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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS   La Réunion  juin 2003~\decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\emph{\footnotesize
L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.\\
Une feuille de papier millimétré est nécessaire pour le problème.\\
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points}
\end{center}

\emph{Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le tableau ci-dessous précise le nombre de personnes vivant
avec le sida à la fin 2001 à travers le monde selon leur situation 
géographique :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|} \hline
\emph{Région} &
\emph{\shortstack{Nombre de personnes\\ atteintes (en millions)}} \\ \hline
Afrique sub-saharienne 				& 28,5 \\ \hline
Afrique du Nord et Moyen-Orient 	& 0,5 \\ \hline
Amérique Latine  					& 1,5 \\ \hline
Caraîbes  							& 0,42 \\ \hline
Amérique du Nord  					& 0,95 \\ \hline
Europe de l'Ouest 					& 0,55 \\ \hline
Europe orientale et Asie centrale 	& 1 \\ \hline
Asie de l'est et Pacifique  		&  1  \\ \hline
Asie du Sud et du sud-est  			& 5,6  \\ \hline
Australie et Nouvelle-Zélande  		& 0,015 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Quel est le nombre total de personnes vivant avec le sida à la
fin 2001 ? (réponse arrondie au million près)
\item À partir du tableau ci-dessus calculer le pourcentage de personnes vivant avec le sida résidant en Afrique sub-saharienne (réponse 
arrondie à 0,1\,\% près).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Début 2002 on dispose des indications suivantes sur les personnes
vivant avec le sida en 2001 :

\medskip

$\bullet~$ 40~millions de personnes vivaient avec le sida,
  dont 3~millions avaient moins de 15~ans.
  
$\bullet~$ Parmi les 5 millions de nouveaux cas apparus en 2001,
  0,8 millions avaient moins de 15~ans.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item À l'aide des données ci-dessus, reproduire et compléter le tableau suivant{\nobreakspace}en prenant comme unité le million de personnes :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|*{4}{c|}} \hline
  							&Moins de 15 ans 	&15 ans ou plus & Total \\ \hline
Nouveaux cas apparus en 2001&0,8 				&  				&  \\ \hline
Cas antérieurs à 2001 		&  					&  				&  \\ \hline
Total 						&  					&  				& 40 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\emph{Dans les questions suivantes, donner les résultats sous forme
d'un nombre décimal.}

\bigskip

\item On choisit au hasard une personne vivant avec le sida en 2001.
On considère les évènements suivants :

\bigskip

$A$ : \og  la personne a moins de 15 ans \fg{} ;
 
$B$ : \og la personne a contracté le virus du sida durant l'année 2001 \fg.

\bigskip

	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements $A$ et $B$.
		\item Définir par une phrase l'évènement $A\cap B$ et calculer sa probabilité.
		\item En déduire la probabilité de l'évènement $A\cup B$.
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard une personne ayant contracté le virus du 
sida durant l'année 2001.

Déterminer la probabilité pour que cette personne ait moins de
15~ans.

\bigskip

\emph{Les données numériques de cet exercice sont extraites des
estimations de l'épidémie mondiale du sida, publiées en 2002 
par l'ONUSIDA.}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~5,5] par :

\[f(t) = (6 - t)\text{e}^{0,5t} - 6.\]

\medskip

\begin{enumerate}  
\item Calculer la dérivée puis montrer que, pour tout $t$ de [0~;~5,5] :

\[f'(t) = \frac{1}{2} \text{e}^{0,5t} (4-t).\]

\item Étudier le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle [0~;~5,5].
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (\emph{Donner 
les valeurs approchées arrondies au dixième}) :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{X|}}\hline
$t$ & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2 & 2,5 & 3 & 4 & 4,5 & 5 & 5,5 \\ \hline
$f(t)$ & 0 & 1,1 & 2,2 & 3,5 &  & 6,2 &  &  &  & 6,2 &  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\item Sur la feuille de papier millimétré, tracer la courbe $C$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal d'unité graphique 2~cm.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un médicament X est produit dans un laboratoire. Pour étudier
la durée d'efficacité de ce produit, on a relevé la quantité 
du principe actif du médicament présente dans le sang d'un malade 
au cours du temps.

\medskip

On admet que le nombre $f(t)$ défini par la fonction $f$
de la \textbf{partie A} de ce problème donne, en milligrammes,
la quantité de ce principe actif présente dans le sang en fonction 
du temps $t$, exprimé en heures, écoulé depuis la prise du
médicament.

\medskip

\emph{Pour la suite du problème, les constructions utiles seront 
laissées apparentes.}

\medskip

\begin{enumerate}  
\item 
	\begin{enumerate}  
		\item Déterminer graphiquement la quantité du principe actif du médicament présente dans le sang du malade au bout de trois heures et quart.
		\item Calculer, arrondie au dixième, la valeur de la quantité obtenue à la question précédente\textbf{(1. a.)}.
	\end{enumerate}
\item Déterminer par le calcul l'instant auquel la quantité de principe 
actif est maximale et donner cette valeur maximale arrondie au 
dixième.
\item Le laboratoire indique que l'efficacité du médicament X est optimale 
tant que la quantité du principe actif présente dans le sang 
du malade est supérieure ou égale à 3~mg. Déterminer graphiquement
durant combien de temps ce médicament est efficace (exprimer 
la durée en heures et minutes).
\end{enumerate}
\end{document} 