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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat SMS }
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS  Antilles -- Septembre 2004 \decofourright}}
\end{center}

\begin{center}
\textbf{\emph{\footnotesize
L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.\\
Une feuille de papier millimétré est nécessaire pour le problème.}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice }\hfill 8 points}

\medskip

Une étude dans un centre médico-social a porté sur un échantillon
de $308$ cas d'hospitalisation pour ingestion de produits toxiques
chez l'enfant de $0$ à $5$ ans.

Pour cet échantillon, on a les informations suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $180$ enfants sont des garçons~;
\item 37,5\,\% des filles sont âgées de $3$ à $5$ ans~;
\item parmi les enfants de $3$ à $5$ ans, un tiers sont des filles~;
\item 25\,\% des enfants de l'échantillon sont des filles de $1$ à $3$ ans~;
\item parmi les enfants de $0$ à $12$ mois, il y a autant de filles que
de garçons.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Âge 		& Garçons 	& Filles& Total\\ \hline
0 à 12 mois &  			&  		&  \\ \hline
1 à 3 ans   &  			&  		&  \\ \hline
3 à 5 ans   &  			&  		&  \\ \hline
Total       &  			& 		&$308$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Les $308$ enfants de l'échantillon ont été détectés parmi les \np{4912} enfants de $0$ à $5$ ans qui ont été reçus au centre médico-social pour diverses affections.

Déterminer pour ce centre médico-social le pourcentage de cas
d'intoxications par ingestion de produits toxiques chez les enfants
de $0$ à $5$ ans (on donnera ce résultat sous forme décimale arrondie au dixième près).

\medskip

\emph{Dans les questions suivantes les résultats seront donnés
sous forme décimale arrondie à $10^{-2}$ près.}
\item On choisit au hasard un des $308$ enfants de l'échantillon étudié. Chaque enfant a la même probabilité d'être choisi.
	\begin{enumerate}
		\item On note $A$ l'évènement suivant : \og l'enfant choisi est une fille \fg.
		
Calculer la probabilité de l'évènement $A$.
		\item On note $B$ l'évènement suivant : \og l'enfant choisi a entre $3$ et $5$ ans \fg.
		
Calculer la probabilité de l'évènement $B$.
		\item Traduire par une phrase l'évènement $A \cup B$ et calculer sa probabilité.
		\item Traduire par une phrase l'évènement $\overline{A} \cap B$ et calculer sa probabilité.
\end{enumerate}
		\item On choisit au hasard un enfant de moins de $3$ ans parmi les $308$~enfants de l'échantillon étudié. Calculer la probabilité que cet enfant de moins de $3$ ans soit une fille.
	\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\medskip

\textbf{\textsc{Partie A : étude d'une fonction}}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~10]$ par :

\[f(t) = 8 t \text{e}^{-\frac{1}{2} t} + 2.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs exactes de $f(0),\:f(2),\: f(10)$.
\item Calculer $f'(t)$ et vérifier que : $f'(t) = 4(2 - t)\text{e}^{\frac{1}{2} t}$.
\item Résoudre l'équation $f'(t) = 0$.
\item Étudier le signe de $f'(t)$ sur $[0~;~10]$.
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant
  (\emph{arrondir les résultats à $0,1$ près)}.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$ 	&0 	&0,5 	&1 	&1,5 	&2 	&3 		& 4 	&6 	&8 		& 10 \\ \hline
$f(t)$	&  	&5,1 	&  	&7,7 	&  	&7,4 	&6,3	&  	&3,2 	&  \\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}

\item On appelle $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal d'unités graphiques 2~cm.

Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ sur la feuille de papier millimétré fournie.
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{\textsc{Partie B : application}}

\medskip

L'ADH est une hormone d'origine hypothalamique intervenant dans
la régulation de l'eau dans l'organisme.

Lors d'une hémorragie accidentelle chez l'homme, on a enregistré
le taux d'ADH présent dans le sang. On admet que ce taux d'ADH
(en $\mu$g/ml) en fonction du temps $t$ (en minutes) écoulé
après l'hémorragie est donné par :
  
\[f(t) = 8t \text{e}^{- \frac{1}{2} t} + 2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'ADH présent dans le sang cinq minutes après
l'hémorragie.
\item Au bout de combien de minutes le taux est-il maximal~? Quel est
ce taux ?
\item Pendant combien de temps (en minutes, secondes) le taux d'ADH
est-il supérieur à 6~$\mu$g/ml ? On utilisera la représentation
graphique et on fera apparaître les tracés utiles.
\end{enumerate}
\end{document}