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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS La Réunion~juin 2004 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 9 points}

\medskip

L'objectif de l'exercice est d'exploiter les données statistiques fournies par le diagramme circulaire et l'histogramme de l'annexe, auxquels on se référera pour répondre aux questions posées.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Depuis le 1\up{er} janvier 2002, date de la mise en place de 
l' Allocation Personnalisée d'Autonomie dans le département de l'Aude, 
la commission d'attribution a statué sur \np{10400}~dossiers de demande. Fin août 2003, \np{5900}~personnes bénéficiaient de l'A. P. A.

En utilisant le diagramme circulaire de l'annexe, calculer le nombre de
 personnes bénéficiant de l'A. P. A. à leur domicile puis le nombre de 
personnes bénéficiant de l'A. P. A. en établissement.
\item Sur l'histogramme de l'annexe les résultats sont des nombres entiers.

En utilisant cet histogramme, reproduire et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
{\small  \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Tranches d'âges	&[60~;~75[	& [75~;~85[ &[85~;~95[	& [95~;~100[& Total\\ \hline
Bénéficiaires à &17			&			&			&			&100\\
domicile (en \%)&			&			&			&			&\\ \hline
Bénéficiaires en établissement (en \%)	&12	&	&	&			&	100\\ \hline
\end{tabularx} }
\end{center}

\item Dans cette question arrondir les résultats à l'unité près.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer le nombre de personnes âgées dc 75 à 85 ans qui  bénéficient de l'A. P. A. à leur domicile.
		\item Quel est le nombre total de personnes de la tranche d'âge [75 ; 85[ qui bénéficient de l'A. P. A. ?
		\item Après avoir effectué les calculs nécessaires, reproduire et compléter le tableau suivant :

\begin{center} 
{\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3,5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Tranches d'âges&[60~;~ 75[&[75~;~85[&	[85~;~95[&	[95~;~100[& Total\\ \hline
Nombre de bénéficiaires	&	&	& \np{1322}&& \\ 
à domicile			&	&	&	&	&\\ \hline
Nombre de bénéficiaires	&	&	&	&149	&\\ 
en établissement 		&	&	&	&	&\\ \hline
Total				&	&	&	&	&	\np{5900}\\ \hline
\end{tabularx}}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item Sur le document accompagnant cette étude statistique, on peut lire :
\og Si l'A. P. A. est accessible à partir de 60 ans, ce sont majoritairement les personnes de plus de 75 ans qui en bénéficient. En effet, plus de $85\%$ des allocataires ont dépassé cet âge \fg.

Ces deux affirmations sont-elles exactes ? (Justifier par le calcul).
\item On choisit au hasard une personne bénéficiant de l'A. P. A. On note $E$ et $F$ les évènements suivants :

$E$ : \og la personne est dans la tranche d'âge [85~;~95[ \fg{} ; 

$F$ : \og la personne bénéficie de l'A. P{}. A. à domicile \fg.

Dans cette question, arrondir les résultats à 0,01 près.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité de chaque évènement $E$ et $F$.
		\item Définir par une phrase chacun des évènements : $E~\cup~F$ et $E~\cap~F$.
		\item Calculer la probabilité $P(E~\cap~F)$ et en déduire la probabilité $P(E~\cup~F)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Exercice 1 : Annexe}

\vspace{1cm}

L'allocation personnalisée d'autonomie dans le département de l'Aude 
en 2003

\vspace{0,8cm}

Répartition des allocataires de l'A. P. A.

\begin{pspicture}(10,6)
\pscircle(5,3.8){1.7}
\pswedge(5,3.8){1.7}{90}{219.6}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5,3.8){1.7}{219.6}{90}
\rput(5.3,1.2){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(0.2,0.2)}
\rput(5.3,0.4){\psframe(0,0)(0.2,0.2)}
\rput(7.8,1.2){Allocataires à domicile}
\rput(7.8,0.4){Allocataires en établissement}
\end{pspicture}
    
