheté 30\,\% de son stock de pneus à un premier fournisseur, 40\,\% à un deuxième et le reste à un troisième. Le premier fournisseur produit 80\,\% de pneus sans défaut, le deuxième 95\,\% et le troisième 85\,\%. \medskip \begin{enumerate} \item Le réparateur prend au hasard un pneu de son stock. \begin{enumerate} \item Construire un arbre de probabilité traduisant la situation, et montrer que la probabilité que ce pneu soit sans défaut est égale à $0,875$. \item Sachant que le pneu choisi est sans défaut, quelle est la probabilité qu'il provienne du deuxième fournisseur ? On donnera la valeur arrondie du résultat à 10$^{-3}$. \end{enumerate} \item Le réparateur choisit dix pneus au hasard dans son stock. On suppose que le stock de pneus est suffisamment important pour assimiler ce choix de dix pneus à un tirage avec remise de dix pneus. Quelle est alors la probabilité qu'au plus un des pneus choisis présente un défaut ? On donnera la valeur arrondie à 10$^{-3}$. \item On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de kilomètres parcourus par un pneu, sans crevaison. On fait l'hypothèse que $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. On rappelle que, pour tout nombre réel $k$ positif : $P(X\leqslant k) = \displaystyle\int_{0}^k\lambda\text{e}^{-\lambda x}\text{ d}x$ \begin{enumerate} \item Montrer que $P(500\leqslant X \leqslant 1000) =\text{e}^{- 500\lambda}-\text{e}^{-\np{1000}\lambda}$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}. \medskip La probabilité que le pneu parcoure entre 500 et \np{1000} kilomètres sans \mbox{crevaison} étant égale à $\dfrac{1}{4}$, déterminer la valeur arrondie à $10^{-4}$ du paramètre $\lambda$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le reste dans la division euclidienne de \np{2009} par 11. \item Déterminer le reste dans la division euclidienne de $2^{10}$ par 11. \item Déterminer le reste dans la division euclidienne de $2^{\np{2009}} + \np{2009}$ par 11. \end{enumerate} \item On désigne par $p$ un nombre entier naturel. On considère pour tout entier naturel non nul n le nombre $A_{n} = 2^{n} + p$. On note $d_{n}$ le PGCD de $A_{n}$ et $A_{n+1}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $d_{n}$ divise $2^{n}$. \item Déterminer la parité de $A_{n}$ en fonction de celle de $p$. Justifier. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Déterminer la parité de $d_{n}$ en fonction de celle de $p$. En déduire le PGCD de $2^{\np{2009}} + \np{2009}$ et $2^{\np{2010}} + \np{2009}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE DE L'EXERCICE 1} (à rendre avec la copie) \end{center} \begin{center} \psset{xunit=3cm,yunit=3cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=2pt 3,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-1,-1)(3.2,3.2) \psline[linewidth=0.8pt](-1,0)(3,0)%axe horizontal \psline[linewidth=0.8pt](0,-1)(0,3)%axe vertical %repère \uput[dr](0,0){O} \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{i}$} \uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.0}{3.0}{ln(x^2+4)} \psplot[plotpoints=200]{-1.0}{3.0}{x} \uput[d](1,0){$u_{0}$} \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1.61) \uput[d](2.8,2.46){\blue $\mathcal{C}$} \uput[ul](2.5,2.5){$\Delta$} \psline[linestyle=dashed](1,1.61)(1.61,1.61) \psline[linestyle=dashed](1.61,1.61)(1.61,0) \uput[d](1.61,0){$u_{1}$} \end{pspicture*} \end{center} \end{document}