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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Baccalauréat SMS}}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Antilles--Guyane  juin 2005 \decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice } \hfill 8 points}

\medskip

L'apport nutritionnel conseillé en calcium est $900$ mg par jour.

Une enquête sur l'apport en calcium quotidien en mg (noté AC)~auprès
d'une population de \np{25000} personnes, comprenant \np{13000} femmes et
\np{12000} hommes, a permis d'établir les résultats suivants :

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $984$ hommes et \np{2132} femmes ont un apport en calcium strictement inférieur à $600$ mg.
\item[$\bullet$] $34,1$\,\% des hommes et $43,8$\,\% des femmes ont un apport en calcium supérieur ou égal à $600$ mg et strictement inférieur à $900$ mg.
\end{itemize}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau ci-dessous~:
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 								&Hommes &Femmes &Total \\ \hline
$0 \leqslant \text{AC} < 600$ 	&  		&  		&  \\ \hline
$600 \leqslant \text{AC}< 900$	&  		&  		&  \\ \hline
$900 \leqslant  \text{AC}$  	&  		&  		&  \\ \hline
Total 							&  		&  		&\np{25000} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\emph{Dans la suite de l'exercice les résultats seront arrondis à près}.

\item On choisit au hasard une personne parmi les \np{25000}~personnes
interrogées dans l'enquête précédente.

On considère les évènements suivants~

$\bullet~~$$A$ : \og La personne a un apport en calcium strictement inférieur à $600$ mg par jour \fg{};

$\bullet~~$$B$ : \og La personne est une femme \fg.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements $A$ et $B$.
		\item Définir par une phrase chacun des évènements $A \cap B$ et $\overline{A}$.
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard une personne dont l'apport en calcium est
supérieur ou égal à $600$ mg. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
\item On choisit une femme au hasard. Quelle est la probabilité que
son apport en calcium soit supérieur ou égal à $600$ mg~?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Probl\`eme} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~8] par

\[f(t) = -10\text{e}^{- 0,5t} - 2t + 17.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(t)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'inéquation $5\text{e}^{-0,5t} - 2 > 0$ sur [0~;8]
(on montrera que cette inéquation est équivalente à $t < 2\ln(2,5)$.
		\item On note $a$ le nombre $2\ln(2,5)$.
Donner une valeur approchée de $a$ à $0,01$ près.
		\item Déduire des questions précédentes le tableau de
variations de $f$ sur [0~;~8].

On donnera les valeurs exactes de $f(0)$ et $f(8)$, ainsi qu'une valeur approchée de $f(a)$ à $0,01$ près.
	\end{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (on arrondira
les valeurs à $0,01$ près)~:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$ 	&0 	&1 		&1,83 	&3 	&4 		&5 	&7 		&8 \\ \hline
$f(t)$ 	& 	&8,93 	& 		& 	&7,65 	& 	&2,70 	& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans le
plan rapporté à un repère orthogonal tel que~:

$\bullet~~$1 cm représente 0,5 unité sur l'axe des abscisses~;

$\bullet~~$1 cm représente une unité sur l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On injecte une substance dans le sang d'un individu. On considère
que $f(t)$, où $f$ est la fonction définie à la partie A,
représente une bonne approximation du taux de la substance
(exprimé en mg.L$^{-1}$) présente dans le sang en fonction du temps $t$
(exprimé en heures).

On donnera des valeurs approchées à $0,1$ près, puis on convertira
les temps en heures et en minutes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À quel moment le taux est-il maximum~? Que vaut alors ce maximum~?

\medskip

\emph{Dans les questions suivantes, on fera apparaître les traits
de construction utiles sur le graphique de la Partie A.}
\item Déterminer graphiquement le moment où le taux vaut la moitié de
la valeur maximale.
\item Déterminer graphiquement la durée pendant laquelle le taux
est supérieur à 8 mg.L$^{-1}$.
\end{enumerate}
\end{document} 