\vspace{0,5cm}
    
\begin{pspicture}(14.5,11)
\psframe(14.5,11)
\psframe(1.6,1.5)(14.1,9.5)
\multido{\r=1.5+0.16}{51}{\psline(1.6,\r)(14.1,\r)}
\uput[l](1.6,1.5){$0\,\%$} \uput[l](1.6,2.3){$5\,\%$} 
\uput[l](1.6,3.1){$10\,\%$} \uput[l](1.6,3.9){$15\,\%$} 
\uput[l](1.6,4.7){$20\,\%$} \uput[l](1.6,5.5){$25\,\%$} 
\uput[l](1.6,6.3){$30\,\%$} \uput[l](1.6,7.1){$35\,\%$} 
\uput[l](1.6,7.9){$40\,\%$} \uput[l](1.6,8.7){$45\,\%$} 
\uput[l](1.6,9.5){$50\,\%$} 
\rput{90}(0.4,5.5){Pourcentages de bénéficiaires}
\rput(3.3,1){[60 ; 75[} \rput(6.5,1){[75 ; 85[}
\rput(9.7,1){[85 ; 95[}  \rput(12.9,1){[95 ; 100[}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](2.2,1.5)(3.2,4.22)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](5.4,1.5)(6.4,8.54)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](8.6,1.5)(9.6,7.1)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](11.8,1.5)(12.8,2.14)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.2,1.5)(4.2,3.42)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](6.4,1.5)(7.4,7.1)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](9.6,1.5)(10.6,8.86)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](12.8,1.5)(13.8,2.62)
\rput(6,0.5){\psframe(0.2,0.2)} \rput(7.4,0.5){Domicile}
\rput(9,0.5){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0.2,0.2)}  
\rput(10.4,0.5){Établissement}
\end{pspicture}

\vspace{0,5cm}

Source : \emph{Supplément de \emph{Perspectives} 
\no 114 édité par le Conseil Général de l'Aude}

\end{center}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle I = [0~;~120] par 

\[f(t) = 10^5\text{e}^{- 0,05t}.\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que $f'(t) = - 5 \cdot 10^3  \text{e}^{-0,05t}$.
		\item Étudier le signe de $f'(t)$.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ dans lequel seront notées les valeurs exactes de $f(0)$ et de $f(120)$.
	\end{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau des valeurs suivants (les résultats seront donnés à la dizaine près) :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&15			&30			&45 &60 		&75		&90	&120\\ \hline
$f(t)$	&	&\np{47240}	&\np{22310}	&	&\np{4980}	&		&	&250\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item Le plan est muni d'un repère orthogonal avec pour unités :

$\bullet~$ 1 cm pour 10~unités sur l'axe des abscisses ;

$\bullet~$ 2 cm pour $10^4$~unités sur l'axe des ordonnées.

Tracer soigneusement sur la feuille de papier millimétré fournie avec le sujet la courbe représentative de la fonction $f$ dans ce repère.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Application}

\medskip

La destruction de cellules bactériennes par la chaleur peut-être mise en évidence en chauffant à une température donnée, pendant des durées variables, une suspension de telles cellules et en dénombrant les survivants.

On admet  que $f(t)$ est une approximation convenable du nombre de survivants à l'instant $t$ ($t$ exprimé en minutes).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Quel est le nombre de bactéries à l'instant initial ?
		\item Quel est le nombre de survivants au bout de 2~heures de chauffage ?
		\item Peut-on dire qu'au bout d'une heure le nombre de bactéries a été divisé par 20 ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer graphiquement, en laissant apparentes les constructions utiles, le temps nécessaire pour que le nombre de survivants soit égal à $10^4$.
		\item Retrouver par le calcul la réponse à la question précédente \textbf{2. a.} (Le résultat sera arrondi à l'unité près).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}