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%%% Tapuscrit : Denis Vergès 
%%% dernière mise à jour : novembre 2017
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\begin{document}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
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\lfoot{\small{Métropole \& La Réunion}}
\rfoot{\small septembre 2009}
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\thispagestyle{empty}

\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures }

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole \& La Réunion 
~\decofourright\\septembre 2009}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = \ln \left(x^2 + 4\right).\]

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
\item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par $g(x) = f(x) - x$.
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
		\item Montrer que sur l'intervalle $[2~;~3]$ l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution que l'on notera $\alpha$.

Donner la valeur arrondie de $\alpha$ à 10$^{-1}$ .
		\item Justifier que le nombre réel $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $f(x) = x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\smallskip

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et pour tout entier naturel $n$ par : \\
$u_{n+1} = f(u_{n})$.

La courbe $\mathscr{C}$ représentative de la fonction $f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y = x$ sont tracées sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  À partir de $u_{0}$, en utilisant la courbe $\mathscr{C}$ et la droite $\Delta$, on a placé $u_{1}$ sur l'axe des abscisses. De la même manière, placer les termes $u_{2}$ et $u_{3}$ sur l'axe des abscisses en laissant apparents les traits de construction.

\item Placer le point $I$ de la courbe $\mathscr{C}$ qui a pour abscisse $\alpha$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $1\leqslant u_{n}\leqslant  \alpha$.
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge. 
		\item Déterminer sa limite. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On désigne par $\mathscr{P}$ le plan d'équation $x + y -1 = 0$ et par $\mathscr{P}'$ le plan d'équation $y + z - 2 = 0$.

Justifier que les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}'$ sont sécants et vérifier que leur intersection est la droite $\mathscr{D}$, dont une représentation paramétrique est : $\left\{\begin{array}{l}x = 1- t\\y = t\\z = 2 - t\end{array}\right.$, où $t$ désigne un nombre réel.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation du plan $\mathscr{R}$ passant par le point O et orthogonal à la droite $\mathscr{D}$.

		\item Démontrer que le point I, intersection du plan $\mathscr{R}$ et de la droite $\mathscr{D}$, a pour coordonnées $(0~;~1~;~1)$. 
	\end{enumerate}
\item Soient A et B les points de coordonnées respectives $\left(-\dfrac{1}{2}~;~0~;~\dfrac{1}{2}\right)$ et $(1~;~1~;~0)$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que les points A et B appartiennent au plan $\mathscr{R}$.
		\item On appelle A$'$ et B$'$ les points symétriques respectifs des points A et B par rapport au point I.
			
Justifier que le quadrilatère ABA' B' est un losange.
		\item Vérifier que le point S de coordonnées $(2~;~-1~;~3)$ appartient à la droite $\mathscr{D}$.
		\item Calculer le volume de la pyramide SABA$'$B$'$.
		
\emph{On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide de base d'aire $b$ et de hauteur $h$ est: $V=\dfrac{1}{3}b\times h$}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par $f(x) =\mathrm{e}^{x}$.

On appelle $\mathscr{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal $\left(O~;~\vect{\imath}~;~\vect{\jmath}\right)$.
\begin{enumerate}
\item  Soit $a$ un nombre réel. Démontrer que la tangente à la courbe $\mathscr{C}_{f}$ au point $M$ d'abscisse $a$ coupe l'axe des abscisses au point $P$ d' abscisse $a -1$.
\item  Soit $N$ le projeté orthogonal du point $M$ sur l'axe des abscisses. Démontrer que $\vect{NP} = -\vect{\imath}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

Soit $g$ une fonction dérivable sur l'ensemble des nombres réels telle que $g'(x)\neq 0$ pour tout nombre réel $x$.

On appelle $\mathscr{C}_{g}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormal \Oij.

Soit $a$ un nombre réel. On considère le point $M$ de la courbe $\mathcal{C}_{g}$ d'abscisse $a$ et le point $N$ projeté orthogonal du point $M$ sur l'axe des abscisses.

Soit $P$ le point d'intersection de la tangente $T_{a}$ à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point $M$ avec l'axe des abscisses.

Le graphique ci-dessous illustre la situation de la partie B.

