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%% Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Antilles--Guyane \decofourright\\septembre 2005}}

\medskip

L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.

Une feuille de papier millimétré est nécessaire pour le problème.

Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice } \hfill 8 points}

\medskip

À la rentrée 2003, les écoles primaires d'une ville de l'agglomération parisienne ont effectué un bilan de santé auprès de leurs \np{1300}~ élèves. Une partie de ce bilan de santé avait pour objectif de diagnostiquer les enfants atteints d'asthme et de détecter ceux qui présentaient des symptômes asthmatiques.

\medskip

Parmi les $600$ filles de ces écoles, 4,5\,\% étaient asthmatiques.

De plus, 5\,\% des filles et 7\,\% des garçons présentaient des symptômes asthmatiques.

Enfin, 88\,\% des élèves ne présentaient aucun trouble en rapport avec cette maladie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Reproduire et remplir le tableau d'effectifs suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}& Filles&Garçons& Total \\ \hline
Asthmatiques	& & 	& \\ \hline 
Symptômes asthmatiques	& 	& 	& \\ \hline
Aucun trouble& 	& & \\ \hline
Total& & & \np{1300}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item \emph{Dans les questions suivantes, les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à $0,01$ près.}

On choisit au hasard un élève parmi les \np{1300} élèves des écoles primaires et on considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
$A$ : \og L'élève est un garçon \fg{} ;

$B$ : \og L'élève est asthmatique \fg{} ;

$C$ : \og L'élève présente des symptômes asthmatiques \fg.
\setlength\parindent{0mm}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements $A$ et $B$.
		\item Définir par une phrase l'évènement $A \cap B$, puis calculer sa probabilité.
		\item En déduire la probabilité de l'évènement $A \cup B$.
		\item Définir par une phrase l'évènement $A \cup  C$ et calculer sa probabilité
		\item On considère l'évènement :

     \og L'élève est une fille qui présente des symptômes asthmatiques \fg.

Écrire cet évènement à l'aide des évènements $A$, $B$ ou $C$ puis calculer sa probabilité.
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard un élève atteint d'asthme. Quelle est la probabilité que cet élève soit un garçon ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème } \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude et représentation d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~120] par :

\[f(t) = 4,4 + 0,12 t \text{e}^{-\frac{t}{60}}.\]

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$.

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $f'(t)$ et vérifier que $f'(t) = 0,002(60 -  t)\text{e}^{-\frac{t}{60}}$.
		\item Résoudre $f'(t) = 0$.
		\item Étudier le signe de $f'(t)$ sur [0~;~120].
		\item En déduire le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant en donnant des valeurs approchées à $10^{-2}$ près.

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&10		&20	& 40	&60	&80	& 100 	&  120\\ \hline
$f(t)$	&	&5,42	&	& 6,86	&	&	& 6,67	&\\ \hline
\end{tabularx}\] 
\item Déterminer le coefficient directeur de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
\item En prenant en abscisses $1$~cm pour $10$~unités et en ordonnées $2$~cm pour une unité, construire la droite T puis la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Utilisation du graphique}

\medskip

Pour étudier le bilan hépatique du glucose, on réalise chez un chien une expérience de laboratoire. Celui-ci reçoit, pendant $2$~heures, une perfusion de $235$~mg de glucose par minute. On mesure alors l'évolution de la glycémie dans le sang de l'artère hépatique.

On admet que l'évolution de la glycémie (exprimée en mmol.L$^{-1}$) en fonction du temps écoulé (exprimé en minutes) à partir du début de la perfusion est représentée par la fonction : 

\[ f(t) = 4,4 + 0,12 t \text{e}^{-\frac{t}{60}}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Au bout de combien de temps la glycémie est-elle maximale ? Quelle est alors cette glycémie ?

\emph{Répondre aux questions suivantes après avoir indiqué sur le graphique les cons\-tructions utiles.}
\item Quelle est la glycémie au bout de $45$~minutes ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit G$_{0}$ la valeur initiale de la glycémie, combien faut-il de temps pour que la glycémie atteigne la valeur G$_{1}$ supérieure de $50$\,\% à la valeur initiale G$_{0}$ ?
		\item Combien de temps la glycémie reste-t-elle supérieure à la valeur G$_{1}$ définie ci-dessus ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 