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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat SMS }
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS  Antilles--Guyane septembre 2003~\decofourright}}
\end{center}

\begin{center}
\textbf{\emph{\footnotesize
L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.\\
Une feuille de papier millimétré est nécessaire pour le problème.}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice}\hfill 8 points}

\medskip

Depuis quelques années, les médecins se sont engagés à prescrire
à leurs patients davantage de médicaments génériques afin de 
limiter les dépenses de santé qui sont une part importante du 
budget de la Sécurité Sociale en France.

\medskip

Depuis, ce marché a pris un certain essor. Dans le tableau suivant,
a été indiqué, le nombre de boîtes de médicaments vendues dans 
les pharmacies en France, en millions (\emph{arrondis à} \np{100000}  \emph{unités près}) et par trimestre pour les années 2000, 2001 et 2002.

\medskip

{\small\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année &
\multicolumn{4}{c|}{2000} &
\multicolumn{4}{c|}{2001} &
\multicolumn{4}{c|}{2002} \\ \hline
Rang du trimestre $x_i$ &
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline
Nombre $y_i$ &22,8 & 22,4 & 23 & 32,8 & 33,1 & 30,9 & 28,2 & 40 & 39,4 & 37 & 39,8 & 40,6 \\ \hline
\end{tabularx}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points associé à cette série dans un 
repère orthogonal en prenant pour unités:

\hspace*{2em}$\bullet$ 1 cm pour 1 rang de trimestre sur l'axe des abscisses;

\hspace*{2em}$\bullet$ 1 cm pour 1 million de boîtes sur l'axe des ordonnées, en commençant la graduation à~$22$.

\item On appelle $G_1$ le point moyen des six premiers points
du nuage et $G_2$ le point moyen des six derniers points.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de $G_1$ et celles de $G_2$.
		\item Placer ces points sur la figure et tracer la droite $(G_1 G_2)$.
	\end{enumerate}
\item Montrer qu'une équation de la droite $(G_1 G_2)$ peut s'écrire:
$y = \displaystyle\dfrac{5}{3}\; x + \displaystyle\dfrac{65}{3} $.
\item On admet que la droite $(G_1 G_2)$ donne un bon
ajustement affine du nuage et permet une bonne estimation du 
nombre de boîtes de médicaments génériques vendues pour les quatre 
prochains trimestres.

En utilisant graphiquement la droite $(G_1 G_2)$
et en faisant apparaître sur la figure les constructions utiles, 
donner une estimation du nombre de boîtes de médicaments génériques 
qui ont dû être vendues en France durant le premier trimestre 
2003.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~4]$ par :

\[f(t) = 1 + 20 t\text{e}^{-t}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(t)$ et montrer que $f'(t) = 20 \text{e}^{-t} (1-t)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation: $f'(t) = 0$.
		\item Étudier le signe de $f'(t)$.
	\end{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ dans lequel
on précisera les valeurs exactes de $f(1)$ et $f(4)$.
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant(\emph{arrondir  les résultats à $0,1$ près}) :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$t$ 	& 0 &0,25 	& 0,5 &1 	&1,5 	&2 		&3 &4 \\ \hline
$f(t)$ 	&  	&  		& 7,1 &  	&  		&6,4 	&  	&  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Tracer la courbe représentative de $f$ ; on prendra pour unités
graphiques: 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 4 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses ;
\item[$\bullet~$] 2 cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B : Application biologique}

\medskip

Un laboratoire travaillant pour une entreprise d'agro-alimentaire
teste un procédé de destruction d'une souche bactérienne S$_{1}$. 
Pour cela, il se propose d'utiliser une deuxième souche bactérienne 
S$_{2}$ capable de synthétiser et libérer un antibiotique dans le 
milieu de culture. Afin de vérifier que la souche S$_{1}$ est sensible 
à cet antibiotique, les deux souches bactériennes sont mises 
en culture simultanément pendant 4~heures ; on suit leur croissance 
au cours du temps en appréciant le nombre de cellules.

On obtient ainsi deux courbes de croissance $C_1$ et $C_2$
correspondant respectivement aux deux fonctions suivantes:

\medskip

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  Souche S$_{1}$: $f(t) = 1 + 20 t\text{e}^{-t}$,
\item  Souche S$_{2}$: $g(t) = 2t + 1$,
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

où le temps $t$ est donné en heures, $f(t)$ et $g(t)$ en
milliers de cellules.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la partie \textbf{A}, déterminer l'instant auquel le nombre  de cellules de la souche S$_{1}$ est maximal.
\item Calculer $g(0)$ et $g(2)$. Que peut-on dire de la courbe $C_2$ ?
Tracer $C_2$ sur le dessin de la partie \textbf{A}.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement à quels instants les nombres
de cellules des deux souches bactériennes sont égaux (\emph{exprimer
les résultats en heures et minutes}).
		\item Retrouver les résultats de la question \textbf{3. a.} par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}