\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
%tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS  Antilles -- Septembre 2002~\decofourright}}
\end{center}

\begin{center}
\textbf{\emph{\footnotesize
L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.\\
Une feuille de papier millimétré est nécessaire pour le problème.}}
\end{center}

\bigskip
\begin{center}
\textbf{Exercice \hfill 8 points}
\end{center}

Dans un magasin, les paiements se font en espèces, par chèque
ou par carte bancaire. On classe ces paiements en deux catégories :
montant inférieur ou égal à 200 francs et montant supérieur à 200~francs.

Une enquête auprès de 250 clients a donné les résultats suivants:

\bigskip

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  70\,\% des paiements concernent des sommes inférieures ou égales à 200francs ;
\item  40\,\% des paiements se font par chèque ;
\item  il y a 40 paiements par carte et aucun n'est inférieur ou égal
à 200 francs ;
\item  il y a 80 chèques dont le montant est inférieur ou égal à 
200 francs.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip
\begin{enumerate}
\item  Reproduire et compléter le tableau suivant donnant la répartition
des paiements :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|} \hline
  										& Paiement en  espèces &Paiement par chèque &
Paiement par  carte & TOTAL \\ \hline
Montant inférieur  ou égal à 200 francs &  		&  &  	&  \\ \hline
Montant supérieur  à 200 francs 		&  		&  &  	&  \\ \hline
TOTAL 									&   	&  & 	&250 \\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}

\emph{(Les résultats numériques demandés dans les questions suivantes
seront arrondis à $10^{-2}$ près).}

\item On choisit, au hasard, un paiement parmi les 250.

Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :

$A$ : \og le paiement est en espèces \fg{} ;
 
$B$ : \og le paiement est en chèque d'un montant supérieur à 200
 francs \fg{} ;
 
$C$ : \og le paiement n'est pas un paiement par carte \fg{} ;
 
$D$ : \og le paiement est en chèque ou est supérieur à 200 francs \fg{}.

\item On choisit, au hasard, un paiement parmi ceux supérieurs à
200 francs.

Quelle est la probabilité $p$ que ce soit un paiement en espèces ?

\item On choisit, au hasard, un paiement parmi ceux effectués en
 espèces.
 
Quelle est la probabilité $p'$ qu'il soit supérieur à 200 francs ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~12]$ par

\[f(x) = 25 + 130 \ln(x + 1).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item   
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$.
		\item Préciser le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant (on donnera les valeurs
approchées de $f(x)$ à  une unité près).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$    &0 	&1 &2 &3 	&4 &5 &6 	&7 &8 &10 	&12 \\ \hline
$f(x)$ &25 	&  &  &205 	&  &  &278 	&  &  &  	&  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Soit $C$ la courbe représentative de $f$ dans un plan rapporté
à un repère orthogonal \Oij.

(Unités graphiques : 1~cm pour une unité sur l'axe des abscisses
et 1~cm pour 25~unités sur l'axe des ordonnées).

Tracer $C$.
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{Partie B}
\medskip

Un éleveur a lâché dans une réserve un groupe de 25~lapins adultes.

On considère que le nombre de lapins présents dans la réserve 
en fonction du temps $x$, exprimé en mois, est donné par

\[f(x) = 25 + 130 \ln (x + 1).\]

\bigskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer le nombre de lapins au bout d'un an.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement au bout de combien de temps le nombre
de lapins atteint 285~individus.
 
(\emph{Laisser apparents les traits utiles}).
		\item  Retrouver ce résultat par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}