%Courbe
\begin{center}
\psset{xunit=2.5cm,yunit=2.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.5,-0.25)(3,2.4)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 2pt,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-0.25)(3,2.3)
\uput[dl](0,0){$O$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.0}{3.0}{2*2.718281828^(-(x+1))}
\psplot{-1}{3}{0.49-0.23*x}
\psline[linestyle=dashed](1.18,0.23)(1.18,0)
\rput[bl](-0.96,1.93){$\mathcal{C}_{g}$}
\psdots(1.18,0.23) \uput[u](1.18,0.23){$M$}
\psdots(1.18,0) \uput[d](1.18,0){$N$}
\psdots(2.13,0) \uput[d](2.13,0){$P$}
\uput[d](2.9,0){$x$}
\uput[l](0,2.5){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le point P a pour coordonnées $\left(a-\dfrac{g(a)}{g'(a)}~;~0\right)$.
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Existe-t-il une fonction $g$ vérifiant $g(0) = 2$ et $\vect{NP} =\vect{i}$ ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un réparateur de vélos a acheté 30\,\% de son stock de pneus à un premier fournisseur, 40\,\% à un deuxième et le reste à un troisième.

Le premier fournisseur produit 80\,\% de pneus sans défaut, le deuxième 95\,\% et le troisième 85\,\%.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le réparateur prend au hasard un pneu de son stock.
	\begin{enumerate}
		\item  Construire un arbre de probabilité traduisant la situation, et montrer que la probabilité que ce pneu soit sans défaut est égale à $0,875$.
		\item Sachant que le pneu choisi est sans défaut, quelle est la probabilité qu'il provienne du deuxième fournisseur ? On donnera la valeur arrondie du résultat à 10$^{-3}$.
	\end{enumerate}
\item Le réparateur choisit dix pneus au hasard dans son stock. On suppose que le stock de pneus est suffisamment important pour assimiler ce choix de dix pneus à un tirage avec remise de dix pneus.

Quelle est alors la probabilité qu'au plus un des pneus choisis présente un défaut ? On donnera la valeur arrondie à 10$^{-3}$.
\item On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de kilomètres parcourus par un pneu, sans crevaison. On fait l'hypothèse que $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

On rappelle que, pour tout nombre réel $k$ positif : $P(X\leqslant k) = \displaystyle\int_{0}^k\lambda\text{e}^{-\lambda x}\text{ d}x$
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $P(500\leqslant X \leqslant 1000) =\text{e}^{- 500\lambda}-\text{e}^{-\np{1000}\lambda}$.
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.

\medskip

La probabilité que le pneu parcoure entre 500 et \np{1000} kilomètres sans \mbox{crevaison} étant égale à $\dfrac{1}{4}$, déterminer la valeur arrondie à $10^{-4}$ du paramètre $\lambda$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le reste dans la division euclidienne de \np{2009} par 11.
		\item Déterminer le reste dans la division euclidienne de $2^{10}$ par 11. 
		\item Déterminer le reste dans la division euclidienne de $2^{\np{2009}} + \np{2009}$ par 11. 
	\end{enumerate}
\item On désigne par $p$ un nombre entier naturel. On considère pour tout entier naturel non nul n le nombre $A_{n} = 2^{n} + p$.

On note $d_{n}$ le PGCD de $A_{n}$ et $A_{n+1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $d_{n}$ divise $2^{n}$.
		\item Déterminer la parité de $A_{n}$ en fonction de celle de $p$. Justifier. 
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Déterminer la parité de $d_{n}$ en fonction de celle de $p$.

En déduire le PGCD de $2^{\np{2009}} + \np{2009}$ et $2^{\np{2010}} + \np{2009}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE DE L'EXERCICE 1}

(à rendre avec la copie)
\end{center}
\begin{center}
\psset{xunit=3cm,yunit=3cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(3.2,3.2)
\psline[linewidth=0.8pt](-1,0)(3,0)%axe horizontal
\psline[linewidth=0.8pt](0,-1)(0,3)%axe vertical
%repère
\uput[dr](0,0){O}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{i}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.0}{3.0}{ln(x^2+4)}
\psplot[plotpoints=200]{-1.0}{3.0}{x}
\uput[d](1,0){$u_{0}$}
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1.61)
\uput[d](2.8,2.46){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[ul](2.5,2.5){$\Delta$}
\psline[linestyle=dashed](1,1.61)(1.61,1.61)
\psline[linestyle=dashed](1.61,1.61)(1.61,0)
\uput[d](1.61,0){$u_{1}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{document}