\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
%tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Baccalauréat SMS}}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS 
 Antilles--Guyane juin 2003~\decofourright}} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

Devant le nombre de cas croissant de diabètes aux USA, une enquête sur la santé de la population a été effectuée. Les résultats suivants ont été obtenus en interrogeant \np{3000} personnes qui ont entre 18 et 90~ans

$\bullet$	$36\,\%$ des personnes interrogées ont entre 18 et 39 ans et parmi celles-ci 5\,\% sont diabétiques ;

$\bullet$	Le nombre de diabétiques ayant entre 40 et 59 ans est le
 triple de celui des diabétiques ayant entre 18 et 39 ans ;

$\bullet$	Au total, le nombre de personnes non diabétiques est 
\np{2575} mais, parmi elles, seulement 987~personnes ont entre 40 et 59~ans.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Reproduire et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
			&Diabétiques&	Non diabétiques&	Total\\ \hline
18 - 39 ans	&			&			&\\ \hline
40 - 59 ans	&			&			&\np{1149}\\ \hline			
60 - 90 ans	&			&			&\\ \hline
Total	    &			&\np{2575}	&\np{3000}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Dans les questions suivantes, les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie à 0,01 près.

\item On choisit au hasard, une personne parmi les 3\:000 interrogées,
 chacune ayant la même probabilité d'être choisie.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité des évènements suivants :

$A$ : \og La personne choisie est diabétique \fg

$B$ : \og La personne choisie a entre 40 et 59 ans \fg

$C$ : \og La personne choisie est diabétique et a entre 40 et 59 ans \fg{}.
		\item Définir par une phrase les évènements $\overline{A}$ et 
$A \cup B$.
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements $\overline{A}$ et $A \cup B$.
	\end{enumerate}
\item On choisit une personne au hasard parmi les personnes âgées
 de 60 à 90~ans. Quelle est la probabilité pour qu'elle soit diabétique ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle I  = [15~;~40] par

\[f(x) = - 3 x - 318 + 120 \ln(x + 10).\]

\begin{enumerate} 
\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = 
\dfrac{3(30-x)}{x + 10}$.
 \item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre l'équation $f'(x) = 0$.
		\item Déterminer le signe de $f'(x)$ à l'aide d'un tableau de signes.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle I.
	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant 
en arrondissant les résultats à 0,1 près.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$	&15	&20	&25	&30	&35	&0\\ \hline
$f(x)$	&23,3	&	&	&	&33,8	& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item Tracer la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté
 à un repère orthogonal en prenant comme unités graphiques
 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 2 cm pour 5 unités sur l'axe des abscisses ;
\item 1 cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées ;  on graduera cet axe à partir  de 20.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B Application}

\medskip

On suppose que le pourcentage de femmes fumant du tabac quotidiennement en fonction de l'âge $x$ (en années), depuis 15 ans jusqu'à 40 ans, est le nombre $f(x)$ donné par la formule suivante :

\[f(x) =  - 3 x - 318 + 120 \ln(x + 10).\]

\begin{enumerate} 
\item Déterminer l'âge pour lequel le pourcentage de fumeuses est
 maximal. Justifier la réponse.
\item Calculer le pourcentage de femmes de 23 ans fumant du tabac
 quotidiennement ; donner la réponse à 1\,\% près.
\item À l'aide du graphique de la \textbf{Partie A} et en faisant
 apparaître les traits de construction nécessaires, déterminer à partir de quel  âge plus d'un quart des femmes fument quotidiennement (donner la réponse à  un an près). 
\end{enumerate} 
\end{document}  