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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Antilles--Guyane juin 2006~\decofourright}}

\medskip

L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.
Une feuille de papier millimétré est nécessaire pour le problème.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice } \hfill 8 points}

\medskip

Une maladie atteint $3$\,\% d'une population de \np{30000}~habitants. On soumet cette population à un test.

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item parmi les bien portants, $2$\,\%
 ont un test positif;
\item 	parmi les individus malades, $49$ ont un test négatif.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Reproduire puis compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
				&Malades&Bien portants	&Total\\ \hline
Test positif	&		&				&  \\ \hline
Test négatif	&		&				&  \\ \hline
Total			&		&				&\np{30000}  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\emph{Dans les questions suivantes, les résultats numériques demandés seront donnés à $10^{-3}$ près.}

\item   On choisit au hasard un individu de cette population. On considère les évènements T et M suivants :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item  $T$  : \og le test est positif pour l'individu choisi \fg ;
\item  $M$ :  \og l'individu choisi est malade \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements $T$ et $M$.
		\item Définir par une phrase l'évènement $\overline{T}$	et calculer sa probabilité.
		\item Définir par une phrase chacun des évènements $M \cup T$ et $\overline{M}~ \cap$ T.
		\item Calculer les probabilités des évènements $M \cup T$ et $M  \cap~ \overline{T}$.
	\end{enumerate}
\item  	On décide d'hospitaliser tous les individus qui ont un test positif. On choisit au hasard un individu hospitalisé. Quelle est la probabilité qu'il soit bien portant ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A :  étude et représentation graphique d'une fonction}\\
On appelle $f$ la fonction numérique de variable réelle définie sur [0~;~5] par

\[ f(t) =  t\text{e}^{ 2 - t}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer $f'(t)$ et vérifier que $f'(t) = (1 - t)\text{e}^{ 2 - t}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(t)$ sur [0~;~5].
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ (dans ce tableau ne figureront que des valeurs exactes).
 	\end{enumerate}
\item Recopier sur la copie en le complétant le tableau de valeurs suivant (les valeurs seront données sous forme décimale arrondie à $0,01$ près)
\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ sur une feuille de papier millimétré, dans un repère orthonormé d'unité $3$~centimètres.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B : application : étude de la concentration d'un médicament dans le sang d'un malade en fonction du temps}

\medskip

À l'instant $t = 0$, un malade absorbe un médicament. On admet que la concentration de celui-ci dans le sang, exprimée en mg.L$^{-1}$, en fonction du temps $t$ exprimé en heures est donnée par la fonction $f$ étudiée dans la partie A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 	À quel instant la concentration du médicament est-elle maximale ? Quelle est cette concentration maximale ? (donner sa valeur exacte puis son approximation décimale à $0,01$~mg.L$^{-1}$ près).
\item 	Dans cette question, on fera apparaitre sur le graphique tous les tracés utiles.
Déterminer graphiquement au bout de combien de temps la concentration dans le sang redevient inférieure à $1$~mg.L$^{-1}$.
\item Déterminer graphiquement le temps pendant lequel la concentration dans le sang est supérieure à $2$~mg.L$^{-1}$
\end{enumerate}
\end{document} 